动量守恒是矢量守恒，守恒条件是从力的角度，即不受外力或外力的和为零。机械能守恒是标量守恒，守恒条件是从功的角度，即除重力、弹力做功外其他力不做功。确定动量是否守恒应分析外力的和是否为零，确定系统机械能是否守恒应分析外力和内力做功，看是否只有重力、系统内弹力做功。还应注意，外力的和为零和外力不做功是两个不同的概念。所以，系统机械能守恒时动量不一定守恒；动量守恒时机械能也不一定守恒。

[例4]如图所示装置，木块B与水平面的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短．现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，则此系统在子弹射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中(　　　 )

　　 A．动量守恒、机械能守恒　　　 B．动量不守恒，机械能不守恒

　　 C．动量守恒、机械能不守恒　　 D．动量不守恒、机械能守恒

　　 解析：在力学中，给定一个系统后，这个系统经某一过程兵动量和机械能是否守恒，要看是否满足动量守恒和机械能守恒条件．在这个过程中，只要系统不受外力作用或合外力为零(不管系统内部相互作用力如何)动量必然守恒．但在子弹、木块、弹簧这个系统中，由于弹簧的压缩，墙对弹簧有作用力，所以水平合外力不等于零，系统动量不守恒，若选取子弹，木块为系统，在子弹射入木块过程中，因t很短，弹簧还来不及压缩，或认为内力远大于外力(弹力)，系统动量守恒．在这个过程中，外力　 F、N、 mg不做功．系统内弹力做功，子弹打入木块的过程中，有摩擦力做功，有机械能向内能转化．因此机械能不守恒(若取子弹打入B后，A、B一起压缩弹簧的过程，系统只有弹力做功，机械能守恒)．答案：B

　　 由上述分析可知，判定系统动量，机械能是否守恒的关键是明确守恒条件和确定哪个过程．　　

[例5]两个完全相同的质量均为m的沿块A和B，放在光滑水平面上，滑块A与轻弹簧相连，弹簧另一端固定在墙上，当滑块B以v₀的初速度向滑块A运动时，如图所示，碰A后不再分开，下述正确的是(　　　 )

　 A．弹簧最大弹性势能为½mv₀²　 B．弹簧最大弹性势能为¼mv₀²

　 C．两滑块相碰以及以后一起运动系统机械能守恒　　

D．两滑块相碰以及以后一起运动中，系统动量守恒

解析：两滑决的运动应分两阶段，第一阶段两滑决相碰，由于碰后两滑块一起运动，有部分机械能转化为内能．机械能不守恒，但动量守恒．因此有：　　 mv₀=(m十m)v　　 所以v=½v₀

第二阶段，两滑块一起在弹簧力作用下来回振动，此时只有弹簧力做功，机械能守恒．但在此过程系统外力冲量不为零，系统动量不守恒，因此有：　　 E_P+½(m+m)v₂^/2=½(m+m)v²

　　 所以弹性势能最大为v^/₂＝0时，所以E_P =¼mv．　　 答案：B

　　 首先应特别提醒注意的是，机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飞来的子弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统在克服内部阻力做功，将部分机械能转化为内能，因而机械能的总量在减少．

(1)用做功来判断：分析物体或物体受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒；

(2)用能量转化来判定：若物体系中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系机械能守恒．

(3)对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除非题目的特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能不守恒

说明：1．条件中的重力与弹力做功是指系统内重力弹力做功．对于某个物体系统包括外力和内力，只有重力或弹簧的弹力作功，其他力不做功或者其他力的功的代数和等于零，则该系统的机械能守恒，也就是说重力做功或弹力做功不能引起机械能与其他形式的能的转化，只能使系统内的动能和势能相互转化．如图5－50所示，光滑水平面上，A与L₁、L₂二弹簧相连，B与弹簧L₂相连，外力向左推B使L₁、L₂ 被压缩，当撤去外力后，A、L₂、B这个系统机械能不守恒，因为L_I对A的弹力是这个系统外的弹力，所以A、L₂、B这个系统机械能不守恒．但对L_I、A、L₂、B这个系统机械能就守恒，因为此时L₁对A的弹力做功属系统内部弹力做功．

　2．只有系统内部重力弹力做功，其它力都不做功，这里其它力合外力不为零，只要不做功，机械能仍守恒，即对于物体系统只有动能与势能的相互转化，而无机械能与其他形式转化(如系统无滑动摩擦和介质阻力，无电磁感应过程等等)，则系统的机械能守恒，如图5－51所示光滑水平面上A与弹簧相连，当弹簧被压缩后撤去外力弹开的过程，B相对A没有发生相对滑动，A、B之间有相互作用的力，但对弹簧A、B物体组成的系统机械能守恒．

3．当除了系统内重力弹力以外的力做了功，但做功的代数和为零，但系统的机械能不一定守恒．如图5-52所示，物体m在速度为v₀时受到外力F作用，经时间t速度变为v_t．(v_t＞v₀)撤去外力，由于摩擦力的作用经时间t^/速度大小又为v₀，这一过程中外力做功代数和为零，但是物体m的机械能不守恒。

[例2]对一个系统，下面说法正确的是(　　 )

　　 A．受到合外力为零时，系统机械能守恒

　　 B．系统受到除重力弹力以外的力做功为零时，系统的机械能守恒

　　 C．只有系统内部的重力弹力做功时，系统的机械能守恒

　　 D．除重力弹力以外的力只要对系统作用，则系统的机械能就不守恒

　　 解析：A，系统受到合外力为零时，系统动量守恒，但机械能就不一定守恒，　 　答案：C

[例3]如图所示，在光滑的水平面上放一质量为M＝96．4kg的木箱，用细绳跨过定滑轮O与一质量为m=10kg的重物相连，已知木箱到定滑轮的绳长AO＝8m，OA绳与水平方向成30⁰角，重物距地面高度h=3m，开始时让它们处于静止状态．不计绳的质量及一切摩擦，g取10 m／s²，将重物无初速度释放，当它落地的瞬间木箱的速度多大？

解析：本题中重物m和水箱M动能均来源于重物的重力势能，只是m和M的速率不等．

根据题意，m，M和地球组成的系统机械能守恒，选取水平面为零势能面，有mgh＝½mv+½Mv

从题中可知，O距M之间的距离为　 h^/＝Oasin30⁰＝4 m

当m落地瞬间，OA绳与水平方向夹角为α，则cosα==4/5

　而m的速度v_m等于v_M沿绳的分速度，如图5-55所示，则有　 v_m＝v_Mcosα　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 所以，由式①一③得v_M=m/s　　 答案：m/ s

3．表达形式：E_K1+E_pl=E_k2+E_P2

(1)我们解题时往往选择的是与题目所述条件或所求结果相关的某两个状态或某几个状态建立方程式．此表达式中E_P是相对的．建立方程时必须选择合适的零势能参考面．且每一状态的E_P都应是对同一参考面而言的．

(2)其他表达方式，ΔE_P=一ΔE_K，系统重力势能的增量等于系统动能的减少量．

(3)ΔE_a=一ΔE_b，将系统分为a、b两部分，a部分机械能的增量等于另一部分b的机械能的减少量，

2.机械能守恒的条件

(1)对某一物体，若只有重力(或弹簧弹力)做功，其他力不做功(或其他力做功的代数和为零)，则该物体机械能守恒．

(2)对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统和外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变为其他形式的能，则系统机械能守恒．

1、内容：在只有重力(和弹簧的弹力)做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变．

3、动能和势能(重力势能与弹性势能)统称为机械能．

2．重力做功与重力势能的关系：重力做功等于重力势能的减少量W_G=ΔE_P减=E_P初一E_P末，克服重力做功等于重力势能的增加量W_克=ΔE_P增=E_P末-E_P初

　　 特别应注意：重力做功只能使重力势能与动能相互转化，不能引起物体机械能的变化．

1．由物体间的相互作用和物体间的相对位置决定的能叫做势能．如重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等．

(1)物体由于受到重力作用而具有重力势能，表达式为 E_P=一mgh．式中h是物体到零重力势能面的高度．

(2)重力势能是物体与地球系统共有的．只有在零势能参考面确定之后，物体的重力势能才有确定的值，若物体在零势能参考面上方高 h处其重力势能为 E_P=一mgh，若物体在零势能参考面下方低h处其重力势能为 E_P=一mgh，“一”不表示方向，表示比零势能参考面的势能小，显然零势能参考面选择的不同，同一物体在同一位置的重力势能的多少也就不同，所以重力势能是相对的．通常在不明确指出的情况下，都是以地面为零势面的．但应特别注意的是，当物体的位置改变时，其重力势能的变化量与零势面如何选取无关．在实际问题中我们更会关心的是重力势能的变化量．

[例1]如图所示，桌面高地面高H，小球自离桌面高h处由静止落下，不计空气阻力，则小球触地的瞬间机械能为(设桌面为零势面)(　　　 )

　　 A．mgh； B．mgH；C．mg(H+h)； D．mg(H－h)

解析：这一过程机械能守恒，以桌面为零势面，E_初=mgh，所以着地时也为mgh，有的学生对此接受不了，可以这样想，E_初=mgh ，末为 E_末=½mv²－mgH，而½mv²=mg(H+h)由此两式可得：E_末=mgh　　 答案：A

(3)弹性势能，发生弹性形变的物体而具有的势能．高中阶段不要求具体利用公式计算弹性势能，但往往要根据功能关系利用其他形式能量的变化来求得弹性势能的变化或某位置的弹性势能．

4、 动能定理的综合应用

动能定理和动量定理、动量守恒定律的综合应用是力学问题的难点，也是高考考查的重点，解决这类问题关键是分清哪一过程中动量守恒，哪一过程中应用动能定理、动量定理

[例12]某地强风的风速约为v=20m/s,设空气密度ρ=1.3kg/m³_,如果把通过横截面积=20m²风的动能全部转化为电能,则利用上述已知量计算电功率的公式应为P=_________,大小约为_____W(取一位有效数字)

E_k=子　　　　　　　　　 P=

[例13]两个人要将质量M＝1000 kg的小车沿一小型铁轨推上长L＝5 m,高h＝1 m的斜坡顶端．已知车在任何情况下所受的摩擦阻力恒为车重的0.12倍，两人能发挥的最大推力各为800 N.水平轨道足够长，在不允许使用别的工具的情况下，两人能否将车刚好推到坡顶？如果能应如何办？(要求写出分析和计算过程)(g取10 m/s ²)

解析:小车在轨道上运动时所受摩擦力f

　　 f＝μMg＝0.12×1000×10N=1200 N

　　 两人的最大推力F＝2×800 N＝1600 N

F＞f,人可在水平轨道上推动小车加速运动，但小车在斜坡上时f+Mgsinθ＝1200 N+10000·1/5N＝3200 N＞F=1600 N

　　 可见两人不可能将小车直接由静止沿坡底推至坡顶．

　　 若两人先让小车在水平轨道上加速运动，再冲上斜坡减速运动，小车在水平轨道上运动最小距离为s

　　 (F一f)s十FL一fL一Mgh=0

　 答案:能将车刚好推到坡顶，先在水平面上推20 m，再推上斜坡．

试题展示

　　　　　　 机械能守恒定律

知识简析一、机械能

3、应用动能定理要注意的问题

注意1．由于动能的大小与参照物的选择有关，而动能定理是从牛顿运动定律和运动学规律的基础上推导出来，因此应用动能定理解题时，动能的大小应选取地球或相对地球做匀速直线运动的物体作参照物来确定．

[例6]如图所示质量为1kg的小物块以5m/s的初速度滑上一块原来静止在水平面上的木板，木板质量为4kg，木板与水平面间动摩擦因数是0.02，经过2S以后，木块从木板另一端以1m/s相对于地的速度滑出，g取10m／s，求这一过程中木板的位移．

解析：设木块与木板间摩擦力大小为f₁，木板与地面间摩擦力大小为f₂．

对木块：一f₁t=mv_t一mv₀，得f₁=2 N

对木板：(f_l－f₂)t＝Mv,f₂＝μ(m+ M)g

得v＝0．5m/s　 对木板：(f_l－f₂)s=½Mv²，得 S=0·5 m　　 答案：0．5 m

注意2．用动能定理求变力做功，在某些问题中由于力F的大小的变化或方向变化，所以不能直接由W=Fscosα求出变力做功的值．此时可由其做功的结果--动能的变化来求变为F所做的功．

[例7]质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg,此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为()

　　 A.mgR/4　 　B. mgR/3　　 C. mgR/2　　 D.mgR

解析:小球在圆周运动最低点时,设速度为v₁,则7mg－mg=mv₁₂/R……①

设小球恰能过最高点的速度为v₂,则mg=mv₂²/R……②

设设过半个圆周的过程中小球克服空气阻力所做的功为W,由动能定理得:－mg2R－W=½mv₂²－½mv₁²……③

由以上三式解得W=mgR/2.　 答案：C

　 说明：该题中空气阻力一般是变化的，又不知其大小关系，故只能根据动能定理求功，而应用动能定理时初、末两个状态的动能又要根据圆周运动求得不能直接套用，这往往是该类题目的特点．

注意3．区别动量、动能两个物理概念．动量、动能都是描述物体某一时刻运动状态的状态量，动量是矢量，动能是标量．动量的改变必须经过一个冲量的过程，动能的改变必须经过一个做功的过程．动量是矢量，它的改变包括大小和方向的改变或者其中之一的改变．而动能是标量，它的改变仅是数量的变化．动量的数量与动能的数量可以通过P²=2mE_K联系在一起，对于同一物体来说，动能E_K变化了，动量P必然变化了，但动量变化了动能不一定变化．例如动量仅仅是方向改变了，这样动能就不改变．对于不同的物体，还应考虑质量的多少．

[例8]动量大小相等的两个物体，其质量之比为2：3，则其动能之比为( B )

　　 A．2：3；　 B．3：2；　 C．4：9；　 D．9：4

解析：由E_k=可知，动量大小相等的物体，其动能与它们的质量成反比，因此动能的比应为3：2．

[例9]在水平面上沿一条直线放两个完全相同的小物体A和B，它们相距s，在B右侧距B2s处有一深坑，如图所示，现对A施以瞬间冲量，使物体A沿A、B连线以速度v₀开始向B运动．为使A与B能发生碰撞，且碰撞之后又不会落入右侧深坑中，物体A、B与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件？设A,B碰撞时间很短，A、B碰撞后不再分离．

解析:A与B相碰，则

A和B碰前速度v₁，,

A与B碰后共同速度v₂.mv₁=2mv₂,

AB不落入坑中,　 解得

综上，μ应满足条件

[例10]如图所示，两个完全相同的质量为m的木板A、B置于水平地面上它们的间距s =2.88m．质量为2m 、大小可忽略的物块C置于A板的左端． C与A之间的动摩擦因数为μ₁=0.22， A、B与水平地面的动摩擦因数为μ₂=0.10， 最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力． 开始时， 三个物体处于静止状态．现给C施加一个水平向右，大小为的恒力F， 假定木板A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起．要使C最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少?

[分析]：这题重点是分析运动过程，我们必须看到A、B碰撞前A、C是相对静止的，A、B碰撞后A、B速度相同，且作加速运动，而C的速度比A、B大，作减速运动，最终A、B、C达到相同的速度，此过程中当C恰好从A的左端运动到B的右端的时候，两块木板的总长度最短。

[解答]：设l为A或B板的长度，A、C之间的滑动摩擦力大小为f₁，A与水平面的滑动摩擦力大小为f₂

　 ∵μ₁=0.22。　 μ₂=0.10

∴……①　　 且…②

一开始A和C保持相对静止,在F的作用下向右加速运动.有 …③

A、B两木板的碰撞瞬间，内力的冲量远大于外力的冲量。由动量守恒定律得mv₁=(m+m)v₂ …④

碰撞结束后到三个物体达到共同速度的相互作用过程中，设木板向前移动的位移为s₁.

选三个物体构成的整体为研究对象，外力之和为零，则 …⑤　

设A、B系统与水乎地面之间的滑动摩擦力大小为f₃。对A、B系统，由动能定理

　… ⑥　　 …⑦

对C物体，由动能定理……… ⑧

由以上各式，再代人数据可得l=0.3(m)

注意4．动量定理与动能定理的区别，两个定理分别描述了力对物体作用效应，动量定理描述了为对物体作用的时间积累效应，使物体的动量发生变化，且动量定理是矢量武；而动能定理描述了力对物体作用的空间积累效应，使物体的动能发生变化，动能定理是标量式。所以两个定理分别从不同角度描述了为对物体作用的过程中，使物体状态发生变化规律，在应用两个定理解决物理问题晚要根据题目要求，选择相应的定理求解。

[例11]如图所示，在光滑的水平面内有两个滑块A和B，其质量m_A＝6kg，m_B=3kg，它们之间用一根轻细绳相连．开始时绳子完全松弛，两滑块靠在一起，现用了3N的水平恒力拉A，使A先起动，当绳被瞬间绷直后，再拖动B一起运动，在A块前进了0．75 m时，两滑块共同前进的速度v=2/3m／s，求连接两滑块的绳长．

解析：本题的关键在于“绳子瞬间绷直”时其张力可看成远大于外力F，所以可认为A、B组成的系统动量守恒．此过程相当于完全非弹性碰撞，系统的机械能有损失．

根据题意，设绳长为L，以绳子绷直前的滑块A为对象，由动能定理得FL=½m_Av₁²①

绳绷直的瞬间，可以认为T＞＞F，因此系统的动量守恒，m_Av₁＝(m_A十m_B)v₂②

对于绳绷直后，A、B组成的系统(看成一个整体)的共同运动过程，由动能定理

F(0．75－L)＝½(m_A十m_B )v₁²－½(m_A十m_B)v₂²……③

由式①一③解得L＝0．25m　　 答案：0．25 m