4．若、∈R⁺，则≥≥≥；当且仅当=时等号成立；

其中包含常用不等式：≥；≥4以及基本不等式：

≥，基本不等式还有另外两种形式：若≤0、≤0，则≤；

若：、∈R，则≥2；用基本不等式求最值时要关注变量的符号、放缩后是否为定值、等号能否成立(即：一正、二定、三相等，积定和小、和定积大)。

[举例1] 若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，则的最小值为　　　 。

解析：圆心(2，1)，“直线始终平分圆”即圆心在直线上，∴a+b=1,

=,当且仅当a=b=时等号成立。

[举例2]正数a,b满足a+3=b(a-1),则ab的最小值是　　　　 ，a+b的最大值是　　　　　 。

解析：ab=a+b+3≥2+3-2-3≥0≥3≥9，当且仅当a=b=3时等号成立。a+b=ab-3≤-3 a+b≥6, 当且仅当a=b=3时等号成立。

注：该方法的实质是利用基本不等式将等式转化为不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放缩得到最值，因此不存在放缩后是否为定值的问题。

[巩固1]在等式中填上两个自然数，使它们的和最小。

[巩固2]某工厂第一年年产量为A，第二年的年增长率为，第三年的年增长率为，这两年的平均增长率为，则　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．

[迁移]甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行、一半路程跑步，乙一半时间步行、一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则：

A．甲先到教室　　 B．乙先到教室　　 C．两人同时到教室　　 D．不能确定谁先到教室

3．关注不等式||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|及其等号成立的条件；具体的：xy≥0

|x+y|=|x|+|y|；xy≥0且|x|≥|y||x-y|=|x|-|y|；xy≥0且|x|≤|y||x-y|=|y|-|x|；

xy≤0|x-y|=|x|+|y|；xy≤0且|x|≥|y||x+y|=|x|-|y|；xy≤0且|x|≤|y|

|x+y|=|y|-|x|。

[举例1]若m>0,则|x-a|<m和|y-a|<m是|x-y|<2m的

A．充分而不必要条件，　 B．必要而不充分条件

C．充要条件　　　　　　 D．既不是充分条件也不是必要条件。

解析：|x-a|<m且|y-a|<m，则|x-y|=|x-a+a-y|≤|x-a|+|y-a|<2m；而当m=4,x=9,y=2,a=2时，

|x-y|=7<2m,但|x-a|=7>m,∴|x-a|<m和|y-a|<m是|x-y|<2m的充分而不必要条件,选A。

[举例2]不等式|2x-log₂x|<2x+|log₂x|的解集为　　　　　 。

解析：x>0，不等式|2x-log₂x|<2x+|log₂x|等价于：|2x-log₂x|<|2x|+|log₂x|2xlog₂x>0

log₂x>0x>1　 ∴不等式的解集为(1，+)。

[巩固1]a,b都是非零实数，下列四个条件：①|a+b|<|a|+|b|；②|a+b|<|a|-|b|；

③||a|-|b||<|a+b|； ④||a|-|b||<|a-b|；则与|a-b|=|a|+|b|等价的条件是：　　　　 (填条件序号)。

[巩固2]方程||=|+||的解集是　　　　 。

2．同向不等式相加及不等式的“传递性”一般只用于证明不等式，用它们求变量范围时要求两个不等式中的等号能同时成立。同向不等式一般不能相乘，需增加“两不等式的两边均为正数”才可相乘。

[举例]已知函数，且满足－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3,则f(3)的取值范围是：

　　　　。

解析：解决本题的一个经典错误如下：－2≤a+c≤－1　　 ①；　　　 2≤4a+c≤3　　　 ②

由①得：　 1≤－a－c≤2　　　 ③　　　　　　　 4≤－4a－4c≤8　　 ④

由③+②得：1≤a≤　　　 　　⑤　　 由④+②得： ≤c≤－2　　 ⑥

由⑤×9+⑥得：≤9a+c≤13　 　⑦，即≤f(3)≤13。错误的原因在于：

当且仅当1=－a－c且2=4a+c时⑤式中的1=a成立，此时，a=1，c=－2；

当且仅当－4a－4c=8 且4a+c=3 时⑥式中的=c成立，此时，a=，c=；

可见⑤⑥两式不可能同时成立，所以⑦中的=9a+c不成立；同理，9a+c=13也不成立。

正解是待定系数得f(3)=f(1)+f(2)，又：≤f(1)≤；≤f(2)≤8

∴7≤f(3)≤。在此过程中虽然也用了“同向不等式相加”，但由错解分析知：当a=1，

c=－2时，不等式≤f(1)和≤f(2)中的等号同时成立，即f(3)=7成立；而当a=，c=时，不等式f(1)≤和f(2)≤8中的等号同时成立，即f(3)=成立；所以这个解法是没有问题的。可见，在求变量范围时也并非绝对不能用“同向不等式相加”，只要“等号”能同时成立即可；对不含等号的同向不等式相加时则需它们能同时“接近”。

注：本题还可以用“线性规划”求解：在约束条件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目标函数f(3)的最大、最小值。

[巩固]设正实数a、b、c、x、y，且a、b、c为常数，x、y为变量，若x+y=c，则+的最大值是：

A．　　 B．　 C．　　 D．

1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>baⁿ>bⁿ；

当a<0,b<0时，a>ba²<b²；a²>b²|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由<2推得的应该是：x>或x<0，而由>2推得的应该是：

0<x<(别漏了“0<x”)等。

[举例]若=,则的值域为　　　　　 ；的值域为　　　　　 。

解析：此题可以“逆求”：分别用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)>0即可。以下用“取倒数”求：3-f(x)<3，分两段取倒数即0<3-f(x)<3得>或3-f(x)<0得<0,

∴g(x)∈(-,0)∪(,+)；f(x)+3>30<<1<h(x)<。

[巩固1] 若，则下列不等式①；②③；④中，正确的不等式有　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．1个　　　　　　　　　　 B．2个　　　　　　　　　　　 C．3个　　　　　　　　　　 D．4个

[巩固2] 下列命题：①若a>b,则ac²>bc²；②若ac²>bc²,则a>b；③若a>b,c>d则a-d>b-c；

④若a>b,则a³>b³；⑤若a>b,则⑥若a<b<0,则a²>ab>b²；

⑦若a<b<0,则|a|>|b|；⑧若a<b<0,则；⑨若a>b且,则a>0,b<0；

⑩若c>a>b>0,则；其中正确的命题是　　　　 。

[迁移]若a>b>c且a+b+c=0，则：①a²>ab，②b²>bc，③bc<c²,④的取值范围是：(-,1)，

⑤的取值范围是：(-2，-)。上述结论中正确的是　　　　 。

4、来源于生活实际，又回到生活中，强调了数学应用意识。

福建省周宁第一中学　 张徐生

点评：

本课通过精心设计“发现和解决问题”的过程，注重讲背景、讲过程、讲应用，引导学生主动学习、勇于探索。首先从具体问题情境出发，在教师的指导下，结合学生的已有知识经验，通过自主学习，进行发散式猜想与探究判断，去伪存真，提炼猜想，并通过实验验证，完善猜想。其次，在定理证明阶段，通过新旧知识的连接点设问，搭建知识脚手架，让学生展开联想，力求引导学生寻找合理的知识方法(如本课知识生长点：三角函数与平面向量两大工具)，进行自主性的活动与尝试，进一步拓展学生知识链。

整节课的设计体现从特殊到一般再回到特殊的研究方法。定理教学体现了教师指导下的学生再创造，充分发挥了学生学习的主动性，让学生在自主探究、实验、猜测、推理中感受和体验，较好地培养与提高了学生发现问题与解决问题、类比与猜想、联想与引申等能力以及探索精神与创新意识。此外，本节课的设计还关注多媒体辅助教学的适当运用，在定理的探求中充分使用了几何画板给予直观演示，强调培养学生应用数学的意识和动手实践的能力；引导学生注意学自己身边的数学，感知生活中包涵的数学现象与数学原理。

3、突出数学的本质。正弦定理的本质是“定量地描写三角形边角之间的关系”，是“大角对大边，小角对小边”的定量化。但量、算、猜不能代替数学思考与逻辑证明，而定理的证明实质是：用垂直做媒介，将一般三角形化为直角三角形处理。本课设计既讲类比联想，又讲逻辑推理，让学生知其然，知其所以然。

2、“用教材教，而不是教教材”，尽管教材中对本课知识方法的要求并不高，只介绍了通过作高将一般三角形变换为直角三角形，再将三角比变换得到等式的化归方法，但教学不仅是忠实执行课程标准，而且是师生共同开发课程，将教材有机裁剪，并融入个性见解的过程。如在正弦定理的证明探究中，学生完全可能围绕“如何构造直角三角形？”，八方联系，广泛联想，分别应用平面几何四点共圆、向量的数量积运算、向量的坐标运算等知识方法。本课设计充分预设各种课堂生成，尽量满足不同思维层次学生的需求。

1、本课就新课程理念下定理教学课的课堂模式，做了一些探索。以问题解决为中心，通过提出问题，完善问题，解决问题，拓展问题，采用实验探究、自主学习的研究性学习方式，重点放在定理的形成与证明的探究上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值，培养学生的思辨能力。改变了定理教学中简陋的处理方式(简单直接呈现、照本宣科证明，大剂量的“复制例题”式的应用练习)。

(六)作业布置：

1、书面作业：P10习题1.1　 1、2

2、研究类作业：

1)在钝角三角形中探求证明定理的不同方法。

2)在△ABC中，，研究k的几何意义

3)已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？

[设计意图：对问题3)，根据分散难点，循序渐进原则，在例2中初步涉及，在课后让学生先行思考，在“正、余弦定理”第三课时中予以下图的剖析阐述。]

(五)课堂小结：

问题5：请同学们用一句话表述学习本课的收获和感受。

生1：原来我只会解直角三角形，现在我会解一般三角形了

师：通过本课学习，你发现自己更强大了。

生2：原来我以为正弦定理的证明，只有书上一种方法，今天我们学到了课本以外的众多方法。

师：我们学习过两个重要数学工具，即三角函数与平面向量，正弦定理的证明充分展示了它们的妙用。

生3：公式很美。

师：美在哪里？

生3：体现了公式的对称美，和谐美······

在同学们的热烈讨论的基础上，用课件展示小结：

1、在正弦定理的发现及其证明中，蕴涵了丰富的思想方法，既有由特殊到一般的归纳思想，又有严格的演绎推理。在定理证明中我们从直观几何角度、向量运算角度探求了数学工具的多样性。

2、正弦定理反映了边与其对角正弦成正比的规律,据此，可以用角的正弦替代对边，具有美学价值

3、利用正弦定理解决三类三角形问题：

(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角。

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而求出其他的边和角。

(3)实现边与角的正弦的互化。

[设计意图：通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。]