5．如图32所示，木块M上表面是水平的，当木块m置于M上，并与M一起沿光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中

　　 A．重力对木块m做正功

　　 B．木块M对木块m的支持力做负功

　　 C．木块M对木块m的摩擦力做负功

　 D．木块m所受合外力对m做正功。

4．飞机在飞行时受到的空气阻力与速率的平方成正比。若飞机以速率V匀速飞行时，发动机的功率为P，则当飞机以速率nV匀速飞行时，发动机的功率为：

　　 A．np　　　　 B．2np　　　　 C．n²p　　　　　　　 D．n³p。

3．静止在光滑水平面上的物体，受到一个水平拉力的作用，该力随时间变化的关系如图31所示，则下列结论正确的是：

　　　 A．拉力在2s内的功不为零；　　　　　

　　　 B．物体在2s内的位移不零；

　　　 C．拉力在2s内的冲量不为零；　　　　

　 D．物体在2s末的速度为零。

2．用力拉质量为M的物体，沿水平面匀速前进S，已知力与水平面的夹角为，方向斜向上，物体与地面间的滑动摩擦系数为，则此力做功为：

A．MgS　　　　　　　　　　 　B．MgS/Cos

C．MgS/(Cos+Sin)　　　 D．MgSCos/(Cos+Sin)。

1．下列说法哪些是正确的？

　　　 A．作用在物体上的力不做功，说明物体的位移为零；

　　　 B．作用力和反作用力的功必然相等，且一正一负；

　　　 C．相互摩擦的物体系统中摩擦力的功的代数和不一定为零；

　　　 D．某一个力的功为零，其冲量不一定为零。

典型错误之一：错误认为“人做功的计算”与“某个具体力做功的计算”相同。

人做的功就是人体消耗化学能的量度，不少学生错误认为只是人对其它物体作用力所做的功。

例26、质量为m₁、m₂的两物体，静止在光滑的水平面上，质量为m的人站在m₁上用恒力F拉绳子，经过一段时间后，两物体的速度大小分别为V₁和V₂，位移分别为S₁和S₂，如图25所示。则这段时间内此人所做的功的大小等于：

A．FS₂　　　　　　　　　　　　　　 B．F(S₁+S₂)　

C．　　　　 D．

错解：人所做的功等于拉力F对物体m₂所做的功W=F·S₂，由动能定理可得：

即AC正确。

分析纠错：根据能量守恒可知，人通过做功消耗的化学能将全部转化为物体m₁和m₂的动能以及人的动能。所以人做的功的大小等于

即B、D两选项正确。

典型错误之二：混淆注意“相对位移”与“绝对位移”。

功的计算公式中，S为力的作用点移动的位移，它是一个相对量，与参照物选取有关，通常都取地球为参照物，这一点也是学生常常忽视的，致使发生错误。

例27、小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上(如图26所示) ，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力。

(A)垂直于接触面，做功为零；

(B)垂直于接触面，做功不为零；

(C)不垂直于接触面，做功不为零；

(D)不垂于接触面，做功不为零。

错解：斜面对小物块的作用力垂直于接触面，作用力与物体的位移垂直，故做功为零。即A选项正确。

分析纠错：小物块A在下滑过程中和斜面之间有一对相互作用力F和F'，如图27所示。如果把斜面B固定在水平桌面上，物体A的位移方向和弹力方向垂直，这时斜面对物块A不做功。但此题告诉的条件是斜劈放在光滑的水平面上，可以自由滑动。此时弹力方向仍然垂直于斜面，但是物块A的位移方向却是从初位置指向终末位置。如图27所示，弹力和位移方向不再垂直而是成一钝角，所以弹力对小物块A做负功，即B选项正确。

典型错误之三：混淆“杆的弹力方向”与“绳的弹力方向”。

绳的弹力是一定沿绳的方向的，而杆的弹力不一定沿杆的方向。所以当物体的速度与杆垂直时，杆的弹力可以对物体做功。

例28、如图28所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放摆下。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功?

错解：由于杆的弹力总垂直于小球的运动方向，所以轻杆对A、B两球均不做功。

分析纠错：设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为V_A和V_B。如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象，那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。若取B的最低点为零重力势能参考平面，可得：

2mgL=　　　　　　

又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同,故V_B＝2V_A　　　　　　　

由以上二式得：.

根据动能定理，可解出杆对A、B做的功。对于A有

W_A+mgL/2= -O，

所以W_A=－mgL.

对于B有W_B+mgL=，所以W_B=0.2mgL.

典型错误之四：混淆作用力做功与反作用力做功的不同。

作用力和反作用是两个分别作用在不同物体上的力，因此作用力的功和反作用力的功没有直接关系。作用力可以对物体做正功、负功或不做功，反作用力也同样可以对物体做正功、负功或不做功。

例29、下列是一些说法：

①一质点受两个力作用且处于平衡状态(静止或匀速)，这两个力在同一段时间内的冲量一定相同;

②一质点受两个力作用且处于平衡状态(静止或匀速)，这两个力在同一段时间内做的功或者都为零，或者大小相等符号相反;

③在同样的时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正负号一定相反;

④在同样的时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正负号也不一定相反;

以上说法正确的是

A．①②　　　　 B．①③②　　　　　　 C．②③　　　　 　　　D．②④　

错解：认为“在同样的时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正负号一定相反”而错选B。

分析纠错：说法1不正确，因为处于平衡状态时，两个力大小相等方向相反，在同一段时间内冲量大小相等，但方向相反。由恒力做功的知识可知，说法2正确。关于作用力和反作用力的功要认识到它们是作用在两个物体上，两个物体的位移可能不同，所以功可能不同，说法3不正确，说法4正确。正确选项是D。

典型错误之五：忽视机械能的瞬时损失。

例30、一质量为m的质点，系于长为R的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O点，假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的。今把质点从O点的正上方离O点的距离为的O₁点以水平的速度抛出，如图29所示。试求；

(1)轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？

(2)当质点到达O点的正下方时，绳对质点的拉力为多大？

错解：很多同学在求解这道题时，对全过程进行整体思维，设质点到达O点的正下方时速度为V,根据能量守恒定律可得：

　　

根据向心力公式得：，解得：.

分析纠错：上述解法是错误的。这些同学对物理过程没有弄清楚，忽视了在绳被拉直瞬时过程中机械能的瞬时损失。其实质点的运动可分为三个过程：

第一过程：质点做平抛运动。设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为，如图30所示，则，

，其中

联立解得。

第二过程：绳绷直过程。绳棚直时，绳刚好水平，如图30所示.由于绳不可伸长，故绳绷直时，V₀损失，质点仅有速度V_⊥，且。

第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动。设质点到达O点正下方时，速度为V′，根据机械能守恒守律有：

设此时绳对质点的拉力为T，则，联立解得：。

5、用机械能守恒定律求变力做功

如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。

例5、如图4所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以V₀=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。

分析与解：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，则状态A：E_A= mgh+mV₀²/2

　对状态B：E_B=－W_弹簧+0

由机械能守恒定律得： W_弹簧=－(mgh+mv₀²/2)=－125(J)。

　6、用功能原理求变力做功

例6、两个底面积都是S的圆筒，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为h₁和h₂，如图5所示，已知水的密度为ρ。现把连接两桶的阀门打开，最后两桶水面高度相等，则这过程中重力所做的功等于　　　　 .

分析与解：由于水是不可压缩的，把连接两桶的阀门打开到两桶水面高度相等的过程中，利用等效法把左管高以上部分的水等效地移至右管，如图6中的斜线所示。最后用功能关系，重力所做的功等于重力势能的减少量，选用AB所在的平面为零重力势能平面，则画斜线部分从左管移之右管所减少的重力势能为：

所以重力做的功W_G=.

问题2：弄清滑轮系统拉力做功的计算方法

当牵引动滑轮两根细绳不平行时，但都是恒力，此时若将此二力合成为一个恒力再计算这个恒力的功，则计算过程较复杂。但若等效为两个恒力功的代数和，将使计算过程变得非常简便。

例7、如图7所示，在倾角为30°的斜面上，一条轻绳的一端固定在斜面上，绳子跨过连在滑块上的定滑轮，绳子另一端受到一个方向总是竖直向上，大小恒为F=100N的拉力，使物块沿斜面向上滑行1m(滑轮右边的绳子始终与斜面平行)的过程中，拉力F做的功是(　　　 )

A.100J　　　 B.150J

C.200J　　　 D.条件不足，无法确定

　 分析与解析：拉力F做的功等效为图8中F₁、F₂两个恒力所做功的代数和。即W=F₁·S+F₂Scos60°,而F₁=F₂=F=100N,所以

W=F·S(1+cos60°)=150J。即B选项正确。

问题3：弄清求某力的平均功率和瞬时功率的方法

例8、 质量为m=0.5kg的物体从高处以水平的初速度V₀=5m/s抛出，在运动t=2s内重力对物体做的功是多少？这2s内重力对物体做功的平均功率是多少？2s末，重力对物体做功的瞬时功率是多少？(g取)

分析与解：t=2s内，物体在竖直方向下落的高度m，

所以有，平均功率W。

在t=2s末速度物体在竖直方向的分速度,所以t=2s末瞬时功率W。

例9、起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度图象如图9所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图象可能是图10中的哪一个？

分析与解：在0-t₁时间内，重物加速上升，设加速度为a₁,则据牛顿第二定律可得钢索的拉力F₁=mg+ma₁,速度V_t=a₁t,所以拉力的功率为：P₁=m(a₁+g)a₁t;

在t₁-t₂时间内，重物匀速上升，拉力F₂=mg,速度为V₁=a₁t₁,所以拉力的功率为：

P₂=mga₁t₁.

在t₂-t₃时间内，重物减速上升，设加速度大小为a₂,则据牛顿第二定律可得钢索的拉力F₂=mg-ma₂,速度V₂=a₁t₁-a₂t,所以拉力的功率为：P₁=m(g-a₂)(a₁t₁-a₂t).

综上所述，只有B选项正确。

问题4：.机车起动的最大速度问题

例10、汽车发动机额定功率为60 kW，汽车质量为5.0×10³ kg，汽车在水平路面行驶时，受到的阻力大小是车重的0.1倍，试求：汽车保持额定功率从静止出发后能达到的最大速度是多少？

分析与解：汽车以恒定功率起动时，它的牵引力F将随速度V的变化而变化，其加速度a也随之变化，具体变化过程可采用如下示意图表示：

由此可得汽车速度达到最大时，a=0，

=12 m/s

小结：机车的速度达到最大时，一定是机车的加速度为零。弄清了这一点，利用平衡条件就很容易求出机车的最大速度。

问题5：机车匀加速起动的最长时间问题

例11、 汽车发动机额定功率为60 kW，汽车质量为5.0×10³ kg，汽车在水平路面行驶时，受到的阻力大小是车重的0.1倍，试求：若汽车从静止开始，以0.5 m/s²的加速度匀加速运动，则这一加速度能维持多长时间？

分析与解：要维持汽车加速度不变，就要维持其牵引力不变，汽车功率将随V增大而增大，当P达到额定功率P_额后，不能再增加，即汽车就不可能再保持匀加速运动了.具体变化过程可用如下示意图表示：

所以，汽车达到最大速度之前已经历了两个过程：匀加速和变加速，匀加速过程能维持到汽车功率增加到P_额的时刻，设匀加速能达到最大速度为V₁，则此时

小结：机车匀加速度运动能维持多长时间，一定是机车功率达到额定功率的时间。弄清了这一点，利用牛顿第二定律和运动学公式就很容易求出机车匀加速度运动能维持的时间。

问题6：.机车运动的最大加速度问题。

例12、 电动机通过一绳子吊起质量为8 kg的物体，绳的拉力不能超过120 N，电动机的功率不能超过1200 W，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90 m(已知此物体在被吊高接近90 m时，已开始以最大速度匀速上升)所需时间为多少？

分析与解：此题可以用机车起动类问题的思路，即将物体吊高分为两个过程处理：第一过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体以最大加速度匀加速上升，第一个过程结束时，电动机刚达到最大功率.第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小，当拉力等于重力时，物体开始匀速上升.

在匀加速运动过程中加速度为

a= m/s²=5 m/s²，末速度V_t==10 m/s　

上升的时间t₁=s=2 s，上升高度为h==10 m

在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速率为

V_m==15 m/s

外力对物体做的总功W=P_mt₂-mgh₂,动能变化量为

ΔE_k=mV²_m-mV_t²

由动能定理得P_mt₂-mgh₂=mV_m²-mV_t²

代入数据后解得t₂=5.75 s，所以t=t₁+t₂=7.75 s所需时间至少为7.75 s.

小结：机车运动的最大加速度是由机车的最大牵引力决定的，而最大牵引力是由牵引物的强度决定的。弄清了这一点，利用牛顿第二定律就很容易求出机车运动的最大匀加速度。

问题7：应用动能定理简解多过程问题。

物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程)，此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使问题简化。

例13、如图11所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m的滑块，距挡板P为S₀，以初速度V₀沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？

分析与解：滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端。

在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功。设其经过和总路程为L，对全过程，由动能定理得：

　　

得

问题8:利用动能定理巧求动摩擦因数

　 例14、如图12所示，小滑块从斜面顶点A由静止滑至水平部分C点而停止。已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s，设转角B处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数。

分析与解：滑块从A点滑到C点，只有重力和摩擦力做功，设滑块质量为m，动摩擦因数为，斜面倾角为，斜面底边长，水平部分长，由动能定理得：　　

从计算结果可以看出，只要测出斜面高和水平部分长度，即可计算出动摩擦因数。

　问题9:利用动能定理巧求机车脱钩问题

例15、总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，如图13所示。设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？

分析与解：此题用动能定理求解比用运动学、牛顿第二定律求解简便。

对车头，脱钩后的全过程用动能定理得：

对车尾，脱钩后用动能定理得：

而，由于原来列车是匀速前进的，所以F=kMg

由以上方程解得。

问题10:会用Q=fS_相简解物理问题

两个物体相互摩擦而产生的热量Q(或说系统内能的增加量)等于物体之间滑动摩擦力f与这两个物体间相对滑动的路程的乘积，即Q=fS_相.利用这结论可以简便地解答高考试题中的“摩擦生热”问题。下面就举例说明这一点。

例16、如图14所示，在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C。重物A(A视质点)位于B的右端，A、B、C的质量相等。现A和B以同一速度滑向静止的C，B与C发生正碰。碰后B和C粘在一起运动，A在C上滑行，A与C有摩擦力。已知A滑到C的右端面未掉下。试问：从B、C发生正碰到A刚移动到C右端期间，C所走过的距离是C板长度的多少倍？

分析与解：设A、B、C的质量均为m。B、C碰撞前，A与B的共同速度为V₀，碰撞后B与C的共同速度为V₁。对B、C构成的系统，由动量守恒定律得：mV_0­=2mV₁　　

设A滑至C的右端时，三者的共同速度为V₂。对A、B、C构成的系统，由动量守恒定律得：2mV₀=3mV₂　　

设C的长度为L， A与C的动摩擦因数为μ，则据摩擦生热公式和能量守恒定律可得：

设从发生碰撞到A移至C的右端时C所走过的距离为S，则对B、C构成的系统据动能定理可得：

由以上各式解得.

例17、如图15所示，AB与CD为两个对称斜面，其上部都足够长，下部分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为120⁰，半径R=2.0m,一个物体在离弧底E高度为h=3.0m处，以初速度V₀=4m/s沿斜面运动，若物体与两斜面的动摩擦因数均为μ=0.02,则物体在两斜面上(不包括圆弧部分)一共能走多少路程？(g=10m/s²).

分析与解：由于滑块在斜面上受到摩擦阻力作用，所以物体的机械能将逐渐减少，最后物体在BEC圆弧上作永不停息的往复运动。由于物体只在在BEC圆弧上作永不停息的往复运动之前的运动过程中，重力所做的功为W_G=mg(h-R/2),摩擦力所做的功为W_f=-μmgscos60⁰,由动能定理得：

　　　　 mg(h-R/2) -μmgscos60⁰=0-

∴s=280m.

问题11:会解机械能守恒定律与圆周运动的综合问题。

当系统内的物体都在做圆周运动，若机械能守恒，则可利用机械能守恒定律列一个方程，但未知数有多个，因此必须利用圆周运动的知识补充方程，才能解答相关问题。

例18、如图16所示，半径为r,质量不计的圆盘与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B。放开盘让其自由转动，问：

(1)A球转到最低点时的线速度是多少？

(2)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？

分析与解：该系统在自由转动过程中，只有重力做　　　　　　　　　　　　　　　

功，机械能守恒。设A球转到最低点时的线速度为V_A，B

球的速度为V_B，则据机械能守恒定律可得：

　mgr-mgr/2=mv_A²/2+mV_B²/2　　　　

据圆周运动的知识可知：V_A=2V_B　　

由上述二式可求得V_A=　　　　　　　　　　　　　　

设在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是θ(如图17所示)，则据机械能守恒定律可得：

　 mgr.cosθ-mgr(1+sinθ)/2=0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

易求得θ=sin^-1　 。

问题12:会解机械能守恒定律与动量守恒定律的综合问题。

若系统的机械能和动量均守恒，则可利用动量守恒定律和机械能守恒定律求解相关问题。

例19、如图18所示，长为L的轻绳，一端用轻环套在光滑的横杆上(轻绳和轻杆的质量都不计)，另一端连接一质量为m的小球，开始时，将系球的绳子绷紧并转到与横杆平行的位置，然后轻轻放手，当绳子与横杆成θ时，小球速度在水平方向的分量大小是多少？竖直方向的分量大小是多少？

分析与解：对于轻环、小球构成的系统，在水平方向上不受外力作用，所以在水平方向动量守恒。又由于轻环的质量不计，在水平方向的动量恒为零，所以小球的动量在水平方向的分量恒为零，小球速度在水平方向的分量为零。 又因为轻环、小球构成的系统的机械能守恒，所以mgLsinθ=mV_y²/2　　

　即V_y=.此为速度竖直方向的分量。

例20、如图19，长木板ab的b端固定一档板，木板连同档板的质量为M=4.0kg，a、b间的距离S=2.0m。木板位于光滑水平面上。在木板a端有一小物块，其质量m=1.0kg，小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.10，它们都处于静止状态。现令小物块以初速V₀=4m/s沿木板向前滑动，直到和档板相撞。碰撞后，小物块恰好回到a端而不脱离木板。求碰撞过程中损失的机械能。

　　　 分析与解：设木块和物块最后共同的速度为V，由动量守恒定律：　

　　　 设全过程损失的机械能为E，则有：　　　

　　　 在全过程中因摩擦而生热Q=2μmgS,则据能量守恒可得在碰撞过程中损失的机械能为：E₁=E-Q=2.4J.

问题13:会解机械能守恒定律与绳连问题的综合问题。

若系统内的物体通过不可伸长的细绳相连接，系统的机械能守恒，但只据机械能守恒定律不能解决问题，必须求出绳连物体的速度关联式，才能解答相应的问题。

例21、在水平光滑细杆上穿着A、B两个刚性小球，两球间距离为L，用两根长度同为L的不可伸长的轻绳与C球连接(如图20所示)，开始时三球静止二绳伸直，然后同时释放三球。已知A、B、C三球质量相等，试求A、B二球速度V的大小与C球到细杆的距离h之间的关系。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

分析与解：此题的关键是要找到任一位置时，A、B球的速度和C球的速度之间的关系。在如图21所示位置，BC绳与竖直方向成角。因为BC绳不能伸长且始终绷紧，所以B、C　　　　　　

两球的速度V_B和V_C在绳方向上的投影应相等，

即　 V_C.COS=V_B.Sin　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

由机械能守恒定律，可得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　

mg(h-L/2)=mv_C²/2+2(mv_B²/2)　　　

又因为tg² =(L²-h²)/h²　　　　　　

由以上各式可得：V_B=.

问题14:会解机械能守恒定律与面接触问题的综合问题。

若系统内的物体相互接触，且各接触面光滑，则系统的机械能守恒，但只有求出面接触物体间的速度关联式才能解答相应问题。

例22、如图22所示，将楔木块放在光滑水平面上靠墙边处并用手固定，然后在木块和墙面之间放入一个小球，球的下缘离地面高度为H，木块的倾角为，球和木块质量相等，一切接触面均光滑，放手让小球和木块同时由静止开始运动，求球着地时球和木块的速度。

分析与解：此题的关键是要找到球着地时小球和木块的速度的关系。因为小球和木块总是相互接触的，所以小球的速度V₁和木块　　 的速度V₂在垂直于接触面的方向上的投影相等，即:V₁Cos=V₂Sin 　　　　　　　

由机械能守恒定律可得：

mgH=mv₁²/2+mv₂²/2　　　　

由上述二式可求得：　　　　　　　　　

V₁=.sin,　 V₂=.cos.

问题15:会解用功能关系分析解答相关问题。

例23、如图23所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的是：

　　 A．在B位置小球动能最大

　　 B．在C位置小球动能最大

　　 C．从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加

　　 D．从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加

分析与解：小球动能的增加用合外力做功来量度，A→C小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；C→D小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B正确。从A→C小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C正确。A、D两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以D正确。选B、C、D。

例24、物体以150J的初动能从某斜面的底端沿斜面向上作匀减速运动，当它到达某点P时，其动能减少了100J时，机械能减少了30J,物体继续上升到最高位置后又返回到原出发点，其动能等于　　　　　 。

分析与解：虽然我们对斜面的情况一无所知，但是物体从斜面一底点P与从点P到最高点，这两阶段的动能减少量和机械能损失量是成比例的，设物体从点P到最高点过程中，损失的机械能为E，则100/30=(150-100)/E,由此得E=15J，所以物体从斜底到达斜面顶一共损失机械能45J，那么它从斜面顶回到出发点机械能也损失这么多，于是在全过程中损失的机械能90J，回到出发点时的动能为60J.

例25、一传送带装置示意图如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形(圆弧由光滑模板形成，为画出)，经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动(忽略经BC段时的微小滑动)。已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P。

分析与解：以地面为参考系(下同)，设传送带的运动速度为v₀，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有①　　 ②　 在这段时间内，传送带运动的路程为 ③　 由以上可得　 ④

用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为

　　　　 ⑤

传送带克服小箱对它的摩擦力做功　　　 ⑥

两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量 　　　　⑦　

可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。 T时间内，电动机输出的功为 ： 　　　　　　⑧

此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即

　　 ⑨

已知相邻两小箱的距离为L，所以 　　　　⑩

联立⑦⑧⑨⑩，得　　　 ⑾

4、用动能定理求变力做功

　例4、如图3所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长L=3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

　分析与解：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，重力做功W_G=mgR，水平面上摩擦力做功W_f1=-μmgL，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W_外=0，

　　 所以mgR-umgL-W_AB=0

　 即W_AB=mgR-umgL=6(J)

3、平均力法

　如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值(恒力)代替变力，利用功的定义式求功。

　例3、一辆汽车质量为10⁵kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=10³x+f₀，f₀是车所受的阻力。当车前进100m时，牵引力做的功是多少？

分析与解：由于车的牵引力和位移的关系为F=10³x+f₀，是线性关系，故前进100m过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。由题意可知f₀＝0.05×10⁵×10N＝5×10⁴N,所以前进100m过程中的平均牵引力:

　

　∴W＝S＝1×10⁵×100J＝1×10⁷J。

2、微元法

当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。

例2 、如图2所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：

　 A、 0J　　　 B、20πJ　

　 C 、10J　　 D、20J.

分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ=62.8J，故B正确。