恒力作用下的匀变速直线运动，凡不涉及加速度和时间的问题，利用动能定理求解一般比用牛顿定律及运动学公式求解要简单的多．用动能定理还能解决一些在中学应用牛顿定律难以解决的变力做功的问题、曲线运动等问题．

[例1]如图所示，质量为m的物体与转台之间的摩擦系数为μ，物体与转轴间距离为R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物体开始在转台上滑动，此时转台已开始匀速转动，这过程中摩擦力对物体做功为多少？

　　 解析：物体开始滑动时，物体与转台间已达到最大静摩擦力，这里认为就是滑动摩擦力μmg．

根据牛顿第二定律μmg=mv²/R……①　　　　　 由动能定理得：W=½mv² ……②

由①②得：W=½μmgR，所以在这一过程摩擦力做功为½μmgR

点评：(1)一些变力做功，不能用 W＝ FScosθ求，应当善于用动能定理．

(2)应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无须深究物体的运动状态过程中变化的细节，只须考虑整个过程的功量及过程始末的动能．若过程包含了几个运动性质不同的分过程．即可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同情况分别对待求出总功．计算时要把各力的功连同符号(正负)一同代入公式．

[例2]一质量为m的物体．从h高处由静止落下，然后陷入泥土中深度为Δh后静止，求阻力做功为多少？

　　 提示：整个过程动能增量为零，　　 则根据动能定理mg(h+Δh)－W_f＝0

　　 所以W_f＝mg(h+Δh)　　 答案：mg(h+Δh)

规律方法　 1、动能定理应用的基本步骤

应用动能定理涉及一个过程，两个状态．所谓一个过程是指做功过程，应明确该过程各外力所做的总功；两个状态是指初末两个状态的动能．

动能定理应用的基本步骤是：

①选取研究对象，明确并分析运动过程．

②分析受力及各力做功的情况，受哪些力？每个力是否做功？在哪段位移过程中做功？正功？负功？做多少功？求出代数和．

③明确过程始末状态的动能E_k1及E_K2

④列方程 W=E_K2一E_k1，必要时注意分析题目的潜在条件，补充方程进行求解．

[例3]总质量为M的列车沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶了L的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，设阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的，当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？

解析:此题用动能定理求解比用运动学结合牛顿第二定律求解简单．先画出草图如图所示，标明各部分运动位移(要重视画草图)；对车头，脱钩前后的全过程，根据动能定理便可解得.

FL－μ(M－m)gS₁=－½(M－m)v₀²

对末节车厢，根据动能定理有一μmgs₂＝－½mv₀²

而ΔS=S₁一S₂

由于原来列车匀速运动，所以F=μMg．

以上方程联立解得ΔS=ML/ (M一m)．

说明:对有关两个或两个以上的有相互作用、有相对运动的物体的动力学问题,应用动能定理求解会很方便．最基本方法是对每个物体分别应用动能定理列方程，再寻找两物体在受力、运动上的联系，列出方程解方程组．

2、应用动能定理的优越性

(1)由于动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制．

(2)一般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往用动能定理求解简捷．可是，有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解．可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维和方法，应该增强用动能定理解题的主动意识．

(3)用动能定理可求变力所做的功．在某些问题中，由于力F的大小、方向的变化，不能直接用W=Fscosα求出变力做功的值，但可由动能定理求解．

[例4]如图所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值F时，转动半径为R，当拉力逐渐减小到F/4时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R，则外力对物体所做的功的大小是:

解析:设当绳的拉力为F时，小球做匀速圆周运动的线速度为v₁，则有F=mv₁²/R……①

当绳的拉力减为F/4时，小球做匀速圆周运动的线速度为v₂,则有F/4=mv₂²/2R……②

在绳的拉力由F减为F/4的过程中，绳的拉力所做的功为W=½mv₂²－½mv₁²=－¼FR

所以，绳的拉力所做的功的大小为FR/4,A选项正确．

说明:用动能定理求变力功是非常有效且普遍适用的方法．

[例5]质量为m的飞机以水平v₀飞离跑道后逐渐上升,若飞机在此过程中水平速度保持不变,同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供,不含重力).今测得当飞机在水平方向的位移为L时,它的上升高度为h,求(1)飞机受到的升力大小?(2)从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能?

解析(1)飞机水平速度不变,L= v₀t,竖直方向的加速度恒定,h=½at²,消去t即得

由牛顿第二定律得:F=mg+ma=

(2)升力做功W=Fh=

在h处,v_t=at=,　　　　

设物体的质量为m，在恒力F作用下，通过位移为S，其速度由v₀变为v_t，

　则：根据牛顿第二定律F=ma……①　　 根据运动学公式2as=v_t²一v₀²……②

由①②得：FS=½mv_t²－½mv₀²

7．对动能定理中的位移与速度必须相对同一参照物．

6．动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的．但它也适用于变为及物体作曲线运动的情况．即动能定理对恒力、变力做功都适用；直线运动与曲线运动也均适用．

5．力的独立作用原理使我们有了牛顿第二定律、动量定理、动量守恒定律的分量表达式．但动能定理是标量式．功和动能都是标量，不能利用矢量法则分解．故动能定理无分量式．在处理一些问题时，可在某一方向应用动能定理．

4．各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不同时，分别求力做功，然后求代数和．

3、动能定理适用单个物体，对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理．由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能(比如内能)的转化．在动能定理中．总功指各外力对物体做功的代数和．这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、电场力等．　　

2．“增量”是末动能减初动能．ΔE_K＞0表示动能增加，ΔE_K＜0表示动能减小．

做功可以改变物体的能量．所有外力对物体做的总功等于物体动能的增量． W₁+W₂+W₃+……＝½mv_t²－½mv₀²

1．反映了物体动能的变化与引起变化的原因--力对物体所做功之间的因果关系．可以理解为外力对物体做功等于物体动能增加，物体克服外力做功等于物体动能的减小．所以正功是加号，负功是减号。

4、实际问题中的功率

[例8]推动节水工程的转动喷水“龙头”。如图所示，龙头距地面h，其喷灌半径可达10h，每分钟喷水质量为m，所用水从地面下H的井中抽取，设水以相同的速率喷出，水泵的效率为η，水泵的功率P至少多大？

解析:水泵对水做功，用来增大水的重力势能和动能．

设水喷出时速度为v，则h=½gt²,10h=vt;解得

每分钟内水泵对水做的功W＝mg(H+h)+½mv²=mg(H+26h)，又W=ηPt,∴

[例9]一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形(圆弧由光滑模板形成，未画出)，经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投上后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动(忽略经BC段时的微小滑动)。己知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N，这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P。

[解析]以地面为参考(下同)，设传送带的运动速度为v₀，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为S，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有：S＝½at²……①

　 v₀＝at………②。在这段时间内，传送带运动的路程为：S₀= v₀t……③，由以上可得S₀＝2S……④。用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为：W₁=fS=½mv₀²……⑤；传送带克服小箱对它的摩擦力做功：W₀=Fs₀=2·½mv₀²……⑥

两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量：Q=½mv₀²……⑦

可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。

T时间内，电动机输出的功为：W=PT……⑧

此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热,即W=½Nmv₀²十Nmgh+NQ……⑨

已知相邻两小箱的距离为L，所以：v₀T＝NL……⑩

联立⑦⑧⑨⑩得。

散　　　　　 　动能　 动能定理

知识简析一、动能

　　 如果一个物体能对外做功，我们就说这个物体具有能量．物体由于运动而具有的能．　 E_k＝½mv²，其大小与参照系的选取有关．动能是描述物体运动状态的物理量．是相对量。