6．如图25所示，具有圆锥形状的回转器(陀螺)，半径为R，绕它的轴在光滑的桌面上以角速度ω快速旋转，同时以速度v向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，v至少应等于　　　

　　 A．ωR　 　 B．ωH，　 C．R　 D．R

5．在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，如图24所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过

A．,B．C． D．

4．同步卫星离地距离r，运行速率为V₁，加速度为a₁,地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a₂,第一宇宙速度为V₂，地球半径为R，则

A、a₁/a₂=r/R;　　 B.a₁/a₂=R²/r²;　 C.V₁/V₂=R²/r²;　 D.V₁/V₂=.

3．地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的

A.g/a倍。　　 B. 倍。　　 C. 倍。　 D. 倍

2．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R，线速度为V，周期为T。若要使卫星的周期变为2T，可以采取的办法是：

A、R不变，使线速度变为V/2；B、V不变，使轨道半径变为2R；

C、使轨道半径变为；　　 D、使卫星的高度增加R。

1．地球半径为R，地面上重力加速度为g，在高空绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，其线速度的大小可能是：

A、；　 B、；　 C、　　 D、2

典型错误之一：错误地认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同。

例26、某卫星沿椭圆轨道绕行星运行，近地点离行星中心的距离是a,远地点离行星中心的距离为b,若卫星在近地点的速率为V_a,则卫星在远地点时的速率V_b多少？

错解：卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有，在远地点时有，上述两式相比得，故。

分析纠错：以上错误在于认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同。实际做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于R。所以，在近地点时有，在远地点时有，上述两式相比得，故。

典型错误之二：利用错误方法求卫星运动的加速度的大小。

例27、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图20所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：

A、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。

B、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。

C、卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2

上经过Q点时的加速度。

D、卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3

上经过P点时的加速度。

错解：因为，所以V=，

，即B选项正确，A选项错误。

　　 因为卫星在轨道1上经过Q点时的速度等于它在轨道2上经过Q点时的速度，而在Q点轨道的曲率半径<r₂,所以>，即C选项正确。

分析纠错：B选项正确，但C选项错误。根据牛顿第二定律可得，即卫星的加速度a只与卫星到地心的距离r有关，所以C选项错误，D选项正确。

典型错误之三：错误认为卫星克服阻力做功后，卫星轨道半径将变大。

例28、一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现：

A、速度变小；　　　　　　　 B、动能增大；

C、角速度变小；　　　　　　 D、半径变大。

错解：当卫星受到阻力作用时，由于卫星克服阻力做功，故动能减小，速度变小，为了继续环绕地球，由于卫星速度可知，V减小则半径R必增大，又因，故ω变小，可见应该选A、C、D。

分析纠错：当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，卫星必定只能降至低轨道上飞行，故R减小。由可知，V要增大，动能、角速度也要增大。可见只有B选项正确。

典型错误之四：混淆稳定运动和变轨运动

例29、如图21所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是：

A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度；

B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度；

C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c；

D．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。

错解：c加速可追上b，错选C。

分析纠错：因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小

均相等。又b、c轨道半径大于a的轨道半径，由知，V_b=V_c<V_a,故A选项错；由加速度a=GM/r²可知a_b=a_c<a_a,故B选项错。

当c加速时，c受到的万有引力F<mv²/r，故它将偏离原轨道做离心运动；当b减速时，b受到的万有引力F>mv²/r, 故它将偏离原轨道做向心运动。所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故C选项错。对这一选项，不能用来分析b、c轨道半径的变化情况。

对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由知，r减小时V逐渐增大，故D选项正确。

典型错误之五：混淆连续物和卫星群

例30、根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群。可测出环中各层的线速度V与该层到土星中心的距离R之间的关系。下列判断正确的是：

A、若V与R成正比，则环为连续物；

B、若V²与R成正比，则环为小卫星群；

C、若V与R成反比，则环为连续物；

D、若V²与R成反比，则环为小卫星群。

错解：选BD。

分析纠错：连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相同，其线速度V与r成正比。而对卫星来讲，其线速度，即V与r的平方根成反比。由上面分析可知，连续物线速度V与r成正比；小卫星群V²与R成反比。故选A、D。

典型错误之六：乱套公式解题。

例31、如图22所示，一摆长为L的摆，摆球质量为m，带电量为－q，如果在悬点A放一正电荷q，要使摆球能在竖直平面内做完整的圆周运动，则摆球在最低点的速度最小值应为多少？

错解：摆球运动到最高点时，最小速度为，由于摆在运动过程中，只有重力做功，故机械能守恒。据机械能守恒定律得：

解得：。

分析纠错：摆球运动到最高点时，受到重力mg、库仑力、绳的拉力T作用，根据向心力公式可得：，由于,所以有：

由于摆在运动过程中，只有重力做功，故机械能守恒。据机械能守恒定律得：

解得：。

典型错误之七：物理过程分析不全掉解。

例32、如图23所示，M为悬挂在竖直平面内某一点的木质小球，悬线长为L，质量为m的子弹以水平速度V₀射入球中而未射出，要使小球能在竖直平面内运动，且悬线不发生松驰，求子弹初速度V₀应满足的条件。

错解1:

错解2:

分析纠错：子弹击中木球时，由动量守恒定律得：

　　　 mV₀=(m+M)V₁

下面分两种情况：

(1)若小球能做完整的圆周运动，则在最高点满足：

由机械能守定律得：

由以上各式解得：.

(2)若木球不能做完整的圆周运动，则上升的最大高度为L时满足：

　　　　

解得：.

所以，要使小球在竖直平面内做悬线不松驰的运动，V₀应满足的条件是：

或

但是，审题时不少学生对上述的两个物理过程分析不全，不是把物理过程(1)丢掉，就是把物理过程(2)丢掉。

问题1：会用曲线运动的条件分析求解相关问题。

例1、质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F₁时，物体可能做(　　 )

A．匀加速直线运动；

B．匀减速直线运动；

C．匀变速曲线运动；

D．变加速曲线运动。

分析与解：当撤去F₁时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于F₁，方向与F₁方向相反。

若物体原来静止，物体一定做与F₁相反方向的匀加速直线运动。

若物体原来做匀速运动，若F₁与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故A、B正确。

若F₁与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故C正确，D错误。

正确答案为：A、B、C。

例2、图1中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是(　　 )

A．带电粒子所带电荷的符号；

B． 带电粒子在a、b两点的受力方向；

C． 带电粒子在a、b两点的速度何处较大；

D．带电粒子在a、b两点的电势能何处较大。

分析与解：由于不清楚电场线的方向，所以在只知道粒子在a、b间受力情况是不可能判断其带电情况的。而根据带电粒子做曲线运动的条件可判定，在a、b两点所受到的电场力的方向都应在电场线上并大致向左。若粒子在电场中从a向b点运动，故在不间断的电场力作用下，动能不断减小，电势能不断增大。故选项B、C、D正确。

问题2：会根据运动的合成与分解求解船过河问题。

例3、一条宽度为L的河流，水流速度为V_s,已知船在静水中的速度为V_c，那么：

(1)怎样渡河时间最短？

(2)若V_c>V_s,怎样渡河位移最小？

(3)若V_c<V_s,怎样注河船漂下的距离最短？

分析与解：(1)如图2甲所示，设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V₁=V_csinθ,渡河所需时间为：.

可以看出：L、V_c一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=90⁰时，sinθ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，.

(2)如图2乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度V的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：V_ccosθ─V_s=0.

所以θ=arccosV_s/V_c,因为0≤cosθ≤1,所以只有在V_c>V_s时，船才有可能垂直于河岸横渡。

(3)如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头V_c与河岸成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以V_s的矢尖为圆心，以V_c为半径画圆，当V与圆相切时，α角最大，根据cosθ=V_c/V_s,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosV_c/V_s.

船漂的最短距离为：.

此时渡河的最短位移为：.

问题3：会根据运动的合成与分解求解绳联物体的速度问题。

对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。

例4、如图3所示，汽车甲以速度v₁拉汽车乙前进，乙的速度为v₂，甲、乙都在水平面上运动，求v₁∶v₂

分析与解：如图4所示，甲、乙沿绳的速度分别为v₁和v₂cosα，两者应该相等，所以有v₁∶v₂=cosα∶1

例5、如图5所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M。滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M的速率V_m.

分析与解：杆的端点A点绕O点作圆周运动，其速度V_A的方向与杆OA垂直，在所考察时其速度大小为：

　　　　 V_A=ωR

对于速度V_A作如图6所示的正交分解，即沿绳BA方向和垂直于BA方向进行分解，沿绳BA方向的分量就是物块M的速率V_M，因为物块只有沿绳方向的速度，所以

V_M=V_Acosβ

由正弦定理知，

由以上各式得V_M=ωHsinα.

问题4：会根据运动的合成与分解求解面接触物体的速度问题。

求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。

例6、一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V₀匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。

分析与解：设竖直杆运动的速度为V₁，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP方向，所以V₀、V₁在OP方向的投影相等，即有　　　　　　　　　　 ，解得V₁=V₀.tgθ.

问题5：会根据运动的合成与分解求解平抛物体的运动问题。

例7、如图8在倾角为θ的斜面顶端A处以速度V₀水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求(1)小球从A运动到B处所需的时间；(2)从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？

分析与解：(1)小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设从小球从A运动到B处所需的时间为t,则：

水平位移为x=V₀t

竖直位移为y=

由数学关系得到:

(2)从抛出开始计时，经过t₁时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大。因V_y1=gt₁=V₀tanθ,所以。

例8、如图9所示，一高度为h=0.2m的水平面在A点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以V₀=5m/s的速度在平面上向右运动。求小球从A点运动到地面所需的时间(平面与斜面均光滑，取g=10m/s²)。某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则由此可求得落地的时间t。问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则说明理由并求出你认为正确的结果。

分析与解：不同意。小球应在A点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑。

正确做法为：落地点与A点的水平距离　　　 斜面底宽　 　　

因为,所以小球离开A点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间。

　　 ∴　 　

问题6：会根据匀速圆周运动的特点分析求解皮带传动和摩擦传动问题。

凡是直接用皮带传动(包括链条传动、摩擦传动)的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上(各个轮都绕同一根轴同步转动)的各点角速度相等(轴上的点除外)。

例9、如图10所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。

分析与解：因v_a= v_c，而v_b∶v_c∶v_d =1∶2∶4，所以v_a∶ v_b∶v_c∶v_d =2∶1∶2∶4；ω_a∶ω_b=2∶1，而ω_b=ω_c=ω_d ，所以ω_a∶ω_b∶ω_c∶ω_d =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得a_a∶a_b∶a_c∶a_d=4∶1∶2∶4

例10、如图11所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r₀=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R₁=35cm，小齿轮的半径R₂=4.0cm，大齿轮的半径R₃=10.0cm。求大齿轮的转速n₁和摩擦小轮的转速n₂之比。(假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动)

分析与解：大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v=2πnr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n₁∶n₂=2∶175

问题7：会求解在水平面内的圆周运动问题。

例11、如图12所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是(　　 )

A、物体所受弹力增大，摩擦力也增大了

B、物体所受弹力增大，摩擦力减小了

C、物体所受弹力和摩擦力都减小了

D、物体所受弹力增大，摩擦力不变

分析与解：物体随圆筒一起转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力F_N、和筒壁对它的摩擦力F₁(如图13所示)。其中G和F₁是一对平衡力，筒壁对它的弹力F_N提供它做匀速圆周运动的向心力。当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一起转动而未滑动，则物体所受的(静)摩擦力F₁大小等于其重力。而根据向心力公式，，当角速度较大时也较大。故本题应选D。

例12、如图14所示，在光滑水平桌面ABCD中央固定有一边长为0．4m光滑小方柱abcd。长为L=1m的细线，一端拴在a上，另一端拴住一个质量为m=0．5kg的小球。小球的初始位置在ad连线上a的一侧，把细线拉直，并给小球以V₀=2m/s的垂直于细线方向的水平速度使它作圆周运动。由于光滑小方柱abcd的存在，使线逐步缠在abcd上。若细线能承受的最大张力为7N(即绳所受的拉力大于或等于7N时绳立即断开)，那么从开始运动到细线断裂应经过多长时间？小球从桌面的哪一边飞离桌面?

分析与解：当绳长为L₀时，绳将断裂。据向心力公式得：

T₀=mV₀²/L₀

所以L₀=0.29m　　　　　　

绕a点转1/4周的时间t₁=0.785S;

绕b点转1/4周的时间t₂=0.471S;

绳接触c点后，小球做圆周运动的半径为r=0.2m,小于L₀=0.29m,所以绳立即断裂。

所以从开始运动到绳断裂经过t=1.256S,小球从桌面的AD边飞离桌面

问题8：会求解在竖直平面内的圆周运动问题。

　物体在竖直面上做圆周运动，过最高点时的速度 ，常称为临界速度，其物理意义在不同过程中是不同的．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动轨道的类型，可分为无支撑(如球与绳连结，沿内轨道的“过山车”)和有支撑(如球与杆连接，车过拱桥)两种．前者因无支撑，在最高点物体受到的重力和弹力的方向都向下．

当弹力为零时，物体的向心力最小，仅由重力提供， 由牛顿定律知mg=，得临界速度 ．当物体运动速度V<V₀，将从轨道上掉下，不能过最高点．因此临界速度的意义表示了物体能否在竖直面上做圆周运动的最小速度． 后者因有支撑，在最高点速度可为零，不存在“掉下”的情况．物体除受 向下的重力外，还受相关弹力作用，其方向可向下，也可向上．当物体实际运动速度产生离心运动，要维持物体做圆周运动，弹力应向下．当物体有向心运动倾向，物体受弹力向上．所以对有约束的问题，临界速度的意义揭示了物体所受弹力的方向．

对于无约束的情景，如车过拱桥，当时，有N=0，车将脱离轨道．此时临界速度的意义是物体在竖直面上做圆周运动的最大速度．

注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度 。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。

例13、小球A用不可伸长的细绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速度释放，绳长为L，为使小球能绕B点做完整的圆周运动，如图15所示。试求d的取值范围。

分析与解: 为使小球能绕B点做完整的圆周运动，则小球在D对绳的拉力F₁应该大于或等于零，即有：

　　　

根据机械能守恒定律可得　　　　

由以上两式可求得：

例14、如图16所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，(R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR).已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V₀，才能使列车通过圆形轨道？

分析与解：列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值V，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为λ，则有：

要使列车能通过圆形轨道，则必有V>0,解得。

问题9：会讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况。

　例15、设地球表面的重力加速度为g,物体在距地心4R(R是地球半径)处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g^,，则g/g^,为

A、1；　 B、1/9；　　 C、1/4；　　　 D、1/16。

分析与解：因为g= G,g^, = G,所以g/g^,=1/16,即D选项正确。

问题10：会用万有引力定律求天体的质量。

通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。

例16、已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.4910¹¹m, 公转的周期T=

3.1610⁷s,求太阳的质量M。

分析与解：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得：

　　　　　　　　 G=mr(2π/T)²

　　　　　　　 M=4π²r³/GT²=1.96 10³⁰kg.

例17 、宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。

分析与解：设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平射程为x,则有

　　　　　　 x²+h²=L²　　　　

由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2x,可得　　　 (2x)²+h²=(L)²　　　　　　　

设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得：

　　　 h=gt²　　　　　　　　　　　　

由万有引力定律与牛顿第二定律得：

　 mg= G　　　　　　　　　　　　　

联立以上各式解得M=。

问题11：会用万有引力定律求卫星的高度。

通过观测卫星的周期T和行星表面的重力加速度g及行星的半径R可以求出卫星的高度。

例18、已知地球半径约为R=6.410⁶m,又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约　　　 m.(结果只保留一位有效数字)。

分析与解：因为mg= G，而G=mr(2π/T)²

　　 所以，r= =410⁸m.

问题12：会用万有引力定律计算天体的平均密度。

通过观测天体表面运动卫星的周期T，，就可以求出天体的密度ρ。

例19、如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的密度为多少?

分析与解：设此恒星的半径为R，质量为M，由于卫星做匀速圆周运动，则有　 G=mR,　 所以，M=

而恒星的体积V=πR³，所以恒星的密度ρ==。

例20、一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？

分析与解：设球体质量为M，半径为R，设想有一质量为m的质点绕此球体表面附近做匀速圆周运动，则

G=mω₀²R,　 所以，ω₀²=πGρ。

由于ω≤ω₀得ω²≤πGρ，则ρ≥，即此球的最小密度为。

问题13：会用万有引力定律推导恒量关系式。

例21、行星的平均密度是，靠近行星表面的卫星运转周期是T，试证明：T²是一个常量，即对任何行星都相同。

证明：因为行星的质量M=(R是行星的半径)，行星的体积

V=R³，所以行星的平均密度==，

即T²=，是一个常量，对任何行星都相同。

例22、设卫星做圆周运动的轨道半径为r,运动周期为T，试证明：是一个常数，即对于同一天体的所有卫星来说，均相等。

证明：由G= mr(2π/T)²得=，即对于同一天体的所有卫星来说，均相等。

问题14：会求解卫星运动与光学问题的综合题

例23、(2004年广西物理试题)某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天(太阳光直射赤道)在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。

分析与解：设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离.有

　　

春分时，太阳光直射地球赤道，如图17所示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心. 由图17可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后(设地球自转是沿图中逆时针方向)，其正下方的观察者将看不见它. 据此再考虑到对称性，有

　　　　

　　　

　　　

由以上各式可解得　 　　

问题15：会用运动的合成与分解知识求解影子或光斑的速度问题。

例24、如图18所示，点光源S到平面镜M的距离为d。光屏AB与平面镜的初始位置平行。当平面镜M绕垂直于纸面过中心O的转轴以ω的角速度逆时针匀速转过30⁰时，垂直射向平面镜的光线SO在光屏上的光斑P的即时速度大小为　　　 。

分析与解：当平面镜转过30⁰时，反射光线转过60⁰角，反射光线转动的角速度为平面镜转动角速度的2倍，即为2ω。将P点速度沿OP方向和垂直于OP的方向进行分解，可得：

Vcos60⁰=2ω.op=4ωd,所以V=8ωd.

例25、如图19所示，S为频闪光源，每秒钟闪光30次，AB弧对O点的张角为60⁰，平面镜以O点为轴顺时针匀速转动，角速度ω=rad/s,问在AB弧上光点个数最多不超过多少？

分析与解：根据平面镜成像特点及光的反射定律可知，当平面镜以ω转动时，反射光线转动的角速度为2ω。因此，光线扫过AB弧的时间为t=0.5S,则在AB弧上光点个数最多不会超过15个。

5.深刻理解万有引力定律

(1)万有引力定律：1自然界的一切物体都相互吸引，两个物体间的引力的大小，跟它们的质量乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。2公式：，

G=6.67×10^-11N.m²/kg².3适用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r指球心间的距离。

(2)万有引力定律的应用：1讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况： 物体的重力近似为地球对物体的引力，即mg=G。所以重力加速度g= G，可见，g随h的增大而减小。2求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。3求解卫星的有关问题：根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。由G=m得V=，由G= mr(2π/T)²得T=2π。由G= mrω²得ω=，由E_k=mv²=G。

(3)三种宇宙速度：1第一宇宙速度V₁=7.9Km/s,人造卫星的最小发射速度；2第二宇宙速度V₂=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；(3)第三宇宙速度V₃=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

4.深刻理解圆周运动的规律

(1)匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。

(2)．描述匀速圆周运动的物理量

①线速度，物体在一段时间内通过的弧长S与这段时间的比值，叫做物体的线速度，即V=S/t。线速度是矢量，其方向就在圆周该点的切线方向。线速度方向是时刻在变化的，所以匀速圆周运动是变速运动。

②角速度，连接运动物体和圆心的半径在一段时间内转过的角度θ与这段时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。即=θ/t。对某一确定的匀速圆周运动来说，角速度是恒定不变的，角速度的单位是rad/s。

③周期T和频率

(3)．描述匀速圆周运动的各物理量间的关系:

(4)、向心力：是按作用效果命名的力，其动力学效果在于产生向心加速度，即只改变线速度方向，不会改变线速度的大小。对于匀速圆周运动物体其向心力应由其所受合外力提供。.