21.(本小题满分13分)

设数列的前项和为，已知(n∈N*).

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)设，数列的前项和为，若存在整数，使对任意n∈N*且n≥2，都有成立，求的最大值；

(Ⅲ)令，数列的前项和为，求证：当n∈N*且n≥2时，.

[解](Ⅰ)由，得(n≥2).

两式相减，得，即(n≥2).　　　　　　　　　　　 (1分)

于是，所以数列是公差为1的等差数列.　　　　　　　　　　　　 (2分)

又，所以.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

所以，故.　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

(Ⅱ)因为，则.　　　　 (5分)

令，则

.

所以

.

即，所以数列为递增数列.　　　 　　　　　　　　　　　　　(7分)

所以当n≥2时，的最小值为.

据题意，，即.又为整数，故的最大值为18.　　　　　　　　　 　(8分)

(Ⅲ)因为，则当n≥2时，

20.(本小题满分13分)

设向量a＝(x+1，y)，b＝(x－1，y)，点P(x，y)为动点，已知|a|+|b|＝4.

(Ⅰ)求点P的轨迹方程；

(Ⅱ)设点P的轨迹与x轴负半轴交于点A，过点F(1，0)的直线交点P的轨迹于B、C两点，试推断△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由.

[解](Ⅰ)由已知，　　　　　　　　　　　　　 (1分)

所以动点P的轨迹M是以点为焦点，长轴长为4的椭圆.　　　　　　 (3分)

因为，则.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

故动点P的轨迹M的方程是.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (5分)

(Ⅱ)设直线BC的方程为，

由.　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

设点，则，.　　　　　　　 (7分)

所以

.　　　　　　　　　　　 (8分)

由题设，点A的坐标是(－2，0)，则点A到直线BC的距离.　　　　　 (9分)

所以.

令，则.　　　　　　　　　　　　　　　 (10分)

设，则.因为当时，，则函数在上是增函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (11分)

所以当时，，从而，所以.　　　　　　　　 (12分)

故△ABC的面积存在最大值，其最大值为.　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(13分)

19.(本小题满分13分)

如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万m³，每天流过甲厂的河水流量是500万m³(含甲厂排放的污水)；乙厂每天向河道内排放污水1.4万m³，每天流过乙厂的河水流量是700万m³(含乙厂排放的污水).由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放. 根据环保部门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水.

(Ⅰ)设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为x、y万m³，试根据环保部门的要求写出x、y所满足的所有条件；

(Ⅱ)已知甲厂处理污水的成本是1200元/万m³，乙厂处理污水的成本是1000元/万m³，在满足环保部门要求的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万m³，才能使这两个工厂处理污水的总费用最小？最小总费用是多少元？

、

[解](Ⅰ)据题意，x、y所满足的所有条件是，　　

(4分)

即.　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　(6分)

(Ⅱ)设甲、乙两厂处理污水的总费用为z元，则

目标函数z＝1200x+1000y＝200(6x+5y).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (7分)

作可行域，如图.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (10分)

平移直线l：6x+5y=0，当直线经过点A(1，0.8)时，、

z取最大值，此时z＝1200×1+1000×0.8＝2000(元).　　 　　　　　　　　　　　　(12分)

故甲、乙两厂每天应分别处理1万m³、0.8万m³污水，

才能使两厂处理污水的总费用最小，且最小总费用是2000元.　　　　　　　　　　　 (13分)

18.(本小题满分12分)

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.

(Ⅰ)判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；

(Ⅱ)求点D到平面ACE的距离.

[解](Ⅰ)因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE.　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

因为平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，

平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以BC⊥平面ABE，

从而BC⊥AE.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (5分)

于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE.　　 　　　　　　　　　　　　　　　(6分)

(Ⅱ)方法一：连结BD交AC与点M，则点M是BD的中点，

所以点D与点B到平面ACE的距离相等.

因为BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离.　　　　　 　　　　　　　　(8分)、

因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.、

又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形.

因为AB＝2，所以BE＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (9分)

在Rt△CBE中，.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (10分)

所以.

故点D到平面ACE的距离是.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (12分)

方法二：过点E作EG⊥AB，垂足为G，因为平面ABCD⊥平面ABE，所以EG⊥平面ABCD.

因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形，从而G为AB的中点.又AB＝2，所以EG＝1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8分)

因为AE⊥平面BCE ，所以AE⊥EC.

又AE＝BE＝，.　　　　　　　　　　　　 (10分)

设点D到平面ACE的距离为h，因为V_D－ACE＝V_E－ACD，则.

所以，故点D到平面ACE的距离是.　 (12分)

17.(本小题满分12分)

甲、乙两名射击运动员进行射击选拔比赛，已知甲、乙两运动员射击的环数稳定在6，7，8，9，10环，其射击比赛成绩的分布列如下：

甲运动员：

乙运动员：、

(Ⅰ)若甲、乙两运动员各射击一次，求同时击中9环以上(含9环)的概率；

(Ⅱ)若从甲、乙两运动员中只能挑选一名参加某项国际比赛，你认为让谁参加比赛较合适？并说明理由.

[解](Ⅰ)记“甲运动员击中环”为事件 ；“乙运动员击中环”为事件；“甲、乙两运动员同时击中9环(含9环)”为事件C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

因为，.　　　 (4分)

所以.

故甲、乙两运动员同时击中9环以上(含9环)的概率为0.126.　　　　 　　　　　(6分)

　(Ⅱ)由分布列可知，.　 (7分)

.

(8分)

又.　　　　　　　　 (9分)

(10分)

因为，，所以甲、乙两运动员射击成绩的均值相等，但甲射击成绩的稳定性比乙要好，故选派甲参加比赛较合适.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (12分)

16.(本小题满分12分)

设角A，B，C为△ABC的三个内角.

(Ⅰ)若，求角A的大小；

(Ⅱ)设，求当A为何值时，f(A)取极大值，并求其极大值.

[解析](Ⅰ)由已知，，即.　 (2分)

所以，即.　　　　　　　　　 (4分)

在△ABC中，因为，则，所以，从而.　 (5分)

而，即.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

(Ⅱ)因为.　 (8分)

因为，则.由，得，所以，即.、

所以当时，为增函数；当时，为减函数.　　　 (10分)

故当时，取极大值，且极大值为　　　　　　　　　　 (12分)

15.设a，b，λ都为正数，且a≠b，对于函数图象上两点，.

(1)若，则点C的坐标是；

(2)过点C作x轴的垂线，交函数的图象于D点，

由点C在点D的上方可得不等式：.

[解析](1)设点，因为点，，，则

，所以.

(2)因为点C在点D的上方，则，所以.

14.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 　.

[解析]因为定义域为，又，由，得.

　据题意，，解得

0.3×0.1×100＝3.因为前四组的频数成等比数列，则视力在4.6-4.7的频数为1×3³＝27.

因为后6组的频数成等差数列，设公差为d，则，解得.

故视力在4.6-5.0之间的学生人数为(人).

13.随机抽查某中学高三年级100名学生的视力情况，得其频率分布直方图如下图所示.已知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生人数为 78 人.

[解析]由直方图知，视力在4.3-4.4的频数为0.1×0.1×100＝1，视力在4.4-4.5的频数为