2.一般数学表达式:
一:复习要点
1.定律内容:相互作用的几个物体组成的系统,如果不受外力作用,或者它们受到的外力之和为零,则系统的总动量保持不变。
10、一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶,恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来,从后边赶过汽车。试求:
(1) 汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少?
(2) 什么时候汽车追上自行车,此时汽车的速度是多少?
解析:解法一:汽车开动后速度由零逐渐增大,而自行车的速度是定值。当汽车的速度还小于自行车速度时,两者的距离将越来越大,而一旦汽车速度增加到超过自行车速度时,两车距离就将缩小。因此两者速度相等时两车相距最大,有,所以,
解法二:用数学求极值方法来求解
(1) 设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远,
因为
所以,由二次函数求极值条件知,
时,
最大
即
(2)汽车追上自行车时,二车位移相等,则
,
解法三:用相对运动求解更简捷
选匀速运动的自行车为参考系,则从运动开始到相距最远这段时间内,汽车相对此参考系的各个物理量为:
初速度v0 = v汽初-v自 =(0-6)m/s = -6m/s
末速度vt = v汽末-v自 =(6-6)m/s = 0
加速度 a = a汽-a自 =(3-0)m/s2 = 3m/s2
所以相距最远 s= =-6m(负号表示汽车落后)
解法四:用图象求解
(1)自行车和汽车的v-t图如图,由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小,所以由图上可以看出:在相遇之前,在t时刻两车速度相等时,自行车的位移(矩形面积)与汽车的位移(三角形面积)之差(即斜线部分)达最大,所以
t=v自/a=s=2s
△s= vt-at2/2 =(6×2-3×22/2)m= 6m
(2)由图可看出:在t时刻以后,由v自或与v汽线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时,两车的位移相等(即相遇)。所以由图得相遇时,t’= 2t = 4s,v’= 2v自=12m/s
答案 (1)2s 6m (2)12m/s
8、摩托车在平直公路上从静止开始起动,a1=1.6m/s2,稍后匀速运动,然后减速,a2=6.4m/s2,直到停止,共历时130s,行程1600m。试求:
(1) 摩托车行驶的最大速度vm;
(2) 若摩托车从静止起动,a1、a2不变,直到停止,行程不变,所需最短时间为多少?
分析:(1)整个运动过程分三个阶段:匀加速运动;匀速运动;匀减速运动。可借助v-t图象表示。
(2)首先要回答摩托车以什么样的方式运动可使得时间最短。借助v-t图象可以证明:当摩托车以a1匀加速运动,当速度达到v/m时,紧接着以a2匀减速运动直到停止时,行程不变,而时间最短
解:(1)如图所示,利用推论vt2-v02=2as有:
+(130-
)vm+
=1600.其中a1=1.6m/s2,a2=6.4m/s2.解得:vm=12.8m/s(另一解舍去).
(2)路程不变,则图象中面积不变,当v越大则t越小,如图所示.设最短时间为tmin,则tmin=
①
=1600 ②
其中a1=1.6m/s2,a2=6.4m/s2.由②式解得vm=64m/s,故tmin=.既最短时间为50s.
答案:(1)12.8m/s (2)50s
9一平直的传送以速率v=2m/s匀速行驶,传送带把A处的工件送到B处,A、B两处相距L=10m,从A处把工件无初速度地放到传送带上,经时间t=6s能传送到B处,欲使工件用最短时间从A处传送到B处,求传送带的运行速度至少应多大?
解析:物体在传送带上先作匀加速运动,当速度达到v=2m/s后与传送带保持相对静止,作匀速运动.设加速运动时间为t,加速度为a,则匀速运动的时间为(6-t)s,则:
v=at ①
s1=at2 ②
s2=v(6-t) ③
s1+s2=10 ④
联列以上四式,解得t=2s,a=1m/s2
物体运动到B处时速度即为皮带的最小速度
由v2=2as 得v=m/s
传送带给物体的滑动摩擦力提供加速度,即此加速度为物体运动的最大加速度.要使物体传送时间最短,应让物体始终作匀加速运动
7、天文观测表明,几乎所有远处的恒星(或星系)都在以各自的速度背离我们而运动,离我们越远的星体,背离我们运动的速度(称为退行速度)越大;也就是说,宇宙在膨胀,不同星体的退行速度v和它们离我们的距离r成正比,即v=Hr。式中H为一常量,称为哈勃常数,已由天文观察测定,为解释上述现象,有人提供一种理论,认为宇宙是从一个大爆炸的火球开始形成的,假设大爆炸后各星体即以不同的速度向外匀速运动,并设想我们就位于其中心,则速度越大的星体现在离我们越远,这一结果与上述天文观测一致。
由上述理论和天文观测结果,可估算宇宙年龄T,其计算式如何?根据近期观测,哈勃常数H=3×10-2m/(s 光年),其中光年是光在一年中行进的距离,由此估算宇宙的年龄约为多少年?
解析:由题意可知,可以认为宇宙中的所有星系均从同一点同时向外做匀速直线运动,由于各自的速度不同,所以星系间的距离都在增大,以地球为参考系,所有星系以不同的速度均在匀速远离。则由s=vt可得r=vT,所以,宇宙年龄:T==
=
若哈勃常数H=3×10-2m/(s 光年)
则T==1010年
思考:1 宇宙爆炸过程动量守恒吗?如果爆炸点位于宇宙的“中心”,地球相对于这个“中心”做什么运动?其它星系相对于地球做什么运动?
2 其它星系相对于地球的速度与相对于这个“中心”的速度相等吗?
6、一物体在A、B两点的正中间由静止开始运动(设不会超越A、B),其加速度随时间变化如图所示。设向A的加速度为为正方向,若从出发开始计时,则物体的运动情况是( )
A 先向A ,后向B,再向A,又向B,4秒末静止在原处
B 先向A ,后向B,再向A,又向B,4秒末静止在偏向A的某点
C 先向A ,后向B,再向A,又向B,4秒末静止在偏向B的某点
D 一直向A运动,4秒末静止在偏向A的某点
解析:根据a-t图象作出其v-t图象,如右图所示,由该图可以看出物体的速度时大时小,但方向始终不变,一直向A运动,又因v-t图象与t轴所围“面积”数值上等于物体在t时间内的位移大小,所以4秒末物体距A点为2米
答案:D
5、在轻绳的两端各栓一个小球,一人用手拿者上端的小球站在3层楼阳台上,放手后让小球自由下落,两小球相继落地的时间差为T,如果站在4层楼的阳台上,同样放手让小球自由下落,则两小球相继落地时间差将 ( )
A 不变 B 变大 C 变小 D 无法判断
解析:两小球都是自由落体运动,可在一v-t图象中作出速度随时间的关系曲线,如图所示,设人在3楼阳台上释放小球后,两球落地时间差为△t1,图中阴影部分面积为△h,若人在4楼阳台上释放小球后,两球落地时间差△t2,要保证阴影部分面积也是△h;从图中可以看出一定有△t2〈△t1
答案:C
4、汽车甲沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动,当它路过某处的同时,该处有一辆汽车乙开始做初速度为零的匀加速运动去追赶甲车,根据上述的已知条件( )
A. 可求出乙车追上甲车时乙车的速度
B. 可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程
C. 可求出乙车从开始起动到追上甲车时所用的时间
D. 不能求出上述三者中任何一个
分析:题中涉及到2个相关物体运动问题,分析出2个物体各作什么运动,并尽力找到两者相关的物理条件是解决这类问题的关键,通常可以从位移关系、速度关系或者时间关系等方面去分析。
解析:根据题意,从汽车乙开始追赶汽车甲直到追上,两者运动距离相等,即s甲=
=s乙=s,经历时间t甲=t乙=t.
那么,根据匀速直线运动公式对甲应有:
根据匀加速直线运动公式对乙有:,及
由前2式相除可得at=2v0,代入后式得vt=2v0,这就说明根据已知条件可求出乙车追上甲车时乙车的速度应为2v0。因a不知,无法求出路程和时间,如果我们采取作v-t图线的方法,则上述结论就比较容易通过图线看出。图中当乙车追上甲车时,路程应相等,即从图中图线上看面积s甲和s乙,显然三角形高vt等于长方形高v0的2倍,由于加速度a未知,乙图斜率不定,a越小,t越大,s也越大,也就是追赶时间和路程就越大。
答案:A
3、汽车原来以速度v匀速行驶,刹车后加速度大小为a,做匀减速运动,则t秒后其位移为( )
A B
C
D 无法确定
解析:汽车初速度为v,以加速度a作匀减速运动。速度减到零后停止运动,设其运动的时间t,=。当t≤t,时,汽车的位移为s=
;如果t>t,,汽车在t,时已停止运动,其位移只能用公式v2=2as计算,s=
答案:D
2、 一个物体在做初速度为零的匀加速直线运动,已知它在第一个△t时间内的位移为s,若 △t未知,则可求出 ( )
A. 第一个△t时间内的平均速度
B. 第n个△t时间内的位移
C. n△t时间的位移
D. 物体的加速度
解析:因=
,而△t未知,所以
不能求出,故A错.因
有
,
(2n-1)s,故B正确;又s∝t2 所以
=n2,所以sn=n2s,故C正确;因a=
,尽管△s=sn-sn-1可求,但△t未知,所以A求不出,D错.
答案:B、C
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