3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
2. 在等差数列中,有关
的最值问题--常用邻项变号法求解:
(1)当>0,d<0时,满足
的项数m使得
取最大值.
(2)当<0,d>0时,满足
的项数m使得
取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
1.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法:
①若 =
+(n-1)d=
+(n-k)d ,则
为等差数列;
②若 ,则
为等比数列。
(3)中项公式法:验证中项公式成立。
3.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.
1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上,系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;
11.(全国II)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.
解法一:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,
对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a 令g′(x)=0,解得x=ea-1-1, ……5分
(i)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,
又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0),即当a≤1时,对于所有x≥0,都有 f(x)≥ax.……9分
(ii)当a>1时,对于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数,
又g(0)=0,所以对0<x<ea-1-1,都有g(x)<g(0),即当a>1时,对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.
综上,a的取值范围是(-∞,1]. ……12分
解法二:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立. ……3分
对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a令g′(x)=0,解得x=ea-1-1, ……6分
当x> ea-1-1时,g′(x)>0,g(x)为增函数,
当-1<x<ea-1-1,g′(x)<0,g(x)为减函数, ……9分
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea-1-1≤0.由此得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].
10.(全国卷I)设为实数,函数
在
和
都是增函数,求
的取值范围。
解:f'(x)=3x2-2ax+(a2-1),其判别式△=4a2-12a2+12=12-8a2.
(ⅰ)若△=0,即a=±,当x∈(-∞,),或x∈(,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)为增函数.所以a=±.
(ⅱ)若△=12-8a2<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)为增函数,所以a2>,即a∈(-∞,-)∪(,+∞)
(ⅲ)若△12-8a2>0,即-<a<,令f'(x)=0,解得x1=,x2=.
当x∈(-∞,x1),或x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数;当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.依题意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得a≥,解得1≤a<
由x2≤1得≤3-a,解得-<a<,从而a∈[1,)
综上,a的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞)∪[1,),即a∈(-∞,-]∪[1,∞).
8.(北京卷)已知函数在点
处取得极大值
,其导函数
的图象经过点
,
,如图所示.求:(Ⅰ)
的值; (Ⅱ)
的值.
解析:解法一: (Ⅰ)由图象可知,在(-∞,1)上,在(1,2)上
,在
上
, 故
在
,
上递增,在(1,2)上递减,因此
在
处取得极大值,所以
.
(Ⅱ)由
得解得
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设又
所以
由,即
得
, 所以
.
9.(湖南卷)已知函数
. (I)讨论函数
的单调性; (Ⅱ)若曲线
上两点A、B处的切线都与y轴垂直,且线段AB与x轴有公共点,求实数a的取值范围.
解 (Ⅰ)由题设知.令
.
当(i)a>0时,
若,则
,所以
在区间
上是增函数;
若,则
,所以
在区间
上是减函数;
若,则
,所以
在区间
上是增函数;
(i i)当a<0时,
若,则
,所以
在区间
上是减函数;
若,则
,所以
在区间
上是减函数;
若,则
,所以
在区间
上是增函数;
若,则
,所以
在区间
上是减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知,曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值,且函数
在
处分别是取得极值
,
.
因为线段AB与x轴有公共点,所以.即
.所以. 故
.
解得 -1≤a<0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1,0)∪[3,4].
7.(安徽卷)设函数,已知
是奇函数。
(Ⅰ)求、
的值。(Ⅱ)求
的单调区间与极值。
解析:(Ⅰ)∵,∴
。
从而=
是一个奇函数,所以
得
,由奇函数定义得
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,从而
,由此可知,
和
是函数
是单调递增区间;
是函数
是单调递减区间;
在
时,取得极大值,极大值为
,
在
时,取得极小值,极小值为
。
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