23.(本题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，动圆的圆心为，求的取值范围.

解：由已知，所以圆心则

　　 (其中)

　　 而

22.(本题满分10分)选修4-5不等式选讲

已知函数，其中，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

解：

只需即

21．(本题满分12分)

已知点都在直线：y=2x+2上，P₁为直线与x轴的交点，数列成等差数列，

公差为1.(n∈N₊)

(1)求数列，的通项公式；

(2)若f(n)=　 问是否存在k,使得f(k+2011)=2f(k)－2成立；若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.

(3)求证：　　　 (n≥2，n∈N₊)

解：(1)，

　　　　 ，

(2)不存在这样的

　　 假设存在

①若为奇数，则

　　　　 所以无解

②若为偶数，则

所以，解得矛盾

(3) ，

时，

时，

时

请考生在第22,23两题中任选一题做答，写出必要解答过程，如果多做，则按所做的第一题计分

20．(本题满分12分)

设椭圆E: (a,b>0)过M(2，) ，N(,1)两点，O为坐标原点，

(I)求椭圆E的方程；

(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在，说明理由。

解:(1)因为椭圆E: (a,b>0)过M(2，) ，N(,1)两点,

所以解得所以椭圆E的方程为

(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,

①若该圆切线斜率存在，设为，则该圆的切线方程为解方程组得,即,　　

则△=,即

_，

要使,需使,即,所以,

所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,②而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

因为,所以,

,　

①当时

因为所以,

所以,

所以当且仅当时取”=”.

② 当时,.

③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,

综上, |AB |的取值范围为即:

19.(本题满分12分)

设函数，其中常数a>1.

(1)讨论的单调性；(2)若方程在时有唯一解，求实数的取值范围　　

解：(1)

令得

增区间是和；减区间是

(2)由(1)知在和均递增，且

时，

解法一：①若，即亦即时，

则在上连续单调，且，所以方程在内有一个实根，又由表达式知存在一个充分大的正数X，使X且，由零点存在性定理知，在内至少有一实根与在内存在唯一实根矛盾.

②若，则对一切均有，故方程在无实根.

③若，即时，则是在内的唯一实根

解法二：又，要使方程在时有唯一解，只需，即

综上，的值为6

18．(本题满分12分)

已知是等比数列的前项和，成等差数列，求证：成等差数列.

证明：成等差数列，公比，，

　　　 ， 得证.

17．(本题满分12分)

某车站在春运期间为了改进服务，随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排队到购到车票所用的时间(以下简称购票用时，单位为min)，表和图是这次调查统计分析所得到得频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题.

分组	频数	频率
一组		0	0
二组		10	0.10
三组		10
四组			0.50
五组		30	0.30
合计	100	1.00

(1)写出这次抽样的样本容量是多少；

答：这次抽样的样本容量是100

(2)在表中填写出缺失的数据，并补全频率分布直方图；

见图

分组	频数	频率
一组		0	0
二组		10	0.10
三组		10	0.10
四组		50	0.50
五组		30	0.30
合计	100	1.00

(3)旅客购票用时的平均数最可能落在哪一小组？

答：购票用时的平均数

　　 所以旅客购票用时的平均数最可能落在第四小组