2．抛物线的焦点坐标为

A.　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　　 D.

1．若复数，则

　　　 A． 　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．1 　　　　　　　　　　　　　 D．

6．椭圆的参数方程的重要用途是设椭圆上一点的坐标时，可以减少一个变量，或者说坐标本身就已经体现出点在椭圆上的特点了，而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关系；如求椭圆上的点到一条直线的距离的最值。

[举例]若动点()在曲线上变化，则的最大值为　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．2

解析：本题可以直接借助于椭圆方程把x²用y表示，从而得到一个关于y 的二次函数，再配方求最值；这里用椭圆的参数方程求解：记x=2cos,y=bsin, =4cos²+

2bsin=f(),f()=-4sin²+2bsin+4=-4(sin-)²+, sin∈[-1,1]

若0<≤10<b≤4，则当sin=时f()取得最大值；若>1b>4,则当sin=1时f()取得最大值2，故选A

[巩固]椭圆上的点到直线2x-y+3=0距离的最大值是_____________。

5．研究椭圆上一点与两焦点组成的三角形(焦点三角形)问题时，常用椭圆定义及正、余弦定理。

[举例]已知焦点在轴上的椭圆F₁,F₂是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得，则的取值范围是　　　　　　 。

解析：思路一：先证一个结论：若B为椭圆短轴端点，则∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂。记∠F₁PF₂=,

|PF₁|=r₁, |PF₂|=r₂,cos===

又≤()²=,∴cos≥=cos∠F₁BF₂,当且仅当r₁=r₂时等号成立，

即∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂。题中椭圆上存在点P，使得∠F₁PF₂=90⁰，当且仅当∠F₁BF₂≥90⁰，即

cos∠F₁BO≤b≤a=,∴b∈(0, .思路二：用勾股定理：r₁+r₂=2a　 ①

r₁²+r₂²=4c²　 ②,由①②得：2r₁r₂=4b²,又2r₁r₂≤r₁²+r₂²　 ∴b²≤c²=4-b² 即b∈(0, .

思路三：用向量的坐标运算：记P(x₀,y₀),=(-c-x₀,-y₀), =(c-x₀,-y₀),

=c²-x₀²+y₀²=0(b²+4)x₀²=4(c²-b²),注意到：0≤x₀²≤4，∴0≤4(c²-b²)≤4(b²+4)

即0≤4-2b²≤b²+4，得b∈(0, .

[巩固1]椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是________。

[巩固2]已知P是椭圆上一点，F₁和F₂是焦点，若∠F₁PF₂=30°，则△PF₁F₂的面积为(　　 )　　　　　　　　 　　　

　　　 A．　　　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．4

4．研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；会推导并记住椭圆的焦半径公式。

[举例1] 如图把椭圆的长轴AB分成8分，过

每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于,,……

七个点，F是椭圆的一个焦点，则____________．

解析：P₁与P₇，P₂与P₆，P₃与P₅关于y轴对称，P₄在y轴上，

记椭圆的另一个焦点为F^/，则|P₇F|=|P₁F^/|，|P₆F|=|P₂F^/|，|P₅F|=|P₃F^/|，

于是|P₁F|+|P₁F^/|+|P₂F|+|P₂F^/|+|P₃F|+|P₃F^/|+|P₄F|=7a=35.　

　[举例2] 已知A、B是椭圆上的两点，F₂是椭圆的右焦点，如果 AB的中点到椭圆左准线距离为，则椭圆的方程　　　　 .

解析： ==，

记AB的中点为M ，A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A₁、B₁，M₁，由椭圆第二定义知：|AF₁|=e|AA₁|，|BF₁|=e|BB₁|，于是有：e(|AA₁|+|BB₁|)=，而e=

∴|AA₁|+|BB₁|=3a2|MM₁|=3a，又|MM₁|=，得a=1，故椭圆方程为。

[巩固1] 椭圆的两焦点为F₁，F₂，以F₁F₂为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分，则椭圆的离心率为　　　 。

[巩固2]已知F₁、F₂是椭圆的左右焦点，点是此椭圆上的一个动点，为一个定点，则的最大值为　　　　 ，的最小值为　　　 。

[提高] 过椭圆左焦点F且斜率为的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率e=_____

3.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。

[举例1]已知⊙Q：(x-1)²+y²=16,动⊙M过定点P(-1,0)且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：

　　　　　　 　　　　。

解析：P(-1,0)在⊙Q内，故⊙M与⊙Q内切，记：M(x,y)，⊙M的半径是为r，则：

|MQ|=4-r，又⊙M过点P，∴|MP|=r，于是有：|MQ|=4-|MP|，即|MQ|+|MP|=4，可见M点的轨迹是以P、Q为焦点(c=1)的椭圆，a=2。

[举例2] 若动点P(x,y)满足|x+2y-3|=5，则P点的轨迹是：

A．圆　　　 B、椭圆　　 C、双曲线　　　 D、抛物线

解析：等式两边平方，化简方程是最容易想到的，但不可行，一方面运算量很大，另一方面是平方、展开后方程中会出现xy项，这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。但是，仔细观察方程后，就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离，而等式右边则是两点间的距离的5倍；为了让等式左边变成点到直线的距离，可以两边同除以，于是有：

=，这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了，

只需将方程再变形为：，即动点P(x,y)到定点A(1，2)与到定直线x+2y-3=0的距离之比为，∴其轨迹为椭圆。

[巩固1] 已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为　　　　　　　　 .

[巩固2]设x、y∈R，在直角坐标平面内，=(x,y+2),=(x,y-2),且||+||=8，则点

M(x,y)的轨迹方程为　　　　　　　　　　 。

[提高]已知A(0，7)，B(O，-7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，则椭圆的另一焦点的轨迹方程为　　　　　　 。

[迁移] P为直线x-y+2=0上任一点，一椭圆的两焦点为F₁(-1，0)、F₂(1，0)，则椭圆过P点且长轴最短时的方程为　　　　　　　　　　 。

2．椭圆关于x轴、y轴、原点对称；P(x,y)是椭圆上一点，则|x|≤a,|y|≤b，

a-c≤|PF|≤a+c，(其中F是椭圆的一个焦点)，椭圆的焦点到短轴端点的距离为a，椭圆的焦准距为，椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2，通经是过焦点最短的弦。

[举例1] 已知椭圆(>0,>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若

BF⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为　　　 。

解析：|AB|²=²+²，|BF|=，|FA|=+，在Rt⊿ABF中，(+)²=²+²+²

化简得： ²+-²=0，等式两边同除以²得：，解得：=。

注：关于,，的齐次方程是“孕育”离心率的温床。

[举例2] 已知椭圆(>0,>0)的离心率为，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后，所得的新的椭圆的一条准线的方程为=，则原来椭圆的方程是　　　　　　 。

解析：原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点，在x轴上，直线=为新椭圆的上准线，故新椭圆的焦准距为，∴原来椭圆的焦准距也为，于是有：=　　 ①，

=　 ②，由①②解得：=5，=3。

[巩固1]一椭圆的四个顶点为A₁，A₂，B₁，B₂，以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点，的椭圆的离心率为　　　 。

[巩固2] 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

(A)　　　　　 (B)　　　　　　 (C)　 　　　　　　　　(D)

[迁移]椭圆上有n个不同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，椭圆的右焦点F，数列{| P_nF|}

是公差大于的等差数列，则n的最大值为　　　　 (　　 )

A．198　　　 B．199 　　　C．200　　　 D．201

1.方程表示椭圆>0，>0，且≠；是，中之较大者，焦点的位置也取决于，的大小。

[举例] 椭圆的离心率为，则=　　

解析：方程中4和哪个大哪个就是，因此要讨论；(ⅰ)若0<<4,则，∴，∴==，得=3；(ⅱ)>4,则，∴，∴==，得=；综上：=3或=。

[巩固]若方程：x²+ay²=a² 表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a的允许值的个数是

A　1个　　B .2个　　C.4个　　D.无数个

5.圆的参数方程的本质是sin²+ cos²=1。参数方程的重要用途是设圆上一点的坐标时，可以减少一个变量，或者说坐标本身就已经体现出点在圆上的特点了，而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关系。

[举例]已知圆上任意一点P(x、y)都使不等式x+y+m³0成立，则m的取值范围是：A .[　 B　 　　C　 ()　　 D　 　(　　 )

解析：不等式x+y+m³0恒成立m³ -(x+y)恒成立，以下求-(x+y)的最大值：

记x= cos、y=1+ sin，-(x+y)= -( cos+1+ sin)= -1-sin(+)≤-1+,选A。

[巩固1] 的最大值为　　　　　　　 。

[巩固2]在⊿ABC中，已知，c=10,P是⊿ABC的内切圆上一点，则PA²+PB²

+PC²的最大值为　　　

[迁移]动点P，Q坐标分别为，(是参数)，则|PQ|的最大值与最小值的和为　　　　 ．

4．判断两圆的位置关系用圆心距与它们半径和、差的大小。⊙M、⊙N的半径分别为、，

|MN|>+外离，|MN|=+外切，|-|<|MN|<+相交，此时，若⊙M：

，⊙N：，过两圆交点的圆(系)的方程为：+()=0(⊙N除外)。

特别地：当= -1时，该方程表示两圆的公共弦。连心线垂直平分公共弦。|MN|=|-|内切，|MN|<|-|内含。

[举例1]已知两圆O₁：x²+y²=16，O₂：(x-1)²+(y+2)²=9，两圆公共弦交直线O₁O₂于M点，则O₁分有向线段MO₂所成的比λ=　　 (　　 )

　　 A．　　 　　　　　　 B．　　　 　　　　　　 C．-　　　 　　　　　 D．-

解析：直线O₁ O₂：y= -2x，两圆公共弦：x-2y=6，于是有：M(，)，有定比分点坐标公式不难得到λ的值，选C。

[举例2] 若

则a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．　　 　　 B．　　 　 C．　 　　 D．

解析：集合A、B分别表示两个圆面(a=1时集B表示一个点)，A∩B=BBA，即两圆内含；有两圆圆心分别为原点和(0，2)，半径分别为4和，于是有：2≤4-,解得：，选C。

[巩固1]圆心在直线的交点的圆的方程为　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　 　　　 D．

[巩固2]若圆(x－a)²+(y－b)²=6始终平分圆x²+y²+2x+2y－3=0的周长，则动点M(a,b)的轨迹方程是　

A.a²+b²－2a－2b+1=0　　　　　　　　　　　　　　　 B.a²+b²+2a+2b+1=0　

C.a²+b²－2a+2b+1=0　　　　　　　　　　　　　　　　 D.a²+b²+2a－2b+1=0

[迁移]与圆+=0外切且与轴相切的动圆圆心的轨迹方程为　　　　　 。