3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

2. 在等差数列中,有关的最值问题--常用邻项变号法求解：　

(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.

(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

1．判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法：

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。

(2)通项公式法：

①若　 =　+(n-1)d=　+(n-k)d ，则为等差数列；

②若　 ，则为等比数列。

(3)中项公式法：验证中项公式成立。

3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．

1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；

11．(全国II)设函数f(x)＝(x+1)ln(x+1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

解法一：令g(x)＝(x+1)ln(x+1)－ax，

对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x+1)+1－a 令g′(x)＝0，解得x＝e^a－1－1，　　　 　　……5分

(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，+∞)上是增函数，

又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．……9分

(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e^a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e^a－1－1)是减函数，

又g(0)＝0，所以对0＜x＜e^a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．

综上，a的取值范围是(－∞，1]．　　 ……12分

解法二：令g(x)＝(x+1)ln(x+1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．　……3分

对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x+1)+1－a令g′(x)＝0，解得x＝e^a－1－1，　　　　　　　 　……6分

当x＞ e^a－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，

当－1＜x＜e^a－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，　　 ……9分

所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e^a－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是(－∞，1]．

10．(全国卷I)设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围。

解:f'(x)=3x²－2ax+(a²－1),其判别式△=4a²－12a²+12=12－8a².

(ⅰ)若△=0,即a=±,当x∈(－∞,),或x∈(,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)为增函数.所以a=±.

(ⅱ)若△=12－8a²<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)为增函数,所以a²>,即a∈(－∞,－)∪(,+∞)

(ⅲ)若△12－8a²>0,即－<a<,令f'(x)=0,解得x₁=,x₂=.

当x∈(－∞,x₁),或x∈(x₂,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数;当x∈(x₁,x₂)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.依题意x₁≥0且x₂≤1.由x₁≥0得a≥,解得1≤a<

由x₂≤1得≤3－a,解得－<a<,从而a∈[1,)

综上,a的取值范围为(－∞,－]∪[,+∞)∪[1,),即a∈(－∞,－]∪[1,∞).

8．(北京卷)已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：(Ⅰ)的值； (Ⅱ)的值.

解析：解法一： (Ⅰ)由图象可知，在(－∞，1)上,在(1,2)上,在上, 故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以.

(Ⅱ)由

得解得

解法二:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)设又

所以

由,即得,　 所以. 9．(湖南卷)已知函数.　　 (I)讨论函数的单调性；　　　 (Ⅱ)若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.

解　(Ⅰ)由题设知.令.

当(i)a>0时，

若，则，所以在区间上是增函数；

若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是增函数；

(i i)当a＜0时，

若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是增函数；

若，则，所以在区间上是减函数.

(Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.

因为线段AB与x轴有公共点，所以.即

.所以. 故.

解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].

7.(安徽卷)设函数，已知是奇函数。

(Ⅰ)求、的值。(Ⅱ)求的单调区间与极值。

解析：(Ⅰ)∵，∴。

从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；

在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。