4． 选修4－5：不等式选讲

已知x，y，z均为正数．求证：

证明：因为x，y，z无为正数．所以， ………………………………4分

同理可得，………………………………………………………7分

当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．…………10分

3． 选修4－4：坐标系与参数方程

过点P(－3，0)且倾斜角为30°的直线和曲线相交于A、B两点．求线段AB的长．

解：直线的参数方程为，………………………………………………3分

曲线可以化为．……………………………………………5分

将直线的参数方程代入上式，得．

设A、B对应的参数分别为，∴．…………………………8分

AB＝．…………………………………………………10分

说明：掌握直线，圆，圆锥曲线的参数方程及简单的应用．

2． 选修4－2：矩阵与变换

如图所示， 四边形ABCD和四边形分别是矩形和平行四边

形，其中点的坐标分别为A(－1，2)，B(3，2)，C(3，－2)，

D(－1，－2)，(3，7)，(3，3)．求将四边形ABCD变成

四边形的变换矩阵M．

解：该变换为切变变换，设矩阵M为，…………………3分

则．………………………………………………6分

∴，解得．…………………………………………………………………9分

所以，M为．………………………………………………………………………10分

说明：掌握几种常见的平面变换．

1． 选修4－1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD内接于，，过A点的切线交CB

的延长线于E点．

求证：．

证明：连结AC．…………………………………………………1分

因为EA切于A， 所以∠EAB＝∠ACB．…………3分

因为，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD．

于是∠EAB＝∠ACD．…………………………………5分

又四边形ABCD内接于，所以∠ABE＝∠D．

所以∽．

于是，即．………………9分

所以．…………………………………10分

20．(本小题满分16分)

已知数列中，，且对时，有．

(Ⅰ)设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；

(Ⅱ)记，求数列的前n项和S_n．

(Ⅰ) 证明：由条件，得，

则．……………………………………2分

即，所以，．

所以是首项为2，公比为2的等比数列． …………………………………4分

，所以．

两边同除以，可得．…………………………………………………6分

于是为以首项，－为公差的等差数列．

所以．………………………………………………8分

(Ⅱ)，令，则．

而．

∴． ……………………………………………………………12分

，

∴．………………14分

令T_n＝，　　　　　　　　　　　　　　　 ①

则2T_n＝．　　　 ②

①－②，得T_n＝，T_n＝．

∴．……………………………………………………………16分

评讲建议：

此题主要考查数列的概念、等差数列、等比数列、数列的递推公式、数列的通项求法、数列前n项和的求法，作新数列法，错项相消法，裂项法等知识与方法，同时考查学生的分析问题与解决问题的能力，逻辑推理能力及运算能力．讲评时着重在正确审题，怎样将复杂的问题化成简单的问题，本题主要将一个综合的问题分解成几个常见的简单问题．事实上本题包含了好几个常见的数列题．本题还有一些另外的解法，如第一问的证明还可以直接代．

B．附加题部分

19．(本小题满分16分)

已知函数(a＞0，且a≠1)，其中为常数．如果 是增函数，且存在零点(为的导函数)．

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)(x₁<x₂)是函数y＝g(x)的图象上两点，( 为的导函数)，证明：．

解：(Ⅰ)因为，

所以． …………………………………………3分

因为h(x)在区间上是增函数，

所以在区间上恒成立．

若0<a<1，则lna<0，于是恒成立．

又存在正零点，故△＝(－2lna)²－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0矛盾．

所以a>1．

由恒成立，又存在正零点，故△＝(－2lna)²－4lna＝0，

所以lna＝1，即a＝e． ……………………………………………………………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)，，于是，．…………………………9分

以下证明．　　　 (※)

(※)等价于． ……………………………………………11分

令r(x)＝xlnx₂－xlnx－x₂+x，…………………………………………………………13分

r ′(x)＝lnx₂－lnx，在(0，x₂］上，r′(x)>0，所以r(x)在(0，x₂］上为增函数．

当x₁<x₂时，r(x₁)< r(x₂)＝0，即，

从而得到证明．……………………………………………………………………15分

对于同理可证……………………………………………………………16分

所以．

评讲建议：

此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．第二小题还可以这样证明：

要证明，只要证明>1，令，作函数h(x)＝t－1－lnt，下略．

18．(本小题满分15分)

已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、

C作⊙P，其中圆心P的坐标为(m，n)．

(Ⅰ)当m+n>0时，求椭圆离心率的范围；

(Ⅱ)直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．

解：(Ⅰ)设F、B、C的坐标分别为(－c，0)，(0，b)，(1，0)，则FC、BC的中垂线分别为

，．………………………………………………………………2分

联立方程组，解出……………………………………………………………4分

，即，即(1+b)(b－c)>0，

∴ b>c． ……………………………………………………………………………………6分

从而即有，∴．……………………………………………………7分

又，∴． …………………………………………………………………8分

(Ⅱ)直线AB与⊙P不能相切．…………………………………………………………………9分

由，＝． ………………………………………………10分

如果直线AB与⊙P相切，则·＝－1． ………………………………………12分

解出c＝0或2，与0＜c＜1矛盾，………………………………………………………14分

所以直线AB与⊙P不能相切． …………………………………………………………15分

评讲建议：

此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a，b，c的齐次等式得离心率的范围．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB与⊙P相切，则有AB²＝AF×AC，易由椭圆中a，b，c的关系推出矛盾．

17．(本小题满分15分)

口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：

甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，

否则算乙赢．

(Ⅰ)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；

(Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试说明理由．

解：(I)设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为

(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个．……………………2分

又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25(个)等可能的结果， ……………………4分

所以． ………………………………………………………………………6分

答：编号的和为6的概率为．…………………………………………………………………7分

　　 (Ⅱ)这种游戏规则不公平．……………………………………………………………………9分

设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， ……………………………………………10分

则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：

(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，

(4，2) ，(4，4)，(5，1) ，(5，3)，(5，5)．

所以甲胜的概率P(B)＝，从而乙胜的概率P(C)＝1－＝．…………14分

由于P(B)≠P(C)，所以这种游戏规则不公平． ………………………………15分

评讲建议：

　　 本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．

引申：连续玩此游戏三次，若以D表示甲至少赢一次的事件，E表示乙至少赢两次的事件，试问D与E是否为互斥事件?为什么?(D与E不是互斥事件．因为事件D与E可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意；亦可分别求P(D)、P(E)，由P(D)+ P(E)>1可得两者一互斥．)

16．(本小题满分14分)

直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，

∠BAD＝∠ADC＝90°，．

(Ⅰ)求证：AC⊥平面BB₁C₁C；

(Ⅱ)在A₁B₁上是否存一点P，使得DP与平面BCB₁与

平面ACB₁都平行？证明你的结论．

证明：(Ⅰ) 直棱柱中，BB₁⊥平面ABCD，BB₁⊥AC． ………………2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，，

∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．………………………………5分

又，平面BB₁C₁C， AC⊥平面BB₁C₁C．　 ………………7分

(Ⅱ)存在点P，P为A₁B₁的中点． ……………………………………………………………8分

证明：由P为A₁B₁的中点，有PB₁‖AB，且PB₁＝AB．……………………………………9分

又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB₁，且DC＝ PB₁，

∴DC PB₁为平行四边形，从而CB₁∥DP．……………………………………………11分

又CB₁面ACB₁，DP 面ACB₁，DP‖面ACB₁．………………………………13分

同理，DP‖面BCB₁．……………………………………………………………………14分

评讲建议：

本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的．

变题：

求证：(1)A₁B⊥B₁D；(2)试在棱AB上确定一点E，使A₁E∥平面ACD₁，并说明理由．

15．(本小题满分14分)

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．

　(Ⅰ)求角A；

(Ⅱ)若m，n，试求|mn|的最小值．

解：(Ⅰ)，……………………………………………3分

即，

∴，∴． ………………………………………………5分

∵，∴．………………………………………………………………7分

(Ⅱ)mn ，

|mn|．…………10分

∵，∴，∴．

从而．……………………………………………………………12分

∴当＝1，即时，|mn|取得最小值．……………………13分

所以，|mn|．………………………………………………………………14分

评讲建议：

　　 本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，要求学生涉及三角形中三角恒等变换时，要从化角或化边的角度入手，合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中，要强调多元问题的消元意识，进而转化为函数的最值问题，注意定义域的确定对结论的影响，并指明取最值时变量的取值．