8.解：(1)与7(1)相同.(2)依题意，有，

∴，

－t³+t²－t+=t³－t²+t，2t³－6t²+6t－1=0，

∴2(t－1)³=－1，于是t=1－.

●命题趋向与应试策略

7.解：(1)设f(x)=ax²+bx+c，则f′(x)=2ax+b，又已知f′(x)=2x+2

∴a=1，b=2.

∴f(x)=x²+2x+c

又方程f(x)=0有两个相等实根，

∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.

故f(x)=x²+2x+1.

(2)依题意，有所求面积=.

评述：本题考查导数和积分的基本概念.

6.(1)如图11-2建立直角坐标系，xOy，使AA′在x轴上，

AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴.

设双曲线方程为=1(a＞0，b＞0)，则a=AA′=7.

又设B(11，y₁)，C(9，y₂)，因为点B、C在双曲线上，所以有

　　　　　　 ①

　　　 ②

由题意，知y₂－y₁=20.　　　 ③

由①、②、③，得

y₁=－12，y₂=8.b=7.

故双曲线方程为=1；

(2)由双曲线方程，得x²=y²+49.

设冷却塔的容积为V(m³)，则

.

经计算，得V=4.25×10³(m³).

答：冷却塔的容积为4.25×10³ m³.

评述：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.

5.(Ⅰ)解：求f(x)的导数：f′(x)=－，由此得切线l的方程：

y－()=－(x－x₁).

(Ⅱ)证明：依题意，切线方程中令y=0，

x₂=x₁(1－ax₁)+x₁=x₁(2－ax₁)，其中0＜x₁＜.

(i)由0＜x₁＜，x₂=x₁(2－ax₁)，有x₂＞0，及x₂=－a(x₁－)²+.

∴0＜x₂≤，当且仅当x₁=时，x₂=.

(ii)当x₁＜时，ax₁＜1，因此，x₂=x₁(2－ax₁)＞x₁，且由(i)，x₂＜，

所以x₁＜x₂＜.

4.(Ⅰ)解：求f(x)的导数：f′(x)=3x²，由此得切线l的方程：

y－(x₁³－a)=3x₁²(x－x₁).

(Ⅱ)证明：依题意，切线方程中令y=0，

x₂=x₁－，

(i)≥0，

∴x₂≥a，

当且仅当x₁=a时等号成立.

(ii)若x₁＞a，则x₁³－a＞0，x₂－x₁=－＜0，且由(i)x₂＞a，

所以a＜x₂＜x₁.

3.答案：－

解析：原式=.

2.答案：4

解析：依题意有：=2，∴a=4

1.答案：

解析：由旋转体的体积公式V=π

.

8.(1995上海理，22)设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实根，且

f′(x)=2x+2.

(1)求y=f(x)的表达式；

^※(2)若直线x=－t(0＜t＜1)把y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.

说明：凡标有^※的试题与2002年教学大纲及2003年高考考试说明要求不符，仅供读者自己选用.

●答案解析

7.(1995上海文，22)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根，且

f′(x)=2x+2.

(1)求y=f(x)的表达式；

^※(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.