3. 注重课程的整合化

课程的整合化是当今世界各主要国家课程发展的又一趋势。它要求每一阶段的学校(小学初中、高中)或每一年级的教育课程一贯性的纵的配合，避免不必要的重复或衔接上的不良，也要求同一阶段同年级各科课程内容的横的联系，使课程的架构周延完整，对内容难易多寡相称合理，对学生的整体学习能提供更有效的帮助；同时，随着文理科相互渗透日益深入，边缘学科的产生和发展，也强调自然科学与人文社会科学的整合，注重通才教育，使学生具备文理科知识学习的基本能力；此外，正式课程与非正式课程，学科课程与活动课程，显性课程与隐性课程(或潜在课程)也在整合之列，提倡两者要相互兼顾，不能偏废。因为正式课程或显性课程虽是可预期的计划性学习，但是，若能兼顾没有预期而却能产生深远影响的隐性课程或潜在课程的学习，则教育效果将会更好。

2. 力求课程的生活化

课程内容应结合学生实际生活的需要，这是近年来课程发展的另一主调。随着社会的变迁，信息爆炸及知识技术的迅速推陈出新，传统的靠背诵知识为主的教育模式已经落后，为了适应快速的变迁，人们在学校除了学得基本知识外，更需要有学以致用，将知识转化为解决各种生活挑战及工作所需的能力。正如英国哲学家怀德海认为的教育中的任务不是把死知识或"无活力的知识"灌输到儿童的脑子中去，而是使知识保持活力和防止知识的僵化，使儿童通过树木而见森林。譬如，面对浩瀚的信息海洋，重要的不再是知道多少信息，而是能否收集、分析、研判、整合和运用信息的能力；不再是有多少数学、科学的知识，而是能否运用这些知识未解决实际生活和工作中所面临的困难，课程的生活化正是这一发展潮流的产物。它主张课程的发展应着重考虑提高学生对周边社会及生活环境的认识，增强适应环境的能力，认为教育活动应重视生计教育、环境教育、劳动教育、信息教育……等一些实用取向的知识，做到学以致用，而不应只是单一形式的训练或机械记忆，课程内容也不应只是死记硬背一些杂乱无章的对实际生活毫无助益的零碎知识。所以，强调学习内容应着重培养学生日常生活中所必须具备的基本能力和正确的生活态度，成为课程生活化之要旨。

21世纪的世界，是一个高度科技化、国际化、民主化与多元化的脑力密集时代，是科技发展一日千里、国际间关系更加密切的发展时代；是一个变动急剧，充满竞争与挑战，也充满机遇与希望的社会。因此，在未来社会中，世界各国只有让自己的人民能够大量而快速地吸收日新月异的新知识，才能适应新时代的需要。

新世纪，教育必须培养更具创造力和锲而不舍、追根究底的人才，才能解决新世纪社会发展所带来的各种问题，在面对新时代更多元的世界文化，也需要一种具有团队精神、愿意与他人合作、肯随时随地学习新知识和不断充实自我的人；他必须懂得和他人相处，他要独立自主而不随波逐流，他能察省自身的长处与不足而加以发扬和克服；他会欣赏美的事物而有健康的身心；他还具备创造思维、批判反省以适应变迁的能力。因而他是一个能自律、自强而乐于进取的社会新人。这就是未来社会的科技化、国际化、民主化与多元化潮流下要求教育培养人才的规格。

显然，以目前的教育现状是不能满足这种要求的，教育必须改革，这已成为世界各国无可争议的共识。而教育改革又当以课程改革为要，因为，课程安排设计是否恰当，能否随着社会变迁和时代发展之需要，提供学生最适切合理的学习内容，将关系到学生学习的结果，也影响到教育活动实施的成败，因此，课程改革已成为当今世界各国教育改革的主要问题之一。

当前，世界主要教育先进国家，如美国、英国、法国、德国、日本等，都积极推动课程改革，而综观各国课程发展，虽然其教育目标不尽一致，但强调通过课程的实施来培养未来社会合格公民的作法则相同。大体说来，各国课程改革发展的趋势主要是：

1. 强调课程的人性化

课程的人性化是在批评和总结了六十年代以来的教育发展中，因过分重视课程的现代化与结构化，而导致教育流于主智主义和科学主义，忽略了情意教育和审美教育，不利于培养健全个性公民的经验教训而产生的一种课程改革思潮，这是近年来世界各国课程发展的共同趋势之一。它强调课程改革的实施，应精减课程、减少教学时数、改变教学型态等，以有效协助学生"实现自我"为目标。同时讲究课程的乐趣化，引起学生强烈的学习动机，进而达到有效学习的目的。

实践表明：课程呈现方式并非一定要刻板、单一、乏味，才能收到好的效果，事实上，课程的呈现若能做到生动活泼而有趣，让学生有"寓教于乐"的感觉而乐于学习，更有利于学习的顺利进行。否则，尽管课程编订有实用价值，但过于生涩艰深，则不易引起学习动机，难达到课程的预期目标。如日本、韩国等国均以"快乐的学校"、"欢欣的教室"、"宽裕的课程"为其教育改革的前提。美国所提倡的所谓"个别处方学习"，则是强调依据学生个别的起点差异，设计不同的课程教学内容，让学生按自己的实际进行个别化的学习，之后，通过对学生进行个别诊断，再根据实际情况实施补救性质的教学活动，这种形式反复进行，最终达成学生有效学习的目标。

可见，重视学生个体需要的满足，提倡人文化的陶冶，处处设身处地为学生着想，让学生在最合理的环境下学习，是当今各国强调课程人性化的具体表现。

例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是(　 ) (第十二届希望杯高二 第二试题)

(A)是偶函数，也是周期函数　　　　 (B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数　　　　 (D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A)　　　　　　　　

例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g^-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=( )。

(A)　　 1999； (B)2000； (C)2001； (D)2002。

解：∵y = f(x－1)和y = g^-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，

∴y = g^-1(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g^-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001

故f(4) = 2001,应选(C)

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，

f (x) = －x，则f (8.6 ) = _________　 (第八届希望杯高二 第一试题)

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

例4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是(　 )(92全国高考理)　 (A) x = －　　　　　　　 (B) x = －　　　 (C) x = 　　　　　 (D) x =

解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + 　= k+

∴x = －,显然取k = 1时的对称轴方程是x = －　 故选(A)

例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，

f (x) = x，则f (7.5 ) = (　 )

　 (A)　 0.5　　 　　　 (B)　 －0.5　　　 　　　 (C) 1.5　 　　　 　　　 (D) －1.5

解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点(0，0)是其对称中心；

　 又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。

　 ∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)

注：①上表中k∈Z

②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册(下)及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案(修订版)中都认为y = tan x的所有对称中心坐标是( kπ, 0 )，这明显是错的。

定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

　　 设点P(x₀ ,y₀)是y = f (x)图像上任一点，则y₀ = f (x₀)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P^‘(x₁， y₁)，则x₁ = a + y₀ , y₁ = x₀－a ，∴x₀ = a + y₁ , y₀= x₁－a 代入y₀ = f (x₀)之中得x₁－a = f (a + y₁) ∴点P^‘(x₁， y₁)在函数x－a = f (y + a)的图像上。

同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是

　 　　　　f (x) + f (2a－x) = 2b

证明：(必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P^‘(2a－x，2b－y)也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)

即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

(充分性)设点P(x₀,y₀)是y = f (x)图像上任一点，则y₀ = f (x₀)

∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x₀) + f (2a－x₀) =2b，即2b－y₀ = f (2a－x₀) 。

　故点P^‘(2a－x₀，2b－y₀)也在y = f (x) 图像上，而点P与点P^‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0

定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

　 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 　(证明留给读者)

推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)

定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b)，则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

　 　　　　　　　　 　②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a≠b)，则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b)，则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………(*)

又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，

∴ f (2b－x) = f (x)代入(*)得：

f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………(**)，用2(a－b)－x代x得

f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入(**)得：

f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

　有人说，高三年级是关键的一年，弄不好会搞砸的，别前功尽弃了；现在已进入高三年级，高三年级虽不同高一、高二年级有那么多新课程，但我们已作好了继续实验的准备，相应编好了高三教学用的数学专题讲座。只要实验对我们有利，对教学有利，受广大师生的欢迎，我们就把它坚持下去，毛主席说过: 世上无难事，只怕有心人。对问题系统引导教学法实验，我校领导和教师大力支持，只要我们有恒心，有信心，我们的实验就会成功的。