1.在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO-A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为(　　 )　?A.?　 　　　 B.?　　　　 C.a?　　　　　　 D.a　

12.如图所示，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=，AA₁=，M是侧棱CC₁的中点.　

(1)求证：AM⊥BA₁；　(2)求证：平面ABM⊥平面A₁BC；　(3)求点C到平面ABM的距离.

(1)证明　 在Rt△A₁AC与Rt△ACM中，　

∵，∴ Rt△A₁AC∽Rt△ACM.　∴∠AA₁C=∠CAM.　

∴∠AA₁C=∠CAM.∴A₁C⊥AM.　∵BC⊥AC，BC⊥CC₁，且AC∩CC₁=C，　

∴BC⊥平面CC₁A₁A，A₁C是BA₁在平面CC₁A₁A内的射影.

又AM平面CC₁A₁A，∴BA₁⊥AM.　

(2)证明　 由(1)知AM⊥BA₁，AM⊥A₁C，　且BA₁∩A₁C=A₁，　

∴AM⊥平面A₁BC.又AM平面ABM，　∴平面ABM⊥平面A₁BC.　

(3)解　 设点C到平面ABM的距离为h.　由V_M-ABC=S_△ABC·MC　=BC·AC·MC=，　

易知AM=，BM=，AB=2，　∴cos∠AMB=.　

∴sin∠AMB=.　∴S_△ABM=·AM·BM·sin∠AMB=.　∵V_C-ABM=V_M-ABC，　

故h=，即点C到平面ABM的距离为.

11.已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为8，对角线B₁C=10，D是AC的中点.　

(1)求点B₁到直线AC的距离；　(2)求直线AB₁到面C₁BD的距离.　

解　 (1)连结BD、B₁D，　∵由三垂线定理可知B₁D⊥AC，　

∴B₁D就是点B₁到直线AC的距离.　在Rt△B₁BD中，　

∴BB₁==6，BD=4，　∴B₁D=，　

即点B₁到直线AC的距离为2. 　

(2)设B₁C与BC₁交于点E，连结DE　则DE∥AB₁，又∵AB₁平面C₁BD，　

∴AB₁∥平面C₁BD.　又AC与面BDC₁交于AC的中点D，　

∴AB₁到平面BDC₁的距离等于A点到面BDC₁的距离，也就等于三棱锥C-BDC₁的高.　

∵=，　∴×h×S_△BDC1=×S_△BDC×CC₁.　∴h=,　

∴直线AB₁到平面BDC₁的距离是.

10.如图所示，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.　

(1)求证:PC⊥AB;　(2)求二面角B-AP-C的大小;　(3)求点C到平面APB的距离.　

方法一　 (1)证明 如，取AB中点D，连结PD，CD.　

∵AP=BP，∴PD⊥AB.　∵AC=BC，∴CD⊥AB.　图(1)

∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD.　∵PC平面PCD，∴PC⊥AB.　

(2)解　 ∵AC=BC，AP=BP，PC=PC，　

∴△APC≌△BPC.　又PC⊥AC，∴PC⊥BC.　

又∠ACB=90°，即AC⊥BC，　且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC.　

如图(2)，取AP中点E，连结BE，CE.　∵AB=BP，∴BE⊥AP.　

∵EC是BE在平面PAC内的射影，∴CE⊥AP.　

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.　

在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=AB=,　

∴sin∠BEC=.　∴二面角B-AP-C的大小为arcsin.　

(3)解　 由(1)知AB⊥平面PCD,　∴平面APB⊥平面PCD.　如图(3),过C作CH⊥PD,垂足为H.　

∵平面APB∩平面PCD=PD,　∴CH⊥平面APB.　

∴CH的长即为点C到平面APB的距离.　

由(1)知PC⊥AB,又PC⊥AC,　且AB∩AC=A,∴PC⊥平面ABC.　

∵CD平面ABC,∴PC⊥CD.　

在Rt△PCD中,CD=AB=,PD=PB=,　∴PC==2.　

∴CH=.　∴点C到平面APB的距离为.　

方法二　 (1)证明　 ∵AC=BC，AP=BP，CP=CP，　∴△APC≌△BPC.　

又PC⊥AC，∴PC⊥BC.　∵AC∩BC=C，∴PC⊥平面ABC.　

∵AB平面ABC，∴PC⊥AB. 　

(2)解　 如图所示，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.　

则C(0，0，0)，A(0，2，0)，　B(2，0，0)，设P(0，0，t).　

∵|PB|=|AB|=2，　∴t=2，P(0，0，2).　

取AP中点E，连结BE，CE. 　∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，　∴CE⊥AP，BE⊥AP.　

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.　∵E(0，1，1),∴=(0，-1，-1)，=(2，-1，-1)，　

∴cos∠BEC=.　∴二面角B-AP-C的大小为arccos.　

(3)解　 ∵AC=BC=PC，　∴C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，　

且CH的长为点C到平面APB的距离.　如(2)建立空间直角坐标系C-xyz.　

∵，∴点H的坐标为　∴，　∴点C到平面APB的距离为.

14.已知二面角-l-的大小为120°，A是它内部的一点，AB⊥，AC⊥，B、C为垂足，平面ABC交棱l于D点.　(1)求证:平面ABC⊥,平面ABC⊥;　(2)若AB=4 cm?,AC=6 cm?,求BC的长及AD的长.　

(1)证明　 ∵AB⊥，AC⊥，∩=l，　∴AB⊥l，AC⊥l，AB∩AC=A，　

∴l⊥平面ABC，　∴平面ABC⊥，平面ABC⊥.　

(2)解　 ∵平面ABC交棱l于D点，连结CD、BD、AD，　

则CD⊥l，BD⊥l，AD⊥l，　∴∠CDB=120°，∠CAB=60°?　

△ABC中，BC=,　显然,A、B、C、D四点共圆，AD为直径，由正弦定理得AD=.　∴BC的长为2cm，AD的长为cm.

13.已知l₁、l₂是两条异面直线，α、β、γ是三个平面依次互相平行，l₁、l₂分别交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l₁与α成30°角，则β与γ的距离是___6_______；DE=___ 2.5_______.

12.在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点到平面的距离为_____．

11.正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为_____．

10.设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是_________；点P到BC的距离是_______.

9.平面α内的∠MON=60°，PO是α的斜线，PO=3，∠POM=∠PON=45°，那么点P到平面α的距离　 ( A )

A. 　　　　　B. 　　　　C. 　　　　　 D.