12．(14分)(2009·宁德期末)已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，

α∈，且a⊥b.

(1)求tan α的值；

(2)求cos的值．

解　(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.

而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，

故a·b＝6sin²α+5sin αcos α－4cos²α＝0.

由于cos α≠0，∴6tan²α+5tan α－4＝0.

解之，得tan α＝－，或tan α＝.

∵α∈，tan α<0，

故tan α＝(舍去)．

∴tan α＝－.

(2)∵α∈，∴∈.

由tan α＝－，求得tan ＝－或tan ＝2(舍去)．

∴sin ＝，cos ＝－，

cos＝cos cos －sin sin

＝－×－×＝－.

§4.6　正弦定理和余弦定理

11．(13分)(2009·烟台三模)已知函数f(x)＝2sin²－cos 2x.

(1)求f(x)的周期和单调递增区间；

(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有解，求实数m的取值范围．

解　(1)f(x)＝2sin²－cos 2x

＝1－cos－cos 2x

＝1+sin 2x－cos 2x

＝2sin+1，

周期T＝π；令2kπ－≤2x－≤2kπ+，

解得单调递增区间为(k∈Z)．

(2)x∈，所以2x－∈，

sin∈，

所以f(x)的值域为[2,3]．

而f(x)＝m+2，所以m+2∈[2,3]，即m∈[0,1]．

10．(13分)(2009·珠海模拟)化简：

(1)sin+cos；

(2).

解　(1)原式＝2

＝2

＝2cos

＝2cos.

(2)原式＝

＝＝1.

9．(2009·铜陵模拟)已知α，β∈，sin(α+β)＝－，

sin＝，则cos＝________.

解析　∵α、β∈，∴π<α+β<2π，<β－<π，

∴cos(α+β)＝，cos(β－)＝－，

∴cos＝cos

＝cos(α+β)cos+sin(α+β)sin

＝×+×＝－.

答案　－

8．(2009·宁波模拟)＝________.

解析　＝

＝＝＝2.

答案　2

7．(2010·长春一模)若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.

解析　∵＝＝3，∴tan α＝2.

又tan(α－β)＝2，故tan(β－α)＝－2.

∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]

＝＝.

答案　

6．(2009·哈尔滨期末)在△ABC中，角C＝120°，tan A+tan B＝，则tan Atan B的值为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　 B.　 　　　　　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　　　　　　 　D.

解析　tan(A+B)＝－tan C＝－tan 120°＝，

∴tan(A+B)＝＝，

即＝，解得tan Atan B＝.

答案　B

5．(2010·舟山一模)已知sin＝，则cos的值是　　 　　　　　　　　　　 (　)

A．－　 　　　　　　　　 B．－ 　　　　　　　 　　　 C.　 　　　　　　　　　　 D.

解析　cos＝－cos

＝－cos＝－＝－.

答案　A

4．(2009·济宁模拟)已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，则sin

等于　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．－　 　　　　　　　 B．－ 　　　　　　　　　　　 　C.　　　　　　　　　 　 D.

解析　a·b＝4sin+4cos α－

＝2sin α+6cos α－＝4sin－＝0，

∴sin＝.

∴sin＝－sin＝－.

答案　B

3．(2010·阳江一模)已知cos＝，则sin²－cos的值是　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．－

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析　sin²－cos

＝1－cos²+cos＝.

答案　A