4.(福建卷理12)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 A.2; B.3; C.4; D.5 ( D )
3.(全国卷I)已知函数,若
为奇函数,则
________。
解析:函数若
为奇函数,则
,即
,a=
.
2.(全国卷I)已知函数的图象与函数
的图象关于直线
对称,则
A. B.
C.
D.
解:函数的图象与函数y=f(x)的图象关于直线
对称,所以f(x)是
的反函数,即
=
,∴
,选D.
1.. (北京卷)在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意,
恒成立”的只有
(A) (B)
(C)
(D)
解:|
>1
<1\
|<|x1-x2|故选A
例1.(05浙江文20)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;
(Ⅲ)若h(x)=g(x)-f(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实数
的取值范围。
解:(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(xqλ,yq关于原点的对称点(x,y),
则即
∵点Qxq,yq)在函数f(x)的图象上,∴-y=-x2+2x.,故g(x)=-x2+2x
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)-|x-1|可得2x2-|x-1|≤0,当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解,
当x<1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集为[-1,
]
(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1
① 当λ=-1时,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1
②
当λ≠-1时,对称轴的方程为x=.
(i)
当λ<-1时,
≤-1,解得λ<-1.
(ii)
当λ>-1时, ≥-1,解得-1<λ≤0.
综上,λ≤0
例2.(江苏卷)已知函数
(Ⅰ)当a=2时,求使f(x)=x成立的x的集合;
(Ⅱ)求函数y=f (x)在区间[1,2]上的最小值.
解:(1)当a=2时,,则方程f(x)=x即为
解方程得:
(2)(I)当a>0时,,作出其草图见右, 易知f (x)有两个极值点
借助于图像可知,当
时,函数f (x)在区间[1,2]上为增函数,此时
当时,显然此时函数的最小值为
当时,
,此时f(x)在区间
为增函数,在区间
上为减函数,
∴,又可得
∴
则当时,
,此时
当时,
,此时
当时,
,此时f(x)在区间[1,2]为增函数,故
(II)当时,
,此时f(x)在区间[1,2]也为增函数,故
(III)当时,其草图见右
显然函数f(x)在区间[1,2]为增函数,故
例3.(湖南卷)已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,a≠0.
(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(Ⅱ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
解:(I),则
因为函数h(x)存在单调递减区间,所以<0有解.
又因为x>0时,则ax2+2x-1>0有x>0的解.
①当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0总有x>0的解;
②当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,而ax2+2x-1>0总有x>0的解;
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根.此时,-1<a<0.
综上所述,a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).
(II)证法一 设点P、Q的坐标分别是(x1, y1),(x2, y2),0<x1<x2.
则点M、N的横坐标为
C1在点M处的切线斜率为
C2在点N处的切线斜率为
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则k1=k2.
即,
则
=
所以 设
则
①
令则
因为时,
,所以
在
)上单调递增. 故
则. 这与①矛盾,假设不成立. 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
证法二:同证法一得 因为
,所以
令,得
②
令
因为,所以
时,
故在[1,+
上单调递增.从而
,即
于是
在[1,+
上单调递增.
故即
这与②矛盾,假设不成立.
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
例4已知函数y=f (x)是定义在
上的周期函数,周期T=5,函数
是奇函数
又知y=f (x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时函数取得最小值
①证明:;②求
的解析式;③求
在[4,9]上的解析式.
解:∵f (x)是以为周期的周期函数,∴
,
又∵是奇函数,∴
,∴
②当时,由题意可设
,
由得
,∴
,
∴
③∵是奇函数,∴
,
又知y=f (x)在[0,1]上是一次函数,∴可设,而
,
∴,∴当
时,f (x)=-3x,
从而当时,
,故
时,f (x)= -3x,
∴当时,有
,∴0
当时,
,∴
∴
例5:已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(
),试证明
(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减
……
证明 (1)由f(x)+f(y)=f(
)可令x=y=0,得f(0)=0,
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0
∴f(x)=-f(-x)
∴f(x)为奇函数
(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减 令0<x1<x2<1,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(
)
∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴>0,
又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0,∴x2-x1<1-x2x1,∴0<<1,由题意知f(
)<0,
即 f(x2)<f(x1) ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0
∴f(x)在(-1,1)上为减函数
例6.(湖南卷)设,点P(t,0)是函数
的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.(Ⅰ)用t表示a,b,c;
(Ⅱ)若函数在(-1,3)上单调递减,求t的取值范围.
解:(I)因为函数f (x),g(x)的图象都过点((t,0),所以,
即.因为
所以
.
又因为f (x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以
而
将代入上式得
因此
故
,
,
(II)解法一.
当时,函数y= f (x)-g(x)单调递减.
由,若
;若
由题意,函数y= f (x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,
则所以
又当时,函数y= f (x)-g(x)在(-1,3)上单调递减.
所以的取值范围为
解法二:
因为函数y= f (x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,且是(-1,3)上的抛物线,
所以 即
所以
的取值范围为
12.(天津文9)若函数在区间
内恒有
,则
的单调递增区间为
11.设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=
0
。
10.直线沿轴正方向平移
个单位,再沿
轴负方向平移
-1个单位得直线
,若直线
与
重合,则直线
的斜率为( )
(A) (B)
(C)
(D)
9.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,
且g(-3)=0则不等式f(x)g(x)<0的解集是 (
)
A. B.
C.
D.
8.(天津文10) 设f(x)是定义在R上以6为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且y=f(x)的图象关于直线x=3对称,则下面正确的结论是 ( )
(A); (B)
;
(C); (D)
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