4．(福建卷理12)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间(0，6)内解的个数的最小值是　　 A．2；　 B．3；　 C．4；　 D．5 ( D )

3.(全国卷I)已知函数，若为奇函数，则________。

解析：函数若为奇函数，则，即，a=.

2．(全国卷I)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则

A．　 B．C． 　D．

解：函数的图象与函数y=f(x)的图象关于直线对称，所以f(x)是的反函数，即=，∴ ，选D.

1.. (北京卷)在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意，恒成立”的只有

(A)　　　 (B)　　 (C)　　　　 (D)

解：|>1<1\ |<|x₁－x₂|故选A

例1．(05浙江文20)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x²+2x．

　 (Ⅰ)求函数g(x)的解析式；(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；

　(Ⅲ)若h(x)＝g(x)－f(x)+1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围。

解：(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x_qλ,y_q关于原点的对称点(x,y),

则即∵点Qx_q,y_q)在函数f(x)的图象上,∴-y=-x²+2x.,故g(x)=-x²+2x

(Ⅱ)由g(x)≥f(x)－|x－1|可得2x²-|x-1|≤0,当x≥1时,2x²-x+1≤0,此时不等式无解,

当x<1时,2x²+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集为[-1, ]

(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x²+2(1-λ)x+1　

①　　 当λ=-1时,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1

②　　 当λ≠-1时,对称轴的方程为x=.

(i)　　　　　　　　 当λ<-1时, ≤-1,解得λ<-1.

(ii)　　　　　　　 当λ>-1时, ≥-1,解得-1<λ≤0.

综上,λ≤0

例2.(江苏卷)已知函数 (Ⅰ)当a=2时，求使f(x)＝x成立的x的集合；

(Ⅱ)求函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值.

解：(1)当a=2时,，则方程f(x)=x即为

解方程得：

(2)(I)当a>0时,，作出其草图见右, 易知f (x)有两个极值点借助于图像可知,当时，函数f (x)在区间[1,2]上为增函数，此时

当时,显然此时函数的最小值为

当时，，此时f(x)在区间为增函数，在区间上为减函数，

∴，又可得　　 ∴

则当时，，此时

当时，，此时

当时，,此时f(x)在区间[1,2]为增函数，故

(II)当时，，此时f(x)在区间[1,2]也为增函数，故

(III)当时，其草图见右　 显然函数f(x)在区间[1,2]为增函数，故

例3.(湖南卷)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax²+bx，a≠0.

　(Ⅰ)若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

　(Ⅱ)设函数f(x)的图象C₁与函数g(x)图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，证明C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

解：(I)，则

因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解.

又因为x>0时，则ax²+2x－1>0有x>0的解.

①当a>0时，y=ax²+2x－1为开口向上的抛物线，ax²+2x－1>0总有x>0的解；

②当a<0时，y=ax²+2x－1为开口向下的抛物线，而ax²+2x－1>0总有x>0的解；

　 则△=4+4a>0,且方程ax²+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0.

　 综上所述，a的取值范围为(－1，0)∪(0，+∞).

(II)证法一　 设点P、Q的坐标分别是(x₁, y₁)，(x₂, y₂)，0<x₁<x₂.

　　　　 则点M、N的横坐标为

　　　　 C₁在点M处的切线斜率为

　　　　 C₂在点N处的切线斜率为

　　　　 假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂.

　　　　 即，

则

　　　　　　　　 =

　　　 所以　 设则①

　　　 令则

　　　 因为时，，所以在)上单调递增. 故

　　　 则. 这与①矛盾，假设不成立.　 故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

证法二：同证法一得　　　 因为，所以

　　　 令，得　 ②

　　　 令

　　　 因为，所以时，

故在[1，+上单调递增.从而，即　　 于是在[1，+上单调递增.

故即这与②矛盾，假设不成立.

故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

例4已知函数y＝f (x)是定义在上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值

①证明：；②求的解析式；③求在[4,9]上的解析式.

解：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴，

又∵是奇函数，∴，∴

②当时，由题意可设，

由得，∴，

∴

③∵是奇函数，∴，

又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函数，∴可设，而，

∴，∴当时，f (x)=-3x，

从而当时，，故时，f (x)= -3x，

∴当时，有，∴0

当时，，∴

∴

例5：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明　 (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减　 ……

证明　 (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,

令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0　 ∴f(x)=－f(－x)　 ∴f(x)为奇函数　

(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减　 令0<x₁<x₂<1,则f(x₂)－f(x₁)=f(x₂)+f(－x₁)=f()

∵0<x₁<x₂<1,∴x₂－x₁>0,1－x₁x₂>0，∴>0,

又(x₂－x₁)－(1－x₂x₁)=(x₂－1)(x₁+1)<0，∴x₂－x₁<1－x₂x₁,∴0<<1,由题意知f()<0，

即　f(x₂)<f(x₁)　 ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0 ∴f(x)在(－1，1)上为减函数　

例6．(湖南卷)设，点P(t，0)是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.(Ⅰ)用t表示a，b，c；

(Ⅱ)若函数在(－1，3)上单调递减，求t的取值范围.

解：(I)因为函数f (x),g(x)的图象都过点((t，0)，所以，

　 即.因为所以.　　　

　　　 又因为f (x),g(x)在点(t，0)处有相同的切线，所以

　　　 而

　　　 将代入上式得　 因此故，，

(II)解法一.

当时，函数y= f (x)-g(x)单调递减.

由，若；若

由题意，函数y= f (x)-g(x)在(－1，3)上单调递减，

则所以

又当时，函数y= f (x)-g(x)在(－1，3)上单调递减.

所以的取值范围为

解法二：

　　　 因为函数y= f (x)-g(x)在(－1，3)上单调递减，且是(－1，3)上的抛物线，

　　　 所以　 即　　　 所以的取值范围为

12．(天津文9)若函数在区间内恒有，则的单调递增区间为　　　　　　　　　

11．设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 0 。

10.直线沿轴正方向平移个单位，再沿轴负方向平移－1个单位得直线，若直线与重合，则直线的斜率为(　　 )

(A) 　　　(B) 　　　　　(C) 　　　　(D)

9.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且g(-3)=0则不等式f(x)g(x)<0的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 　)

A． B．　 C． D．

8．(天津文10) 设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且y=f(x)的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是　　　 　　　　　　　　(　 　)

(A)；　　 (B)；

(C)；　　 (D)