1.具有下列性质的三棱锥中，哪一个是正棱锥　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 　　)　

?A.顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等　?B.底面是正三角形，且侧面都是等腰三角形　

?C.相邻两条侧棱的夹角相等　?D.三条侧棱相等，侧面与底面所成角也相等　

19.三棱柱ABC-A′B′C′的所有棱长均为a，∠A′AB=∠A′AC=60°，求其全面积.　

解　 如图所示，过B作BD⊥AA′于D，连结CD，则△BAD≌△CAD.　

∴∠ADB=∠ADC=90°，　∴AD⊥CD，∴AD⊥BD.

∴△BCD为直截面.(垂直于侧棱的截面叫做直截面)　

∵∠BAD=60°，AB=a，∴BD=.　

∴△BDC的周长为(+1)a.　

则S_侧=(+1)a²,(侧面积=直截面的周长×侧棱长)　

S_底=·a·a·sin60°=a²，　∴S_全=S_侧+2S_底=

18.如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，E为棱CC₁上异于C、C₁的一点，EA⊥EB₁，AB=，BB₁=2，BC=1，∠BCC₁=，求：(1)异面直线AB与EB₁的距离；(2)二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值.　

解　 (1)AB⊥面BB₁C₁C，故AB⊥BE.　又BE₁⊥EA，且EA在面BCC₁B₁内的射影为EB.　

由三垂线定理的逆定理知EB₁⊥BE.　因此BE是异面直线AB与EB₁的公垂线.　

在平行四边形BCC₁B₁中,　设EB=x,则EB₁=.　

作BD⊥CC₁,交CC₁于D,则BD=BC·sin.在△BEB₁中，由面积关系得　

即(x²²-1)(x²-3)=0.解之得x=±1,x=±(负根舍去).　

当x=时，在△BCE中，CE²+1²-2CE·cos=3，解之得CE=2,

故此时E与C₁重合，由题意舍去x=.因此x=1，即异面直线AB与EB₁的距离为1.　

(2)过E作EG∥B₁A₁，则GE⊥面BCC₁B₁,　故GE⊥EB₁，且GE在面A₁B₁E内.又已知AE⊥EB₁，　

故∠AEG是二面角A-EB₁-A₁的平面角.　因为EG∥B₁A₁∥BA，∠AEG=∠BAE，　

故tan∠AEG=tan∠BAE=.

17.如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4，M为AA₁中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M的最短距离长为，设这条最短路线与CC₁的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；　

(2)PC与NC的长；　(3)此棱柱的表面积.　

解(1)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为.　(2)如图，将侧面BB₁C₁C绕棱CC₁旋转120°使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点P运动到点P₁的位置，连结MP₁，则MP₁就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC₁到点M的最短路线.　

设PC=x，即P₁C=x，　在Rt△MAP₁中，由勾股定理得(3+x)²+2²=29，　

求得x=2，∴PC=P₁C=2.　

∵，∴NC=.　

(3)棱柱的表面积：　S=S_侧+2S_底=9×4+2×××3²=.

16.如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，D是BC的中点.　

(1)求证：A₁B∥平面AC₁D；　(2)求二面角C-AC₁-D的大小.　

(1)证明　 ∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D是BC的中点.　连结AC₁与A₁C相交于E点，　

在△A₁BC中，∵D、E是中点，　∴A₁B∥DE，又DE在平面AC₁D内，∴A₁B∥平面AC₁D.　

(2)解　 方法一　 作CF⊥C₁D于F，则CF⊥平面AC₁D，

连结EF，∵CE⊥AC₁,∴EF⊥AC₁，　∴∠CEF就是二面角C-AC₁-D的平面角.　

令CD=1，则CC₁=2，∴CF=，CE=，∴sin∠CEF=，　

即二面角C-AC₁-D的大小为arcsin.　

方法二　 设D₁是B₁C₁的中点，以DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，DD₁所在直线为z轴建立空

间直角坐标系，并设C(1，0，0)，则B(-1，0，0)，A(0，，0)，C₁(1，0，2)，　

∵AC的中点为F，　∴，∴平面AC₁C的法向量n₁=(3,,0).　

设平面AC₁D的法向量为n₂=(x,y,z),　∵(0，，0)，(1，0，2).　

∴∴n₂=(2，0，-1)，∴cos〈n₁，n₂〉=

因此，二面角C-AC₁-D的大小为arccos.

15.下面四个命题:①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥;②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥;④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.真命题的编号是 ①④　　 (写出所有真命题)

9.如果三棱锥的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角相等，且顶点在底面的射影为，在内，那么是的　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )

A垂心　　　　　　 B重心　　　　　　 C外心　　　　　 D内心

10如图，在直三棱柱中，，，为侧棱上的两点，且，则多面体的体积等于　　　　　　

11在正方体上任意选择个顶点，它们可能是如下各种几何形体的个顶点，这些几何形体是 　　　　　(写出所有正确结论的编号).①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.

12(05上海)有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a、4a,5a().用它们

拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是　　　　　

13(07全国Ⅰ)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为，则该三角形的斜边长为　　　　 　　

14(07江苏)正三棱锥高为，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是　　　　　　

7.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是(　 B　 )　A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等　?B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补　

?C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆　?D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

8一个正三棱锥与一个正四棱锥，它们的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，这个组合体可能是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A正四棱锥 　　　B正五棱锥　　 　C斜三棱柱　　　　 D正三棱柱

6.正四面体A-BCD表面积为S，四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体E-FGH的表面积为T，则等于( A　　 )　A. ?　 　　　　　　　 B. ?　　　　　 C. ?　　　　　 D. 　

5.正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为　　　　　　　　　 (A　 )　

A.?　　　　　 B.?　　　　　 C.?　　　　　 D.