1．[巩固1]∪，[巩固2]A，[迁移]B；2、[巩固]3，[迁移]；3、[巩固]C， [迁移]B；4、[巩固]4x+3y-4=0或x=1；[迁移]将条件变形为：

　，由圆锥曲线的统一定义知P点轨迹为双曲线；[提高] 将条件变形为：，问题转化为：直线和圆

的公共点，于是有：　 即：c²≤a²+b²；

7．关注“线性规划”问题的各种“变式”：①“可行域”由不等式和方程共同确定(为线段或射线)，②“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，如：(斜率)，(距离)等。

[举例] 实系数方程的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则的取值范围是　　　　　

解析：=，数形结合容易得到使实系数方程

的两根分别在(0，1)和(1，2)内当且仅当：

　点P(，)的可行域如右，

记A(1，2)，线段PA的斜率为，=∈,1]。

[巩固] 若x,y满足:x+y-3≥0,x-y+1=0,3x-y-5≤0,设y=kx,则k的取值范围是________

[提高] 已知不等式ax²+bx+a<0(ab>0)的解集是空集，则a²+b²-2b的取值范围是　　　　 。

简答

6.不等式ax+by+c>0(a>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的右侧，不等式ax+by+c<0(a>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的左侧；a﹤0时情况相反。也可以说：不等式ax+by+c>0(b>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的上方，不等式ax+by+c<0(b>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的下方；b﹤0时情况相反。目标函数z=mx+ny(m>0)在“可行域”D内的最值：令mx+ny=0, 在“可行域”D内平移直线mx+ny=0使之位于最左侧，此时z取得最小值; 位于最右侧，此时z取得最大值;m<0时情况相反。如果z=mx+ny(n>0), 也可以说：在“可行域”D内平移直线mx+ny=0使之位于最下方，此时z取得最小值; 位于最上方，此时z取得最大值;n<0时情况相反。若线性目标函数的最优解不止一个，则目标函数为0的直线与“可行域”的一个边界平行或重合。

[举例] 已知x,y满足约束条件：

2x-y≥0,x+y-2≥0,6x+3y≤18,

且z=ax+y(a>0)取得最小值的最优解

有无穷多个, 求a的值。

解析：要使目标函数取得最小值的最优解

有无穷多个，令ax+y=0并平移使之与过

点C()(可行域中最左侧的点)的边界

重合即可，注意到a>0，只能和AC重合，∴a=1

[举例2]已知点P(3,-1)和Q(-1,2)，直线：ax+2y-1=0与线段PQ有公共点，则实数a的取值范围为：

A.1≤a≤3　 　　　B.a≤1或a≥3　　　　 C.a≤1　　　　　 D.a≥3

解析：本题可参照“3[举例]⑤⑥”的做法，确定直线的斜率的范围。现在用不等式所表示的区域解决：直线与线段PQ有公共点即点P、Q在直线的两侧或在直线上，记：

f (x,y)= ax+2y-1,则f(3,-1)f(-1,2) ≤0,解得：a≤1或a≥3，选B。“3[举例]⑤⑥”也可照此办理。

[巩固1] 已知x,y满足约束条件：2x-y≥0,x+y-2≥0,6x+3y≤18,且z=ax+y取得最大值的最优解恰为(,3)，则a的取值范围是　　　　 。

[巩固2]点(-2，t)在直线2x-3y+6=0的上方，则t的取值范围是　　　 。

[迁移] 双曲线x²-y²=1右支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为，则a+b的值是(　　　 )　 　

A. -　　　　　 B. 　　　　　C. -或　　　　 D.2或

5.点M(m,n)关于直线y=±x+b的对称点M’(±nb，±m+b)，即：将M点的坐标代入对称轴方程求得M^/的坐标；但对称轴斜率不为±1时，只可根据中、垂建立方程组(即MM^/与对称轴垂直且其中点在对称轴上)，解出对称点坐标。光线反射问题、角平分线问题、到两定点距离之和(差)的最值问题等都与对称有关。

[举例1]将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m，n)重合，则m+n的值是　　　　 。

解析：“折痕”是AB的中垂线：y=2x-3，C(7，3)、D(m，n)关于对称，则：

m+n=。

[举例2]在⊿ABC中，已知A(2，3)，角B的平分线为Y轴，角C的平分线为：x+y=4,求BC边所在的直线方程

解析：由题意知直线BA、BC关于Y轴对称，即A关于Y轴的对称点A₁(-2,3)在直线BC上；直线CA、CB关于对称，即A关于的对称点A₂(1,2)在直线CB上；∴直线BC即直线A₁A₂：x+3y-7=0,

[巩固]已知点A在x轴上，点B在直线：y=x上，C(2，1)，则⊿ABC的周长的最小值为　　　　　　 。

[迁移] 已知点A(1、1)，曲线C上的点(x、y)满足： ，一束光线从点A出发经y轴反射到曲线C上的最短路程是：　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 A　 　　　B　 　　　　C　 8　　　　　 D　 10　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4．点到直线的距离公式在求三角形的面积、判断直线与圆的位置关系、求圆的弦长、解决与圆锥曲线的第二定义有关的问题等场合均有运用，推导两平行线间的距离公式也是它的一个运用。

[举例] 已知5x+12y＝60，则的最小值是:

A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　　D. 1

解析：表示直线：5x+12y＝60上的动点到原点的距离，其最小值即原点到直线的距离，选A。注：此题若代入消元、配方求最值则很麻烦。

[巩固]直线过点(1，0)，且被两平行直线3x+y-6=0和 3x+y+3=0所截得的线段长为9，则直线的方程为　　　　　　　　　 。

[迁移] 若动点P(x,y)满足|x+2y-3|=，则P点的轨迹是：

A．圆　　　 B、椭圆　　 C、双曲线　　　 D、抛物线

[提高]若a、b、c为实数，恒存在实数x,y,使得ay-bx=c≠0,则a、b、c满足:　　 A.c²≥a²+b²　　　　 B.c²>a²+b²　　 C.c²<a²+b²　　 D.c²≤a²+b²

3.“到角”的范围：(0，)，“到角公式”就是两角差的正切公式，多用于解决与角平分线有关的问题；“夹角”的范围：(0，。两直线：A₁x+B₁y+C₁=0,：A₂x+B₂y+C₂=0平行、垂直的条件有“比”和“积”两种形式(重合只有“比式”)，如：⊥A₁A₂+B₁B₂=0，若、不重合，则∥A₁B₂=A₂B₁；判断两直线位置关系时要特别注意斜率不存在及斜率为0的情形。

[举例1]直线：x=1到直线：2x+y+1=0的角是：　 (　　 )

A．arctan2,　　 B．arctan　　 C．- arctan2　　　 D． arctan(-)

解析：记直线到的角为，直线的倾斜角为，作图可见=-，tan=-cot

=,故选B。

[举例2]①已知P(x₀,y₀)是直线：f(x,y)=0外一点，则直线f(x,y)+f(x₀,y₀)=0与直线的位置关系是　　　　 ；　　　　 ②设a、b、c分别是⊿ABC中角A、B、C的对边，则直线:

与直线的位置关系是　　　　 。

解析：①方程f(x,y)=0与f(x,y)+f(x₀,y₀)=0两变量的系数完全相同，而f(x₀,y₀)≠0，即常数项不同，故平行；②由正弦定理知：，故垂直。

[巩固]已知直线l₁的方程为y=x，直线l₂的方程为y=ax+b(a,b为实数)，当直线l₁与l₂夹角的范围为［0，时，a的取值范围是：　

A.(,1)∪(1,)　　 ，B.(0，1) ，　　 C.(,) ，　　 D.(1,)　

[迁移]直线与直线互相垂直，则|的最小值是：A．1　　　　　 B．2　　　 　　　 C．4　　　　　　　 D．5　　　　　 (　　 )

2．“点斜式”是直线方程的最基本形式，是其它各种形式的源头，但它不能表示斜率不存在的直线；解决“直线过定点”的问题多用“点斜式”。“斜截式”最能体现直线的函数性质(一次函数，一次项系数是斜率)，“斜截式”中所含的参数最少(2个，而其它各种形式中都是3个)，所以用待定系数法求直线方程时多设为“斜截式”，它也不能表示斜率不存在的直线。

“截距式”最能反映直线与坐标轴的位置关系；注意：截距是坐标而不是距离；在两坐标轴上截距相等的直线斜率为-1或过原点；“截距式”不能表示斜率为0、斜率不存在以及过原点的直线。“两点式”完全可以由“点斜式”替代，“两点式”不能表示斜率为0和斜率不存在的直线，但它的变形(“积式”)：却能表示所有的直线。“一般式”能表示所有的直线，它是直线方程的“终极”形式。

[举例]已知直线：kx+y-k+2=0和两点A(3，0)，B(0，1)，下列命题正确的是　　　

(填上所有正确命题的序号)。

①直线对任意实数k恒过点P(1，-2)；

②方程kx+y-k+2=0可以表示所有过点P(1，-2)的直线；

③当k=±1及k=2时直线在坐标轴上的截距相等；

④若，则直线与直线AB及直线都有公共点；

⑤使得直线与线段AB有公共点的k的范围是[-3，1]；

⑥使得直线与线段AB有公共点的k的范围是，-3]∪[1，。

解析：①直线：y +2= - k(x -1)恒过P(1，-2)，②方程kx+y-k+2=0不能表示直线x=1，③当k= -1时直线在坐标轴上的截距相反；④若，则点M(x₀,y₀)在直线AB上(截距式)，又点P(1，-2)在直线，而直线过点M，P(两点式)，即与直线AB有公共点M，与直线有公共点P；⑤⑥直线与线段AB有公共点，不宜先解方程组再解不等式组(麻烦)，数形结合易见，直线应在直线PA到PB之间，而其间有斜率不存在的位置，故命题⑥正确。

[巩固]已知圆C：x²+(y-)²=1，则在坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线有　　 　条？[迁移] 对任意实数m，直线(m+2)x-(2m-1)y-(3m-4)=0和椭圆恒有公共点，则m的取值范围是　　　　 。

1．直线的倾斜角的范围：[0，，x轴及平行于x轴的直线倾斜角是0而不是；y轴及平行于y轴的直线的倾斜角为而不是没有倾斜角(只是斜率不存在)；已知斜率(的范围)会求倾斜角(的范围)，记住：当倾斜角α是锐角时，斜率k与α同增同减，当α是钝角时，k与α也同增同减。斜率的求法：①依据直线方程②依据倾斜角③依据两点的坐标④方向向量(以=(m,n)(m≠0)为方向向量的直线的斜率为)。关注斜率在求一类分式函数值域时的运用。

[举例1]已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线 倾斜角的一半，则直线l的斜率为：　　　　 ．

解析：记直线l的倾斜角为，则直线AB的倾斜角为2，其斜率tan2=

　tan=-3或tan=而由tan2=>0得2是锐角，则∈(0，)，

∴tan=。

[举例2] 函数的值域为　　　　 。

解析：记P(cos,sin),A(-3,1)

则y=k_PA，P点的轨迹是圆心为原点

的单位圆，如右图：当直线PA与圆相切时，其斜率分别为0和，

∴y=k_PA ∈[，0]。注：这里存在一个k_PA在0与“之间”还是“之外”的问题，原则是其间是否有斜率不存在的情况，若有则在“之外”，若无则在“之间”。

[巩固1] 已知直线：则倾斜角的范围是：　　　　　 。

[巩固2]实数x,y满足的取值范围为　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　 D．

[迁移] 点P是曲线上的动点，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是A、　 B、　 C、　 D、

5、[巩固1] 设，

当时，有最大值.[巩固2] 北偏东60⁰，10；

3．[巩固1] (0，(0，；[巩固2]45⁰；[迁移]先求A=，再用正弦定理求出：b+c=

6sin(B+)∈,于是a+b+c∈(6,9,也可以用余弦定理；4、[巩固] (1)45⁰，(2)；[迁移]3或5；