0  309044  309052  309058  309062  309068  309070  309074  309080  309082  309088  309094  309098  309100  309104  309110  309112  309118  309122  309124  309128  309130  309134  309136  309138  309139  309140  309142  309143  309144  309146  309148  309152  309154  309158  309160  309164  309170  309172  309178  309182  309184  309188  309194  309200  309202  309208  309212  309214  309220  309224  309230  309238  447090 

2.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为    ( A  ) 

?A.?       B.?         C.?         D. 

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1.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,则截面的可能图形是           ( C  ) 

A.①③?B.②④?  C.①②③?D.②③④ 

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4.已知正四棱柱的对角线的长为,且对角线与底面所成角的余弦值为,则该正四棱柱的体积等于   2  . 

典例剖析

例1  如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1中,E是AC中点. (1)求证:平面BEC1⊥平面ACC1A1; 

(2)求证:AB1∥平面BEC1; (3)若,求二面角E-BC1-C的大小. 

(1)证明  ∵ABC-A1B1C1是正三棱柱, ∴A1A⊥平面ABC,∴BE⊥AA1. 

∵△ABC是正三角形,E是AC的中点, ∴BE⊥AC,又AA1∩AC=A,∴BE⊥平面ACC1A1, 

又∵BE平面BEC1, ∴平面BEC1⊥平面ACC1A1. 

(2)证明  连结B1C,设BC1∩B1C=D,连结DE.

∵ABC-A1B1C1是正三棱柱, ∴BCC1B1是矩形,D是B1C的中点. 

∵E是AC的中点,∴AB1∥DE.∵DE平面BEC1,AB1平面BEC1, ∴AB1∥平面BEC1. 

(3)解  作CF⊥EC1于F, FG⊥BC1于G,连结CG. ∵平面BEC1⊥平面ACC1A1, 

∴CF⊥平面BEC1. ∴FG是CG在平面BEC1上的射影.根据三垂线定理得,CG⊥BC1. 

∴∠CGF是二面角E-BC1-C的平面角. 设AB=a,∵,则AA1=a. 

在Rt△ECC1中,CF= 在Rt△BCC1中,CG= 

在Rt△CFG中, ∵sin∠CGF=,∴∠CGF=45°. ∴二面角E-BC1-C的大小为45°. 

例2  在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是矩形且AB=2BC=2,侧面△ADE是正三角形且垂直于底面ABCD,

F是AB的中点,AD的中点为O.求:(1)异面直线AE与CF所成的角;(2)点O到平面EFC的距离; 

(3)二面角E-FC-D的大小. 

解  (1)取EB的中点G,连结FG,则FG∥AE,∴∠GFC为AE与CF所成的角,

∵平面AED⊥平面ABCD,∴底面ABCD是矩形,∴AB⊥AD, 

∴AB⊥平面EAD,∴AB⊥EA, ∴EB=同理,EC=. 

∴在△EBC中,由余弦定理得CG=. 又∵FG=EA=,CF=.  

∴△CFG是直角三角形, ∴cos∠CFG=,∴异面直线AE与CF所成的角为arccos. 

(2)AD的中点为O,则EO⊥平面ABCD, 作OR⊥CF且与CF交于点R,则CF⊥ER 

∴CF⊥平面EOR,又∵CF平面EFC, ∴平面EOR⊥平面EFC. 

过O作OH⊥ER且与ER交于H, 则OH⊥平面EFC, 

∴OH的长即为点O到平面EFC的距离. 由SCFO=S矩形ABCD-SAOF-SCBF-SCOD,∴OR=. 

在Rt△EOR中,OH=.∴所求距离为. 

(3)∠ERO即为二面角E-FC-D的平面角, an∠ERO=∴所求二面角的大小是arctan. 

例3在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=a,BC=CA=AA1=a,A1在底面ABC上的射影O在AC上. 

(1)求AB与侧面A1ACC1所成的角; (2)若O恰为AC的中点,求此三棱柱的侧面积. 

解  (1)∵A1O⊥平面ABC, ∴平面A1ACC1⊥平面ABC. 

在△ABC中,由BC=AC=a, AB=a, 

得∠ACB=90°,∠CAB=45°,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面A1ACC1, AB与侧面A1ACC1所成的角为∠CAB=45°. (2)O是AC中点, 在Rt△AA1O中, AA1=a,AO=a, ∴∠A1AC=60°,

过C作CD⊥CC1交AA1于D,连结BD,由(1)知BC⊥平面A1ACC1

∴BC⊥CC1,又BC平面BCD, CD平面BCD,BC∩CD=C,∴CC1⊥截面BCD,∴CC1⊥BD, 

∴AA1⊥BD, 在Rt△ACD中,CD=a,在Rt△BCD中,BD=

则S三棱柱侧=?=AA1·BD+AA1·DC+CC1·BC= 

例4.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,∠ABC=∠BCD=90°,PA=PD=DC=CB=AB,E是BP的中点. (1)求证:EC∥面APD;(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值. (3)求二面角P-AB-D的大小. (1)证明  如图,取PA中点F,连结EF、FD, ∵E是BP的中点, 

∴EF∥AB且EF=AB. 又∵DC∥AB,DC=AB, ∴EF∥CD且EF=CD. 

∴四边形EFDC是平行四边形,故得EC∥FD. 

又∵EC平面PAD, FD平面PAD,∴EC∥平面ADP. 

(2)解  取AD的中点H,连结PH,BH, ∵PA=PD,∴PH⊥AD. 

∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PH⊥平面ABCD. 

∴HB是PB在平面ABCD内的射影. ∴∠PBH是PB与平面ABCD所成的角. 

由已知∠ABC=∠BCD=90°, ∴四边形ABCD是直角梯形,DC=CB=AB. 

设AB=2a,则BD=a, 在△ADB中,易得∠DBA=45°,∴AD=a. 

PH=.又∵BD2+AD2=4a2=AB2, 

∴△ABD是等腰直角三角形,∠ADB=90°.∴HB=. 

∴在Rt△PHB中,tan∠PBH=. 

(3)解  在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点,连结PG,则HG是PG在平面ABCD内的射影, 

故PG⊥AB,所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角, 

由AB=2a,HA=a,又∠HAB=45°,∴HG=a. 在Rt△PHG中,tan∠PGH=. 

∴二面角P-AB-D的大小为arctan.

例5如图所示,三棱锥中,求三棱锥的体积.(要求用四种不同的方法)

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3.平行于棱锥底面的截面把棱锥某侧面分成面积比1∶3两部分,则棱锥的侧棱分成两部分长度比(从上到下)为 ( A  )

?A.1∶1 ?  B.1∶3?   C.1∶2? D.1∶5 

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基础
自测
 
1.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是          (B  ) 

A.棱柱有一条侧棱与底面垂直 ?B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直 

?      C.棱柱有一个侧面是矩形,且与底面垂直 D.棱柱有两个侧面是矩形,且与底面垂直 

2.(2009·开封模拟)已知长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为(C   ) ?A.2?     B.?    C.5?  D.6 

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4.棱锥的体积:  V=Sh,其S是棱锥的底面积,h是高.

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3.一般棱锥的性质--定理:

棱锥被平行于棱锥底面的平面所截,则截面和底面相似,且其面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比.

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2.正棱锥的性质:

(1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形.

(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.

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1.定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫棱锥.

如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥.

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(1)定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.

(2) 棱柱的性质:

①侧棱都相等,侧面都是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;

③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.

(3)棱柱的分类:

①按底面多边形的边数分类:②按侧棱与底面的位置关系分类:

(4)特殊的四棱柱: 

四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱 →正方体.请在“→”上方添上相应的条件.

(5)长方体对角线定理:

长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.

(6)棱柱的体积公式:,是棱柱的底面积,是棱柱的高.

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