4．(2009·全国Ⅱ文，9)若将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　　 B.　 　　　　　　　　　　　　　 C.　 　　　　　　　　　　　　　 D.

解析　函数y＝tan向右平移后得到

解析y＝tan＝tan.又因为y＝tan，∴令－＝+kπ，∴＝+kπ(k∈Z)，由ω>0得ω的最小值为.

答案　D

3．(2010·莱芜一模)若函数y＝Asin(ωx+φ)+m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，

直线x＝是其图象的一条对称轴，则它的解析式是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．y＝4sin　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．y＝2sin+2

C．y＝2sin+2　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．y＝2sin+2

解析　∵　∴

∵T＝，∴ω＝＝4.∴y＝2sin(4x+φ)+2.

∵x＝是其对称轴，∴sin＝±1.

∴+φ＝+kπ (k∈Z)．

∴φ＝kπ－ (k∈Z)．当k＝1时，φ＝.

答案　D

2．(2010·泉州模拟)将函数y＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．f(x)＝sin x　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．f(x)＝cos x

C．f(x)＝sin 4x　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．f(x)＝cos 4x

解析　 y＝sin→y＝sin

→y＝sin＝sin x.

答案　A

1．(2009·山东文，3)将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得

图象的函数解析式是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．y＝2cos²x　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．y＝2sin²x

C．y＝1+sin(2x+)　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．y＝cos 2x

解析　将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin2(x+)，即y＝sin(2x+)＝cos 2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1+cos 2x＝2cos²x.

答案　A

12．(14分)(2009·肇庆模拟)设函数f(x)＝cos ωx(sin ωx+cos ωx)，其中0<ω<2.

(1)若f(x)的周期为π，求当－≤x≤时f(x)的值域；

(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝，求ω的值．

解　f(x)＝sin 2ωx+cos 2ωx+

＝sin+.

(1)因为T＝π，所以ω＝1.

∴f(x)＝sin+，

当－≤x≤时，2x+∈，

所以f(x)的值域为.

(2)因为f(x)的图象的一条对称轴为x＝，

所以2ω+＝kπ+(k∈Z)，

ω＝k+ (k∈Z)，

又0<ω<2，所以－<k<1，又k∈Z，

所以k＝0，ω＝.

§4.4　 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

11．(13分)(2008·天津文，17)已知函数f(x)＝2cos²ωx+2sin ωxcos ωx+1 (x∈R，ω>0)的最小

正周期是.

(1)求ω的值；

(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．

解　(1)f(x)＝2+sin 2ωx+1

＝sin 2ωx+cos 2ωx+2

＝+2

＝sin+2.

由题设，函数f(x)的最小正周期是，可得＝，

所以ω＝2.

(2)由(1)知，f(x)＝sin+2.

当4x+＝+2kπ，即x＝+(k∈Z)时，

sin取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是

2+，此时x的集合为.

10．(13分)(2010·怀化模拟)设函数f(x)＝sin (－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是

直线x＝.

(1)求φ；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．

解　(1)令2×+φ＝kπ+，k∈Z，

∴φ＝kπ+，又－π<φ<0，则－<k<－，

∴k＝－1，则φ＝－.

(2)由(1)得：f(x)＝sin，

令－+2kπ≤2x－≤+2kπ，

可解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

因此y＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.

9．(2010·绍兴月考)关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：

①由f(x₁)＝f(x₂)＝0可得x₁－x₂必是π的整数倍；

②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；

③y＝f(x)的图象关于点对称；

④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．

其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)

解析　函数f(x)＝4sin的最小正周期T＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是＝知①错．

利用诱导公式得f(x)＝4cos

＝4cos＝4cos，知②正确．

由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－代入得f(x)＝

4sin＝4sin 0＝0，因此点是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正确．

曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x＝－时y＝0，点

不是最高点也不是最低点，故直线x＝－不是图象的对称轴，因此命题④不正确．

答案　②③

8．(2008·辽宁理，16)已知f(x)＝sin (ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最

小值，无最大值，则ω＝________.

解析　如图所示，

且，

又f(x)在区间内只有最小值、无最大值，

∴f(x)在x=处取得最小值．

∴(k∈Z)．

∴ω=8k- (k∈Z)．

∵ω>0，∴当k=1时，ω=8-

当k=2时，ω=16，此时在区间内存在最大值．故ω=.

答案　

7．(2010·株州调研)函数y＝lg(sin x)+的定义域为________________，函数y＝

sin的单调递增区间为______________．

解析　①要使函数有意义必须有，

即，解得(k∈Z)，

∴2kπ<x≤+2kπ，k∈Z，

∴函数的定义域为.

②由y＝sin得y＝－sin，

由+2kπ≤x－≤π+2kπ，

得π+3kπ≤x≤+3kπ，k∈Z，

故函数的单调递增区间为

(k∈Z)．

答案　 (k∈Z)

(k∈Z)