8.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，E是CC₁的中点，则E到A₁B的距离是　 (D　 )

A. a 　　　　　 B. a 　　　 　C. a　　 　　 　D. a

7. 一个山坡面与水平面成120⁰的二面角，坡脚的水平线为AB，甲沿山坡自P朝垂直于AB的方向走30m，同时乙沿水平面自Q朝垂直于AB的方向走30m，P、Q都是AB上的点，若PQ=10m，这时甲、乙2个人之间的距离为　　　 (　 B　 )

A.　 　　　B.　　 　　C.　 　　　　D.

6.△ABC中,AB=9,AC=15,∠BAC=120°.△ABC所在平面外一点P到三个顶点的距离都是14，那么点P到

平面ABC的距离为　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (A　　 )　

?A.7?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.9?　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C.11　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.13　

5..如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧面AB₁内有一动点P到直线A₁B₁与

直线BC的距离相等， 　则动点P所在的曲线形状为　　 ( C　 )

4..已知平面∥平面，直线l,点P∈l,平面、间的距离为a,则在内到点P的距离为c,且到直线l的距离为b (a＜b＜c)的点的轨迹　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 D?　 )

?A.是一个圆?　　　　 B.是两条直线　?C.不存在?　　 D.是四个点　

3.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、F分别为BB₁、CD的中点，则点F到平面A₁D₁E的距离为(　 C　 )　

?A. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.?　　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　 ?D.　

2.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，O是A₁C₁的中点，则点O到平面ABC₁D₁的距离为(　 B　 )

A.?　　　　　　　　　　　　　　　 B.?　　　　　　　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　　　　　 D.　

1.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方

体ABCO-A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为(B　　 )　

?A.?　　　　　　 B.?　　　　 C.a?　　　　　　 D.a　

3.AB⊥平面BCD，DC⊥CB，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC.　

求AD与平面ABC所成角的大小.(　45°)

例1如图所示，过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a，求:　(1)二面角B-PC-D的大小；　(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小.　

解　 (1)∵PA⊥平面ABCD，BD⊥AC，∴BD⊥PC(三垂线定理)　

在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，　

从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B-PC-D的平面角.　

在Rt△PAB中，由PA=AB=a，得PB=a.　∵PA⊥平面ABCD，BC⊥AB，　

∴BC⊥PB(三垂线定理)　∴PC=　

在Rt△PBC中，BE=同理DE=.　

在△BDE中，根据余弦定理，得　?cos∠BED=.　

∴∠BED=120°，即二面角B-PC-D的大小为120°.　

(2)过P作PQ∥AB，则PQ平面PAB.　∵AB∥CD，∴PQ∥CD，PQ平面PCD.　

∵PA⊥AB，∴PA⊥PQ　∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD.　

∴CD⊥PD即QP⊥PD，　则∠APD即为所求的二面角，　

∵PA=AD=a,PA⊥AD，　∴∠APD=45°?　即所求的二面角的大小为45°.

例2(2008·重庆理，19)如图所示，在△ABC中，B=90°,AC=,D、E两点分别在AB、AC上，使=2，

DE=3.现将△ABC沿DE折成直二面角.求：　(1)异面直线AD与BC的距离；(2)二面角A-EC-B的大小。

解　 方法一　 (1)在图(1)中，因，　故DE∥BC.　又因为B=90°,从而AD⊥DE. 在图(2)中,因二面角A-DE-B是直二面角,AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE,从而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.　下面求DB的长,在图(1)中,　

由=2,得.　

又已知DE=3,从而BC=DE=.　

AB==6.　

因为,所以DB=2.　故异面直线AD与BC的距离为2.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)在图(2)中,过D作DF⊥CE,交CE的延长线于点F,连接AF,由(1)知,AD⊥底面DBCE.由三垂线定理知AF⊥FC,　故∠AFD为二面角A-EC-B的平面角.在底面DBCF中,∠DEF=∠BCE,　DB=2,EC=，　

因此sin∠BCE=,从而在Rt△DFE中，DE=3，　

DF=DEsin∠DEF=DEsin∠BCE=3·.　在Rt△AFD中，AD=4，tan∠AFD=.　

因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan.　

方法二　 (1)同方法一.　

(2)由(1)可知，以D点为坐标原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

如图(3)，则D(0，0，0)，A(0，0，4)，C，E(0，3，0)，　

=(-2，-，0)，=(0，0，-4)，过D作DF⊥CE，交CE的延长线于点F，连接AF.　

设F(x₀，y₀，0)，从而=(x₀，y₀，0).　=(x₀，y₀-3，0).由DF⊥CE，得　? =0，即2x₀+y₀=0.　　　　 ①　

又由∥，得.　　 ②　

联立①,②,解得x₀=-,y₀=,　 即F,得.　

因为·(-2)+·=0，　

故AF⊥CE.又因为DF⊥CE，　所以∠DFA为所求的二面角A-EC-B的平面角.因为，　

所以=4，　所以tan∠AFD=　

因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan.

例3(2008·海南理，18)如图所示，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.　

(1)求DP与CC′所成角的大小;　(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.　

解　 如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D-xyz.　

则=(1，0，0)，=(0,0,1).连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,　延长DP交B′D′于H.　

设=(m,m,1)(m＞0),由已知〈,〉=60°,　

由·=||||cos〈,〉,可得2m=.　

解得m=,所以=.　

(1)因为cos〈,〉=　所以〈,〉=45°,　

即DP与CC′所成的角为45°.　

(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0).　

因为cos〈,〉=,　

所以〈,〉=60°,　可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.　

例4如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O₁的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC是⊙O

的直径，AB=AC=6，OE∥AD.　

(1)求二面角B-AD-F的大小；　

(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值.　

解　 (1)∵AD与两圆所在的平面均垂直，　

∴AD⊥AB，AD⊥AF，　

故∠BAF是二面角B-AD-F的平面角.　

依题意可知，四边形ABFC是正方形，　

∴∠BAF=45°.　

即二面角B-AD-F的大小为45°;　

(2)以O为原点，CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，

则O(0，0，0)，A(0，-3，0)，　

B(3，0，0)，D(0，-3，8)，　

E(0，0，8)，F(0，3，0)，　

∴=(-3，-3，8)，　

?=(0，3，-8).　

?cos〈,〉=　

设异面直线BD与EF所成角为，则　

?cos=|cos〈〉|=.　

即直线BD与EF所成的角的余弦值为.

2.一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直.如果公共边AC=a，则异面直线AB与CD的距离是(C )?A.　　　　 　　　　 B.a?　　　　　　 C.?　　　　　　　 D.