20.(本小题满分13分)

已知两圆和，动圆P与⊙O₁外切，且与⊙O₂内切.

(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程；

(Ⅱ)过点M(5，0)作直线与点P的轨迹交于不同两点A、B，试推断是否存在直线，使得线段AB的垂直平分线经过圆心O₂？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

[解](Ⅰ)由已知，点，，，，则

|O₁O₂|＝2＜，所以⊙O₁内含于⊙O₂.　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

设圆P的半径为r，因为动圆P与⊙O₁外切，且与⊙O₂内切，则

.

所以动圆圆心P轨迹是以点为焦点的椭圆.　　　　　　　　　　　　　　　 　　(4分)

因为，，所以.

故动圆圆心P的轨迹方程是.　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　(6分)

(Ⅱ)因为直线x＝5与椭圆无交点，可设直线的方程为.

　由，得，即.(8分)

设点，AB的中点为，则

　，.　　　　　　　 (10分)

若线段AB的垂直平分线经过圆心O₂，则CO₂⊥，即.

　所以，即4＝0，矛盾！　　　　　　　　　　　　 (12分)

故不存在直线使得线段AB的垂直平分线经过圆心O₂.　　　　　　　　 　　　　　　(13分)

19.(本小题满分13分)

据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3000元.为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作. 据估计，如果有x(x＞0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民人均年收入为3000a元(a＞0为常数).

(I)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x的取值范围；

(II)在(I)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？

[解](I)据题意，(100－x)·3000·(1+2x%)≥100×3000，　　　　　　　　　　 (2分)

即x²－50x≤0，解得0≤x≤50.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(3分)

又x＞0，故x的取值范围是(0，50].　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

(II)设这100万农民的人均年收入为y元，则

y＝100(1+2x%+3000ax)＝100(a+1x+300000)

＝－5(3)[x－25(a+1)]²+3000+475(a+1)² (0<x≤50).　　　　　　　　　　　　 　　　　(9分)

(1)若0＜25(a+1)≤50，即0＜a≤1，则当x＝25(a+1)时，y取最大值；

(2)若25(a+1)＞50，即a ＞1，则当x＝50时，y取最大值.　　　　　　　　　　 (11分)

答：当0＜a≤1时，安排25(a+1)万人进入加工企业工作，当a＞1时，安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大. 　　　　　　　　　　　　　　　　　(13分)

18.(本小题满分12分)

如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点.

(Ⅰ)求证：PC∥平面BDM；

(Ⅱ)若PA＝AC＝，BD＝，求直线BM与

平面PAC所成的角.

　[解](Ⅰ)设AC与BD的交点为O，连结OM.

因为ABCD是菱形，则O为AC中点.

又M为PA的中点，所以OM∥PC.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

因为OM在平面BDM内，所以PC∥平面BDM.　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

(Ⅱ)因为ABCD是菱形，则BD⊥AC.

又PA⊥平面ABCD，则PA⊥BD.

所以BD⊥平面PAC.

所以∠BMO是直线BM与平面PAC所成的角.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (7分)

因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC. 在Rt△PAC中，因为PA＝AC＝，则PC＝2.

又点M与点O分别是PA与AC的中点，则MO＝PC＝1.　　　　　　　　　　　　 (9分)

又BO＝BD＝，在Rt△BOM中，tan∠BMO＝，所以∠BMO＝60°.

故直线BM与平面PAC所成的角是60°.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (12分)

17.(本小题满分12分)

已知函数，其中a，b为实常数.

(Ⅰ)求函数为奇函数的充要条件；

(Ⅱ)若任取a∈[0，4]，b∈[0，3]，求函数在R上是增函数的概率.

[解](Ⅰ)若为奇函数，则对任意x∈R，恒成立，即

　 ，即恒成立，所以.(3分)

当时，，则，所以为奇函数.(5分)

故为奇函数的充要条件是.　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　(6分)

(Ⅱ)因为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (7分)

若在R上是增函数，则对任意x∈R，恒成立

所以△＝4，即.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8分)

设“在R上是增函数”为事件A，则事件A对应的区域为.

又全部试验结果，如图.　　　　 　　　　　　　　　　(10分)

所以.

故函数在R上是增函数的概率为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (12分)

16.(本小题满分12分)

已知函数，且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若函数在区间上单调递增，求k的取值范围.

[解](Ⅰ).　　　　　　　　 (2分)

据题意，，即，所以，即.　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

从而，故.　　　　　 (6分)

(Ⅱ)因为，，则　　　　 (8分)

当时，.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (9分)

据题意，，所以，解得.

故k的取值范围是.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (12分)

15.已知数列为等差数列.

　 (1)若，，则 16 ；

(2)一般地，若，，则.

[解析](1)设等差数列的公差为d，则.由已知，所以.

故.

(2)因为，则.

14.函数的单调递增区间是 .

[解析]由得或.

令，则当x＜1时，为减函数，当时，为增函数函数.

又是减函数，故在为增函数.

13.已知点A(1，2)，直线(t为参数)与直线相交于点B，则A、B两点之间的距离|AB|＝.

[解析]将代入，得，所以|AB|＝5t＝.

12.已知，则的值为.

[解析]由，得，解得.

所以.

11.先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，抛掷第一枚骰子得到的点数记为x，抛掷第二枚骰子得到的点数记为y，则使的概率为.

[解析]由，得，则或或 ，故.