4．诱导公式的作用：

诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90º角的三角函数值．

例1. 已知f()=;

(1)化简f();

(2)若是第三象限角，且cos，求f()的值.

解 ：(1)f()==-cos.

(2)∵cos=-sin,

∴sin=-,cos=-,

∴f()=.

变式训练1：已知A＝则A构成的集合是　　 (　 )

A．{－1, 1, －2, 2}　　 　 B．{1, －1}

C．{2, －2}　　　　 　 D．{－2, －1, 01, 2}

解：C

例2．求值：(1) 已知，求的值．

2) 已知，求下列各式的值．①；②

解：(1)；

(2)

变式训练2：化简：① ， ②

解：①原式＝sinθ　 ② 原式＝0

例3. 已知－，sin x+cos x＝．

(1)求sin x－cos x的值．

(2)求的值．

解：( 1 ) －，( 2 ) －

变式训练3：已知sin +cos=,∈(0,).求值：

(1)tan;(2)sin-cos;(3)sin³+cos³.

解　 方法一　 ∵sin+cos=,∈(0,),

∴(sin+cos)²==1+2sincos，

∴sincos=-＜0.

由根与系数的关系知，

sin,cos是方程x²-x-=0的两根，

解方程得x₁=,x₂=-.

∵sin＞0,cos＜0,∴sin=,cos =-.

∴(1)tan=-.

(2)sin-cos=.

(3)sin³+cos³=.

方法二　 (1)同方法一.

(2)(sin-cos)²=1-2sin·cos

=1-2×=.

∵sin＞0,cos＜0,∴sin-cos＞0,

∴sin-cos=.

(3)sin³+cos³=(sin+cos)(sin²-sincos+cos²)

=×=.

例4．已知tan=2,求下列各式的值：

(1);

(2) ;

(3)4sin²-3sincos-5cos².

解：(1)原式=.

(2).

(3)∵sin²+cos²=1,

∴4sin²-3sincos-5cos²

=_[来源:]

=.

变式训练4：已知sin(+k)=-2cos(+k) (k∈Z).

求:(1);

(2)sin²+cos².

解：由已知得cos(+k)≠0,

∴tan(+k)=-2(k∈Z),即tan=-2.

(1).

(2)sin²+cos²==.

3．同角三角函数的关系式的基本用途：

根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．

2．诱导公式：

sin
cos

规律：奇变偶不变，符号看象限

1．同角公式：

(1) 平方关系：sin²α+cos²α＝1，1+tan²α＝　　　 ，1+cot²α＝　　　

(2) 商数关系：tanα＝　　　 ，cotα＝　　　

(3) 倒数关系：tanα　　　 ＝1，sinα　　　 ＝1，cotα　　 ＝1

2．在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清：①角的范围是什么？②对应的三角函数值是正还是负？③与此相关的定义、性质或公式有哪些?

第2课时　　 同角三角函数的基本关系及诱导公式

1．本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好：如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系．

13．三角函数线：在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线．

例1. 若是第二象限的角，试分别确定2, ,的终边所在位置.

解： ∵是第二象限的角，

∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°(k∈Z).

(1)∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°(k∈Z)，

∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.

(2)∵k·180°+45°＜ ＜k·180°+90°(k∈Z)，

当k=2n(n∈Z)时，

n·360°+45°＜＜n·360°+90°；

当k=2n+1(n∈Z)时，

n·360°+225°＜＜n·360°+270°.

∴是第一或第三象限的角.

(3)∵k·120°+30°＜＜k·120°+60°(k∈Z)，

当k=3n(n∈Z)时，

n·360°+30°＜＜n·360°+60°；

当k=3n+1(n∈Z)时，

n·360°+150°＜＜n·360°+180°；

当k=3n+2(n∈Z)时，

n·360°+270°＜＜n·360°+300°.

∴是第一或第二或第四象限的角.

变式训练1：已知是第三象限角，问是哪个象限的角？

解： ∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°(k∈Z)，

60°+k·120°＜＜90°+k·120°.

①当k=3m(m∈Z)时，可得

60°+m·360°＜＜90°+m·360°(m∈Z).

故的终边在第一象限.

②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得

180°+m·360°＜＜210°+m·360°(m∈Z).

故的终边在第三象限.

③当k=3m+2 (m∈Z)时，可得

300°+m·360°＜＜330°+m·360°(m∈Z).

故的终边在第四象限.

综上可知，是第一、第三或第四象限的角.

例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:

(1)sin≥;(2)cos≤.

解：(1)作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，

则OA与OB围成的区

域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为

|2k+≤≤2k+，k∈Z　 .

(2)作直线x=交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)

即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为

　 .

变式训练2：求下列函数的定义域：

(1)y=；(2)y=lg(3-4sin²x).

解：(1)∵2cosx-1≥0，∴cosx≥.

由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).

∴x∈(k∈Z).

(2)∵3-4sin²x＞0,∴sin²x＜,∴-＜sinx＜.

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),

∴x(k-,k+)(kZ).

例3. 已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.

解：∵角的终边在直线3x+4y=0上，

∴在角的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),

则x=4t,y=-3t,

r=|t|,

当t＞0时，r=5t,

sin=,cos=,

tan=;

当t＜0时，r=-5t,sin=,

cos=,

tan=.

综上可知，t＞0时，sin=,cos=,tan=;

t＜0时，sin=,cos=-,tan=.

变式训练3：已知角的终边经过点P，试判断角所在的象限，并求的值．

解：由题意，得

故角是第二或第三象限角．

当，点P的坐标为，

当，点P的坐标为，

例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R．

(1) 若α，R＝2cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；

(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．

解：(1)设弧长为l，弓形面积为S_弓。

_△＝

　 ＝(cm²)

扇形周长　 ∴

∴

当且仅当2²＝4，即α＝2时扇形面积最大为．

变式训练4：扇形OAB的面积是1cm²，它的周长是4cm，求中心角的弧度数和弦长AB．

解：设扇形的半径为r，弧长为l，中心角的弧度数为α

则有　　 ∴

由|α|＝得α＝2　 ∴|AB|＝2·sin 1( cm )

12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：

10．三角函数的符号与角所在象限的关系：

9．定义：设P(x, y)是角终边上任意一点，且 |PO| ＝r，则sin＝　　　 ； cos＝　　　 ；tan＝ 　　　；