40. (2008全国一22)．

设函数．数列满足，．

(Ⅰ)证明：函数在区间是增函数；

(Ⅱ)证明：；

(Ⅲ)设，整数．证明：．

解析：(Ⅰ)证明：，

故函数在区间(0,1)上是增函数；

(Ⅱ)证明：(用数学归纳法)(i)当n=1时，，，

由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；

(ⅱ)假设当时，成立，即

那么当时，由在区间是增函数，得

.而，则，

，也就是说当时，也成立；

根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数，恒成立.

　(Ⅲ)证明：由．可得

1， 若存在某满足，则由⑵知：

2， 若对任意都有，则_[来源:]

_，即成立.

　 41.(2009全国卷Ⅱ理)

设数列的前项和为 已知

(I)设，证明数列是等比数列　　　

(II)求数列的通项公式。

解：(I)由及，有

由，．．．① 　则当时，有．．．．．②

②－①得

又，是首项，公比为2的等比数列．

(II)由(I)可得，

　　数列是首项为，公差为的等比数列．

　　，

评析：第(I)问思路明确，只需利用已知条件寻找．

第(II)问中由(I)易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以．

总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列(全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法)，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

39.(2009四川卷文)(本小题满分14分)

设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　

(I)求数列与数列的通项公式；

(II)设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；

(III)记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

[解析](I)当时，　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

又

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴，　

(II)不存在正整数，使得成立。

证明：由(I)知　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴当n为偶数时，设　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴

当n为奇数时，设

∴

∴对于一切的正整数n，都有　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　

∴不存在正整数，使得成立。　　

(III)由得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　

又，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当时，，

当时，

　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………………14分

38.(2009湖北卷理)(本小题满分13分)(注意：在试题卷上作答无效)

已知数列的前n项和(n为正整数)。

(Ⅰ)令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(Ⅱ)令，试比较与的大小，并予以证明。

解析：(I)在中，令n=1，可得，即

当时，，

.

　 .　　　　　　　　　　

　又数列是首项和公差均为1的等差数列.

　于是.

(II)由(I)得，所以

由①-②得　　　　　　　　　

_[来源:]

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由　　　　　　　　　

可猜想当证明如下：

证法1：(1)当n=3时，由上验算显示成立。

(2)假设时

所以当时猜想也成立

综合(1)(2)可知 ，对一切的正整数，都有

证法2：当时

综上所述，当，当时

37.(2009辽宁卷理)等差数列的前项和为，且则 　　　　　　　　

解析：∵S_n＝na₁+n(n－1)d　

　　　　 ∴S₅＝5a₁+10d,S₃＝3a₁+3d

　　　　 ∴6S₅－5S₃＝30a₁+60d－(15a₁+15d)＝15a₁+45d＝15(a₁+3d)＝15a₄

[答案]

36.(2009全国卷Ⅱ理)设等差数列的前项和为，若则　　 9　　　 .　　　　　　

解析：为等差数列，

35.(2009湖北卷理)已知数列满足：(m为正整数)，若，则m所有可能的取值为__________。　

[答案]4　 5　 32

解析：(1)若为偶数，则为偶, 故

①当仍为偶数时，　 故

②当为奇数时， 　

故得m=4。

(2)若为奇数，则为偶数，故必为偶数

，所以=1可得m=5

34.(2009全国卷Ⅱ文)设等比数列{}的前n项和为。若，则=　　

答案：3

解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由得q³=3故a₄=a₁q³=3。

33.(2009山东卷文)在等差数列中,,则.

解析：:设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以.　　　

答案:13.

[命题立意]:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.

32.(2009江苏卷)设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则=　　　　 .

解析： 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。　　

有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -9

31.(2009北京理)已知数列满足：则________；=_________.

[答案]1，0

解析：本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.

依题意，得，.　　

　　　 ∴应填1，0.