1、[巩固]3;[迁移]A;2、,[巩固1] A,[巩固2] “倒行逆施”:函数y=cosx的图象按-=(
,2)平移,选D ;[迁移](1)
,(2)
5.正、余弦定理是解三角形的最主要工具;涉及三角形中的两个(或三个)角的问题常用正弦定理,只涉及三角形中的一个角常用余弦定理。关注两定理在解相关实际问题中的运用。
[举例1]已知⊿ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且BC边上的高为,则
的最大值为:
A.2
B.
C. 2
D.4
解析:
=
,这个形式很容易联想到余弦定理:cosA=
①
而条件中的“高”容易联想到面积,
即 ②,将②代入①得:
∴=2(cosA+sinA)=2
sin(A+
),当A=
时取得最大值2
,故选A。
[举例2] 如图,已知A、B、C是一条直路上的三点,
AB与BC各等于1千米,从三点分别遥望塔M,在
A处看见塔在北偏东450方向,在B处看见塔在正
东方向,在C处看见塔在南偏东600方向,求塔到
直路ABC的最短距离。
解析:已知AB=BC=1,∠AMB=450,∠CMB=300,∴∠CMA=750
易见⊿MBC与⊿MBA面积相等,∴AM450= CM
300
即CM= AM,记AM=
,则CM=
,在⊿MAC中,AC=2,由余弦定理得:
4=32-2
2cos750,∴
2=
,记M到AC的距离为
,则
2sin750=2
得=
,∴塔到直路ABC的最短距离为
。
[巩固1] 如图,半圆O的直径为2,A为直径延长线上一点,且OA=2,B为半圆周长上任意一点,以AB为边作等边△ABC,问B点在什么位置时,四边形OACB的面积最大,并求出这个最大面积.
[巩固2] 一艘海岸缉私艇巡逻至A处时发现在其正东方向20的海面B处有一艘走私船正以
的速度向北偏东300的方向逃窜,缉私艇以
的速度沿
的方向追击,才能最快截获走私船?若
=40
,则追击时间至少为 分钟。
简答
4.关注正弦定理中的“外接圆”直径,涉及三角形外接圆直径的问题多用正弦定理。
[举例] △ABC中,AB=9,AC=15,∠BAC=1200,它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离是14,那么点P到平面ABC的距离是: 。
解析:记P在平面ABC上的射影为O,∵PA=PB=PC
∴OA=OB=OC,即O是△ABC的外心,只需求出OA(△ABC
的外接圆的半径),记为R,在△ABC中由余弦定理知:
BC=21,在由正弦定理知:2R==14
,∴OA=7
得:PO=7。
[巩固]已知⊙O的半径为R,若它的内接△ABC中,2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,求(1)∠C的大小;(2)△ABC的面积的最大值。
[迁移]直线:
过点
,若可行域
的外接圆直径为
,则实数
的值是______________
3.三角形内的三角函数问题中,既涉及到边又涉及到角时,往往需要进行边角转换,正、余弦定理是实现三角形边角转换的仅有的工具。对a、b、c(或sinA、sinB、sinC)的齐次式,可以直接用正弦定理转换;而对a、b、c平方的和差形式,常用余弦定理转换。
[举例1] ⊿ABC的三内角的正弦值的比为4:5:6,则三角形的最大角为 。
解析:由正弦定理得:⊿ABC三边的比为4:5:6,不妨设a=4k,b=5k,c=6k,(k>0)
则边c所对的角C为最大角,cosC=,∴C=arccos
。
[举例2]在⊿ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a2+b2=6c2,则
的值为
解析:对“切化弦”得:
,再由正弦定理得
,再对cosC使用余弦定理得:
,将a2+b2=6c2,代入接得原式等于
。
[巩固1] 若△ABC三边成等差数列,则B的范围是 ;若△ABC三边成等比数列,则B的范围是 ;
[巩固2]若三角形三边a、b、c满足a2+c2=b2+ac,且a:c=:2,求角C的大小。
[迁移]已知⊿ABC中,sinA(sinB+cocB)=
sinC,BC=3,则⊿ABC的周长的取值范围是
。
2.关注点、函数图象(曲线)按某向量平移导致的坐标、解析式(方程)的变化;点M(x,y)按向量(m,n)平移得到点M‘(x+m,y+n);曲线C:f(x,y)=0按向量
(m,n)平移得到曲线
C/:f(x-m,y-n)=0。函数图象(曲线)按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左(右)、向上(下)平移,再按函数图象变换的规律“图进标退”操作。[注意]:向量无论怎样平移,其坐标都不发生变化。
[举例] 将直线x-by+1=0按向量=(1,-1)平移后与圆x2-4x+y2+3=0相切,则k= 。
解析:思路一:直线:x-by+1=0按向量
平移即“向右、向下各平移1个单位”,亦即:x变为x-1,y变为y+1,得直线
:x-by-b=0,圆:(x-2)2+ y2=1,
直线
与圆相切,则有:
得b=
。思路二:圆M:(x-2)2+ y2=1按向量-
平移(x变成x+1,y变成y-1)后得:圆M/:(x-1)2+(y-1)2=1, 圆M/与直线
:x-by+1=0相切,有
得b=
。
思路三:圆心M(2,0)按向量-平移后得M/(1,1),M/到直线
的距离为1。
[巩固1]已知点A(1,2)、B(4,2),向量按
=(1,3)平移后所得向量的坐标为( )
(A)(3,0) (B)(4,3) (C)(-4,-3) (D)(-4,3)
[巩固2]若把一个函数的图象按=(-
,-2)平移后得到函数y=cosx的图象,则原图象的函数解析式为
: A.y=cos(x+
)-2;
B.y=cos(x-
)-2;
C.y=cos(x+)+2;
D.y=cos(x-
)+2
[迁移]已知函数f(x)= -sinxcosx+3cos2x-
,x∈R
(1)
将f(x)表示成Asin(2x+)+B的形式(其中A>0,0<
<2
)
(2)
将y=f(x)的图象按向量平移后,所得到的图象关于原点对称,求使|
| 得最小的向量
。
1.若,则称点
分有向线段
所成的比为λ。注意:“定比”不是“比”,点分有向线段所成的比,是用数乘向量定义的,而不是两个向量的比。当
为外分点时λ为负,内分点时λ为正,
为中点时λ=1,若起点
(x1,y1),终点
(x2,y2),则分点
(x0,y0)的坐标为:x0=
,y0=
。由此推出:中点公式及三角形的重心公式:在⊿ABC中,若A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则⊿ABC的重心G(
,
)。
[举例1]设O(0,0),A(1,0),B(0,1),点P是线段AB上的一个动点,,若
,则λ的去值范围是:
A.≤λ≤1 B.1-
≤λ≤1 C.
≤λ≤1+
D.1-
≤λ≤1+
解析:思路一:,即P分有向线段
所成的比为
,由定比分点坐标公式得:P(1-λ,λ),于是有
=(1-λ,λ),
=(-1,1),
=(λ,-λ),
=(λ-1,1-λ),∴λ-1+λ≥λ(λ-1)- λ(1-λ)
2λ2-4λ+1≤01-
≤λ≤1+
。思路二:记P(x,y),由
得:
(x-1,y)=(-λ, λ)x=1-λ,y=λ即P(1-λ,λ),以下同“思路一”。
思路三:=(-1,1),
=(-λ,λ),
=(λ,-λ),
=
=(1-λ,λ),
=
=(λ-1,1-λ),以下同“思路一”。
[举例2]已知⊿ABC中,点B(-3,-1),C(2,1)是定点,顶点A在圆(x+2)2+(y-4)2=4上运动,求⊿ABC的重心G的轨迹方程。
解析:记G(x,y),A(x0,y0),由重心公式得:x=,y=
,于是有:x0=3x+1,y0=3y,
而A点在圆(x+2)2+(y-4)2=4上运动,∴(3x+1+2)2+(3y-4)2=4,化简得:
。
[巩固]已知P是曲线C:y=xn(n∈N﹡)上异于原点的任意一点,过P的切线分别交X轴,Y轴于Q、R两点,且
,求n的值。
[迁移]已知是定义在R上的单调函数,实数
,
,若
,则 ( )
A. B.
C.
D.
6. [巩固1][-2,0],[巩固2]C,[迁移] (-,-6)
4、[巩固1] [巩固2]
∈
;5、[巩固1]A,[巩固2]{1,2
2、[巩固], [迁移](-2,2),3、[巩固1] C ,[巩固2] (-
,
1、 [巩固1](,-1)∪(0,1),[巩固2] 当a=0时不等式的解为:{x|x<1};当a>0时不等式的解为:{x|
<x<1};当a<0时不等式的解为:{x|x<1或x>
};[迁移]9。
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