7.
5. (04天津12)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是,且当
时,
,则
的值为
A. B.
C.
D.
6.(福建卷)函数
的部分图象如图,则( )
A. B.
C.
D.
4.(04年湖北7)函数上的最大值和最小值之和为a,则a的值为( )
A.0.25 B.0.5 C.2 D.4
3.(04年湖北3)已知的解析式
A. B.
C.
D.
2.已知函数f(x)定义域为R+,且满足条件f(x)=f·lgx+1,f(x)=_______
1.已知f(xn)=lgx(n∈N*),则f(2)=_________________.
例1.(上海春) 设函数.(1)在区间[-2,6]上画出函数
的图像;
(2)设集合. 试判断集合
和
之间的关系,并给出证明;
(3)当
时,求证:在区间
上,
的图像位于函数f(x)图像的上方.
解:(1)(要求列表描点)
(2)方程
的解分别是
和
,由于
在
和[2,5]上单调递减,在[-1,2]和
上单调递增,因此
.
由于.
(3)[解法一] 当时,
.
,
. 又
,
① 当,即
时,取
,
.
, 则
.
② 当,即
时,取
,
=
.
由 ①、②可知,当时,
,
.
因此,在区间上,
的图像位于函数
图像的上方.
[解法二] 当时,
.由
得,
令
,
解得 或
,
在区间[-1,5]上,当时,
的图像与函数f(x)的图像只交于一点
; 当
时,
的图像与函数f(x)的图像没有交点. 如图可知,由于直线
过点
,当
时,直线
是由直线
绕点
逆时针方向旋转得到. 因此,在区间
上,
的图像位于函数f(x)图像的上方.
例2.(全国卷Ⅱ理17设函数,求使
的
取值范围.
解:由于是增函数,
等价于
①
⑴当时,
,∴①式恒成立。
⑵当时,
,①式化为
,即
。
⑶当时,
,①式无解。 综上,
的取值范围为
例3.已知函数(a,b为常数)且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.
(1)求函数f(x)的解析式; (2)设k>1,解关于x的不等式;
[正确解答](1)将
得
(2)不等式即为
即
①当
②当
③.
例4.(全国II卷)设,函数
若
的解集为A,
,求实数
的取值范围。
解:由f(x)为二次函数知,令f(x)=0解得其两根为
由此可知
(i)当时,
的充要条件是
,即
解得
(ii)当时,
的充要条件是
,即
解得
综上,使成立的a的取值范围为
例5.(上海文22)(本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分,计18分)对定义域是、
的函数y=f(x)、y=g(x),规定:函数
。
(1)若函数,
,写出函数
的解析式;(2)求问题(1)中函数
的值域;
(3)若
,其中
是常数,且
,请设计一个定义域为R的函数
,及一个
的值,使得
,并予以证明。
解(3)[解法一]令则
于是
[解法二]令,
则
于是
例6.设的值域为[-1,4],求a、b的值.
例7:已知函数f(x)=,x∈[1,+∞
,(1)当a=0.5时,求函数f(x)的最小值
(2)若对任意x∈[1,+∞,f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围
(1)解 当a=
时,f(x)=x+
+2
∵f(x)在区间[1,+∞上为增函数,∴f(x)在区间[1,+∞
上的最小值为f(1)=
(2)解法一 在区间[1,+∞
上,f(x)=
>0恒成立
x2+2x+a>0恒成立
设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞,∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1递增,
∴当x=1时,ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故a>-3 ?
解法二 f(x)=x+
+2,x∈[1,+∞
当a≥0时,函数f(x)的值恒为正; 当a<0时,函数f(x)递增,故当x=1时,f(x)min=3+a,
当且仅当f(x)min=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故a>-3
点评 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题,着重于学生的综合分析能力以及运算能力
解题的关健是把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围,体现了转化的思想与分类讨论的思想
12. (04年北京文8)
函数,其中P、M为实数集R的两个非空子集,又规定
,
,给出下列四个判断:
①若,则
②若
,则
③若,则
④若
,则
其中正确判断有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. (05浙江理3)设f(x)=,则f[f(
)]= ________________
9.(06重庆卷)如图所示,单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍,则函数y=f(x)的图象是
解析:如图所示,单位圆中的长为x,
与弦AB所围成的弓形面积的2倍,当
的长小于半圆时,函数y=f(x)的值增加的越来越快,当
的长大于半圆时,函数y=f(x)的值增加的越来越慢,所以函数y=f(x)的图像是D.
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