3.(2008·长沙模拟)对于不重合的两个平面与，给定下列条件：　

①存在平面，使得，都垂直于;　②存在平面，使得，都平行于;　③存在直线l,直线m,使得l∥m;　④存在异面直线l、m，使得l∥,l∥,m∥,m∥.　其中，可以判定与平行的条件有(　 B　 )　A.1个　　　　　　 ?　　　 B.2个?　　　　　　　　　 C.3个?　　　　　　　 D.4个　

2.平面∥平面的一个充分条件是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 D　 )　

?A.存在一条直线a,a∥,a∥　?B.存在一条直线a,a,a∥　

?C.存在两条平行直线a,b,a,b,a∥,b∥　D.存在两条异面直线a,b,a,b,a∥,b∥　

1.下列命题，其中真命题的个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 A　 )

①直线l平行于平面内的无数条直线，则l∥；②若直线a在平面外，则a∥;　③若直线a∥b,直线b,则a∥；　④若直线a∥b,b,那么直线a就平行于平面内的无数条直线.　

?A.1　　　　　　 ?　　　　　　 B.2 ?　　　　　　　　　　 C.3　　　　　 ?　　　　　　 D.4　

例1.如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，

CG∶GD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.　(1)求AH∶HD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点.　

　 (1)解　 ∵=2，∴EF∥AC.　∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH，　且平面EFGH∩平面ACD=GH，　∴EF∥GH.而EF∥AC，　∴AC∥GH.　∴=3,即AH∶HD=3∶1.　

(2)证明　 ∵EF∥GH,且，，　∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.　

令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH平面ABD，　P∈FG，FG平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，　

∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.　

例2 如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁B₁，B₁C₁的中点.问：　

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；　(2)D₁B和CC₁是否是异面直线？说明理由.　

解　 (1)不是异面直线.理由如下：　

∵M、N分别是A₁B₁、B₁C₁的中点.∴MN∥A₁C₁， 又∵A₁A　 D₁D，而D₁D　 C_­1C,

∴A₁A　 CC₁，∴四边形A₁ACC₁为平行四边形.　

∴A₁C₁∥AC，得到MN∥AC，　∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.　

(2)是异面直线.证明如下：　

假设D₁B与CC₁在同一个平面D₁CC₁内，则B∈平面CC₁D₁，C∈平面CC₁D₁.　

∴BC平面CC₁D₁，这与在正方体中BC⊥平面CC₁D₁相矛盾，∴假设不成立，故D₁B与CC₁是异面直线.　

例3在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.

解　 取AB的中点F，连接EF，DF，　∵E为PB中点，∴EF∥PA，　

∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角).在Rt△POB中，∵BO=AB·sin30°=1，

又PO⊥OB，∴PO=BO·tan60°=.　在Rt△AOB中，AO=AB·cos30°==OP，　

∴在Rt△POA中，PA=，∴EF=.　 在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=，　

由余弦定理得　∴cos∠DEF==.　

所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为.　　　　

例4.如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.　求证：B、D、O三点共线.　证明　 ∵E∈AB，H∈AD，　∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.　

∴EH平面ABD.　∵EH∩FG=O，∴O∈平面ABD.　同理可证O∈平面BCD，　

∴O∈平面ABD∩平面BCD，即O∈BD，　所以B、D、O三点共线.

例5.在正方体AC₁中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.　求证：直线FG平面ABCD且直线FG∥直线A₁B₁.　

证明　 由已知得E是CD的中点，在正方体中，由于A∈平面ABCD，　E∈平面ABCD，　

所以AE平面ABCD.　又AE∩BC=F，　从而F∈平面ABCD.　

同理G∈平面ABCD，所以FG平面ABCD.因为EC　 AB，故在Rt△FBA中，CF=BC，同理DG=AD.

又在正方形ABCD中，BC 　AD，所以CF　 DG，所以四边形CFGD是平行四边形，　

所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A₁B₁，　所以直线FG∥直线A₁B₁.

4．下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则PQ与SR一定是异面直线的是

3. 直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有(　 )

2. 对平面和共面的直线下列命题中真命题是　　　　 (　 )

(A)若则　 (B)若则

(C)若则　(D)若与所成的角相等，则

1.共点的四条直线最多可以确定_______平面；互不相交的三条直线可以确定_______平面.

例1.如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，

CG∶GD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.　(1)求AH∶HD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点.　

例2 如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁B₁，B₁C₁的中点.问：　

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；　(2)D₁B和CC₁是否是异面直线？说明理由.　

例3在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.

例4.如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.　求证：B、D、O三点共线.　

例5.在正方体AC₁中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.　求证：直线FG平面ABCD且直线FG∥直线A₁B₁.　

22.如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点，，AB=CD=3，EF=，求AB、CD所成角的大小.