10．(13分)(2009·淮南调研)在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状．

解　由已知＝＝＝，

所以＝.

方法一　利用正弦定理边化角．

由正弦定理，得＝，所以＝，

即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B.

因为B、C均为△ABC的内角，

所以2C＝2B或2C+2B＝180°，

所以B＝C或B+C＝90°，

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．

方法二　由余弦定理，得＝，

即(a²+b²－c²)c²＝b²(a²+c²－b²)，

所以a²c²－c⁴＝a²b²－b⁴，

即a²b²－a²c²+c⁴－b⁴＝0，

所以a²(b²－c²)+(c²－b²)(c²+b²)＝0，

即(b²－c²)(a²－b²－c²)＝0，

所以b²＝c²或a²－b²－c²＝0，

即b＝c或a²＝b²+c².

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．

9．(2010·中山一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝(b²+c²－a²)，则∠A＝________.

解析　S＝(b²+c²－a²)＝(2bccos A)＝bccos A，

又S_△ABC＝bcsin A，∴sin A＝cos A，

即tan A＝1.又A为△ABC的内角，∴A＝.

答案　

8．(2009·泰安调研)在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1+，AD为边BC上的高，则AD的长是________．

解析　cos C＝＝，∴sin C＝.

∴S_△ABC＝absin C＝a×AD.∴AD＝.

答案　

7．(2009·上海春招)在△ABC中，若AB＝3，∠ABC＝75°，∠ACB＝60°，则BC＝________.

解析　根据三角形内角和定理知

∠BAC＝180°－75°－60°＝45°.

根据正弦定理得＝，

即＝，∴BC＝＝＝.

答案　

6．(2010·湖州一模)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若b²+c²－bc＝a²，

且＝，则角C的值为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．45°　 　　　　　　　　 B．60°　　　　　　　　 　 C．90° 　　　　　　　　　 　D．120°

解析　由b²+c²－bc＝a²，得b²+c²－a²＝bc，

∴cos A＝＝，∴A＝60°.

又＝，∴＝，

∴sin B＝sin A＝×＝，

∴B＝30°，∴C＝180°－A－B＝90°.

答案　C

5．(2008·福建理，10)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a²+c²－b²)tan B

＝ac，则角B的值为　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　 C.或　　　　　　　　 　　 　D.或

解析　∵(a²+c²－b²)tan B＝ac，

∴·tan B＝，

即cos B·tan B＝sin B＝.

∵0<B<π，∴角B的值为或.

答案　D

4．(2008·四川文，7)△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝b，A＝2B，则cos B等于　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　 　C.　　　　　　　　　 　　 　D.

解析　由正弦定理得＝，

∴a＝b可化为＝.

又A＝2B，∴＝，∴cos B＝.

答案　B

3．(2010·滨州模拟)△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 B.

C.或　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.或

解析　＝，∴sin C＝.

∵0°<C<180°，∴C＝60°或120°.

(1)当C＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S_△ABC＝；

(2)当C＝120°时，A＝30°，

S_△ABC＝××1×sin 30°＝.

答案　D

2．(2009·清远期末)△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos 2B+3cos(A+

C)+2＝0，b＝，则c∶sin C等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．3∶1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.∶1

C.∶1　 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 D．2∶1

解析　cos 2B+3cos(A+C)+2＝2cos²B－3cos B+1＝0，∴cos B＝或cos B＝1(舍)．∴B

＝.

∴＝＝＝2.

答案　D

1．(2010·汕头模拟)△ABC的三边分别为a，b，c且满足b²＝ac,2b＝a+c，则此三角形是(　)

A．等腰三角形　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．直角三角形

C．等腰直角三角形　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．等边三角形

解析　∵2b＝a+c，∴4b²＝(a+c)²，

又∵b²＝ac，∴(a－c)²＝0.∴a＝c.

∴2b＝a+c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.

答案　D