例1. A、B两站相距900千米，一列慢车从A站开出，速度为每小时55千米。同一时刻一列快车从B站开出，速度为每小时80千米，两车相向而行，经过多少小时两车相距45千米？

　　 分析：题中求“经过多少小时两车相距45千米？”但没有指出是相遇前两车相距45千米，还是相遇后两车相距45千米，因而情况不明，需分类求解。

　　 解：设经过x小时两车相距45千米

　　 (1)当相遇前两车相距45千米时，依题意，得：

　　 解得：

　　 (2)当相遇后两车又相距45千米时，依题意，得：

　　 解得：

　　 答：经过小时或7小时两车相距45千米。

6. 已知：中，AB=AC，D是BC的中点，DE//AC，DF//AB，DE、DF分别交AB、AC于点E、F，求证：四边形AEDF是菱形。

5. 在平行四边形ABCD中，，M、N分别是AD、BC的中点。求证四边形ANCM是菱形。

4. 求证：过矩形各顶点平行于对角线的垂线围成的四边形是菱形。

3. 求证：顺次连结矩形四边中点所构成的四边形是菱形。

2. 求证：顺次连结等腰梯形上、下底的中点和两对角线的中点所构成的四边形是菱形。

1. 求证：顺次连结等腰梯形各边中点所构成的四边形是菱形。

4. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形

　　 例4　 已知：如图4，中，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F。

　 　求证：四边形CDEF是菱形。

　　 证明：连结CE交AD于点O

　　 因为AC=AE

　　 所以为等腰三角形

　　 因为AO平分CAE

　　 所以，且OC=OE

　　 因为EF//CD，

　　 所以1=2

　　 所以OF=OD

　　 于是CE垂直平分DF

　　 所以四边形CDEF是菱形

　　 总结以上，得到下表

　　 练习：

3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

　　 例3　 已知：如图3，梯形ABCD中，AD//BC，对角线，M、N为底边BC的三等分点，且BC=3AD，AM与BD交于点G，AC与DN交于点H。求证：四边形AGHD是菱形。

　　 证明：因为BC=3AD

　　 M、N是BC的三等分点

　　 又1=2

　　 所以四边形AGHD是平行四边形

　　 又，所以四边形AGHD是菱形。

2. 邻边相等的平行四边形一定是菱形

　　 例2　 已知：如图2，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。求证：四边形MENF是菱形。

　　 证明：因为E是BM的中点，N是BC的中点，F是CM的中点