16.如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,

侧面PBC⊥底面ABCD.证明:　(1)PA⊥BD;　(2)平面PAD⊥平面PAB.　

证明　 (1)取BC的中点O,　∵平面PBC⊥平面ABCD,△PBC为等边三角形,　∴PO⊥底面ABCD.　

以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,如图所示,建立空间直角坐标系.　不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=.　∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,).　

∴=(-2,-1,0),=(1,-2,-).∵·=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0,　

∴⊥,∴PA⊥BD.(2)取PA的中点M,连接DM,则M.　

∵=,=(1,0,-),∴·=×1+0×(-2)+×(-)=0,　

∴⊥,即DM⊥PA.　又·=×1+0×0+×(-)=0，　

∴⊥，即DM⊥PB.　又∵PA∩PB=P，∴DM⊥平面PAB，　

∵DM平面PAD.∴平面PAD⊥平面PAB.　

15.如图所示，在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是，点D在平面yOz内，

且∠BDC=90°，∠DCB=30°.　(1)求的坐标；　(2)设和的夹角为，求cos的值.　

解　 (1)如图所示，过D作DE⊥BC，垂足为E，　在Rt△BDC中，由∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，　

得BD=1，CD=.　∴DE=CD·sin30°=.　OE=OB-BD·cos60°=1-=.　

∴D点坐标为，　即的坐标为.　

(2)依题意：=，　?　 =(0，-1，0)，=(0，1，0).　∴，

?　 =(0，2，0).　设和的夹角为，

则cos=　 ∴cos=--.　

14.如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，M为AA₁的中点，N为A₁B₁上的点，且满足A₁N=NB₁，P为底面正方形A₁B₁C₁D₁的中心.求证：MN⊥MC，MP⊥B₁C.　

证明　 设=a，=b，=c　则a、b、c两两垂直且模相等.∴a·b=b·c=a·c=0，　

又∵A₁N=NB₁　∴=b，　

?=+=a+b,　?=a+b+c,　

∴·=

∴MN⊥MC，又(b+c)=(a+b+c)，　? =-a+c.　

∴(a+b+c)(c-a)=0.∴MP⊥B₁C.

13.如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，

若=，则=　 0.5　 .　

12.若平面的法向量分别为n₁=(2，3，5)，n₂=(-3,1,-4),则　　　　　　　　　　　 ( C　　 )　

?A.∥?　　　　　 B. ⊥　?C. 、相交但不垂直　　　　　 D.以上均不正确

11．下列命题中不正确的命题个数是①若A、B、C、D是空间任意四点，则有　 ②|a|－|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件　 ③若a、b共线，则a与b所在直线平行④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面　　 ( C　 )　　

　A.1　　 B.2 　　　　　　　　 C.3　　 　　　　　　 D.4

10.(2009·西安模拟)已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c与a及b都垂直，则m,n的值分别为(　 A　 )

?A.-1,2?　　　　　　 B.1,-2?　　　　　　　 C.1,2　　　　　　　　　 D.-1,-2　

9.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4，-6，2)，下列结论正确的是　　　　　　　　　　　 (　 C　 )　

A.a∥b，b⊥c?　　　 B.a∥b，a⊥c?C.a∥c，a⊥b?　　　　　　　　　　　 D.以上都不对　

8.已知直线l的方向向量为v，平面的法向量为u,则v·u=0，l与的关系是　　　　　　　 ( D　　 )

?A.l⊥?　　　　　　 B.l∥?　　　　　　　 C.l?　　　　　　　 D.l∥或l　

7.设平面的法向量为(1，2，-2)，平面的法向量为(-2，-4，k)，若∥，则k等于　　　　　　 ( C　 )　?A.2?　　　　 　　　　 B.-4?　　　　　　　　 C.4?　 　　　　　　　 D.-2