9.如果实数满足,求
的最大值、2x-y的最小值
解:(1)问题可转化为求圆
上一点到原点连线的斜率
的最大值, 由图形性质可知, 由原点向圆
作切线,其中切线斜率的最大值即为
的最大值
设过原点的直线为y=kx,即kx-y=0,
由
,解得
或
(2)x,y满足
,
[典型考例]
[问题1]直线的方程与平行、垂直条件
P91 例1
例2.若直线mx+y+2=0与线段AB有交点,其中A(-2, 3),B(3,2),求实数m的取值范围。
例3.自点A(-3,3)发出的光线
射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆
相切,求光线
所在的直线方程
解:由已知可得圆C:关于x轴对称的圆C‘的方程为
,其圆心C‘(2,-2),则
与圆C’相切,
设: y-3=k(x+3),
,
整理得12k2+
25k+12=0, 解得或
,
所以所求直线方程为y-3= (x+3)或 y-3=
(x+3),
即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=0
[问题2]圆的方程
例4.P92 例2
例5.(04年湖南文理科试题)如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点。(I)设点P分有向线段所成的比为
,证明:
(II)设直线AB的方程是x-2y+12=0,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.
解:(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为 代入抛物线方程
得
①
设A、B两点的坐标分别是 、
、x2是方程①的两根.
所以
由点P(0,m)分有向线段所成的比为
,得
又点Q是点P关于原点的对称点,故点Q的坐标是(0,-m),从而.
所以
(Ⅱ)由 得点A、B的坐标分别是(6,9)、(-4,4).
由 得
所以抛物线
在点A处切线的斜率为
设圆C的方程是则
解之得
所以圆C的方程是
即
例6.一个圆和已知圆外切,并与直线
:
相切于点M(
),求该圆的方程
已知圆方程化为: ,其圆心P(1,0),半径为1
设所求圆的圆心为C(a,b), 则半径为,
因为两圆外切,
,从而
1+
(1)
又所求圆与直线:
相切于M(
),
直线
,于是
,
即 (2) 将(2)代入(1)化简,得a2-4a=0,
a=0或a=4
当a=0时,
,所求圆方程为
当a=4时,b=0,所求圆方程为
[问题3]直线与圆的位置关系
例7.P96T8 例8. P96 T9
[问题3]综合与提高
例9: 例3. 2.(广东卷)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合(如图5所示).将矩形折叠,使A点落在线段DC上.
(Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程;
(Ⅱ)求折痕的长的最大值.
例10. 23.如图,过圆O:x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线,M为上任一点,过M作圆O的另一条切线,切点为Q,求△MAQ垂心P的轨迹方程。
[课后训练]
6. (辽宁卷)若直线按向量
平移后与圆
相切,则c的值为( A )
A.8或-2 B.6或-4 C.4或-6 D.2或-8
7(北京卷)从原点向圆 x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 (B )
(A)π (B)2π (C)4π (D)6π
8(湖南卷)设直线和圆
相交于点A、B,则弦AB的垂直平分线方程是
.
5.(重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 +
4x+2y+=0相切的直线的方程为
(A)y=-3x或y=x (B) y=-3x或y=-
x (C)y=3x或y=-
x (B) y=3x或y=
x
解析:过坐标原点的直线为,与圆
相切,则圆心(2,-1)到直线方程的距离等于半径
,则
,解得
,∴ 切线方程为
,选A.
3.(全国卷I)从圆外一点
向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为
A.
B.
C.
D.
解析:圆的圆心为M(1,1),半径为1,从外一点
向这个圆作两条切线,则点P到圆心M的距离等于
,每条切线与PM的夹角的正切值等于
,所以两切线夹角的正切值为
,该角的余弦值等于
,选B.
2.(江苏卷)圆的切线方程中有一个是
(A)x-y=0 (B)x+y=0 (C)x=0 (D)y=0
[正确解答]直线ax+by=0,则
,由排除法,
选C,本题也可数形结合,画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。
[解后反思]直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解.
1.(湖南卷)若圆上至少有三个不同点到直线
:
的距离为
,则直线
的倾斜角的取值范围是 ( )A.[
] B.[
] C.[
D.
解析:圆整理为
,∴圆心坐标为(2,2),半径为3
,要求圆上至少有三个不同的点到直线
的距离为
,则圆心到直线的距离应小于等于
, ∴
,∴
,∴
,
,
∴ ,直线
的倾斜角的取值范围是
,选B.
6.设,
,代入原方程整理得
有,解得
或
,所以
或
.
5.,它对应的点位于第一象限.
6.在复数集C内,方程的解为
.
答案:1.4 2。 3。3
4。
=
5.复数,
,则
在复平面内的对应点位于第 象限.
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