(一)综合例题赏析

例11　 设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是(　　 )

A.经过直线a有且只有一个平面平行于直线b

B.经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b

C.存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面

D.存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面

解：B是假命题，因为对于异面直线a、b，有时不存在过直线a且垂直于直线b的平面.

如图，直线a是圆柱体的轴线，M、N分别为上下底圆周上的点且MN∥a，令b为直线MN，则a，b为异面直线.

过直线a的平面以直线a为轴旋转，它们均与b不垂直.

例12　 已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有(　　 )

A.1条　　 B.2条　　 C.3条　　 D.4条

解：如图过点作PA∥a，PB∥b，则∠APB的异面直线a、b所成的平面角，由已知∠APB＝50°.

作∠APB的平分线PO，任取O∈PO，作CO⊥平面APB，令CB⊥PA于A，CB⊥PB于B，则由三垂线

定理知，OA⊥PA于A，OB⊥PB于B.

考虑C点沿平面APB的垂线OC自O点出发向上移动，易知∠CPB∈(25°，90°)，

∴存在唯一点C使∠CPB＝∠CPA＝30°.

同理在垂线CO的下方还存在对称点C′，使∠C′PA＝∠C′PB.

∴符合题设的直线有且只有两条.应选B.

例13　 如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线BC₁与直线AC(　　 )

A.相交且垂直

B.相交但不垂直

C.异面且垂直

D.异面但不垂直

解：直线BC₁和AC异面不垂直.

∵BC₁∥AD₁，

∴∠CAD₁为异面直线AC，BC₁所成的角.

在△CAD₁中，CA＝AD₁＝D₁C.

∴∠CAD₁＝60°

即AC和BD₁成60°角.

应选D.

例14　 设a、b是异面直线，那么(　　 )

A.必然存在唯一的一个平面同时平行于直线a和b

B.必然存在唯一的一个平面同时垂直于直线a和b

C.过直线a存在唯一的一个平面平行于直线b

D.过直线a存在唯一的一个平面垂直于直线b

解：A不正确.因为垂直于异面直线a、b公垂线的任何一个平面都与a、b平行.

B不正确.若a⊥α，且b⊥α，则a∥b，此与a、b异面矛盾.

C正确.

D不正确.有时过直线a的所有平面都与直线b不垂直.

∴应选C.

(十)直线与平面的综合问题

例10　 如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC是直角三角形，∠C＝90°，侧棱与底面成60°的角，点B₁在底面的射影D为BC的中点，且BC＝2，

(1)　 求证平面AB₁D⊥平面ABC.

(2)求证AC⊥平面BB₁C₁C.

(3)求证异面直线AB₁与BC₁垂直.

(4)如果二面角A-BB₁-C的度数为30°，求四棱锥A-BB₁C₁C的体积.

解：(1)证明∵B₁在底面上的射影为D

∴B₁D⊥底面ABC，

又∵B₁DAB₁D，

∴平面AB₁D⊥平面ABC.

(2)证明：由已知BC⊥AC，B₁D⊥面ABC.

由三垂线定理：AC⊥B₁C，AC面ABC，故B₁D⊥AC，而B₁C∩B₁D＝B₁

∴AC⊥平面B₁BCC₁.

(3)证明：∵BD＝CD＝BC＝1，

∵侧棱与底面所成角为60°，B₁D⊥底面ABC.

∴∠B₁BD是侧棱与底面所成的角，∠B₁BD＝60°.

∴四边形BB₁C₁C是菱形，BC₁⊥B₁C

∵B₁C平面BB₁C₁C，AC⊥平面BB₁C₁C

∴AC⊥B₁C

又B₁C⊥BC₁，B₁C是AB₁在平面BB₁C₁C的射影，

由三垂线定理：AB₁⊥BC₁.

(4)作CE⊥BB₁于E，连结AE.如图1-25.

∵AC⊥面BB₁C₁C，

∴AC⊥CE，AC⊥BB₁

∴AE⊥BB₁(三垂线定理).

∴∠AEC为二面角A-BB₁-C的平面角，∠AEC＝30°，

在Rt△BCE中，EC＝BC·sin60°＝2×＝，

在Rt△ACE中，AC＝CE·tg30°＝×＝1，

∴V＝S·AC

＝BB₁·BC·sin60°·AC=.

(九)点到直线、点到平面、直线与平面、平面与平面间的距离的定义及计算

例9　 已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝a，AC=b，沿高AD折成直二面角(如图).(1)判断此时△ABC的形状；(2)求D到平面ABC的距离.

解：(1)DH⊥平面ABC，因DA、DB、DC两两互相垂直，故H为△ABC的垂心(证明略)，AE⊥BC，由cosθ=cosθ₁cosθ₂，得cos∠ABE=cos∠ABD·cos∠DBC.

∵∠ABD和∠DBC分别为Rt△BDC的锐角，

故0＜cos∠ABD，cos∠DBC＜1，

∴0＜cos∠ABE＜1，即∠ABC为锐角，

同理可证∠ABC、∠CAB均为锐角，∴△ABC为锐角三角形.

(2)解法一：设D到平面ABC的距离为x.∵V_D-ABC＝V_A-BDC得xS_ABC＝AD·S_△BDC，

解出x＝.

解法二：作AE⊥BC，AD⊥平面DBC，故DO⊥BC.BC⊥平面ADE，平面ADE⊥平面ABC，作DH⊥AE，则AE是D到平面ABC的距离(以点线距离代替点面距离).在Rt△ADE中，DH是斜边AE上的高，解出

DH＝.

(八)二面角

例8　 如图，梯形ABCD中，BA⊥AD，CD⊥AD，AB=2，CD=4，P为平面ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，△PBC是边长为10的正三角形，求平面PAD与面PBC所成的角.

解法一：如图，延长DA、CB交于E，＝＝，∴AB是△ECD的中位线，CB＝BE＝10.又△PCB为正△，易证△PCE为直角三角形，PE⊥PC.又平面PDA⊥平面ABCD，且CD⊥交线DA，∴CD⊥平面PDE.PE是PC在平面PDE内的射影，∴PE⊥PD(三垂线定理的逆定理).故∠CPD是D-PE-C的平面角.在Rt△CDP中，sin∠DPC＝＝，故二面角大小为arcsin.

解法二：利用Scosθ＝S′.如右图，

平面PAD⊥平面ABCD

CD⊥AD，BA⊥AD

BA⊥平面PAD

CD⊥平面PAD

△PAD是△PBC在平面PDA内的射影.设面PDA与面PCB所成的二面角为θ，则S_△PDA＝S_△PCB·cosθ.Rt△PAB中，PA＝4＝AD；Rt△PDC中，PD＝2.

∴△PAD为等腰三角形且S_△PAD＝PD·AH＝15.

cosθ＝＝＝，

θ＝arccos＝.

(七)平面与平面平行，平面与平面垂直

例7　 如图，在△ABC中，AD⊥BC，E为AD上的三等分点，AE＝ED，过E的直线MN∥BC，交AB、AC于M、N，将

△AMN折起到与平面MBCN成60°，求证：平面A′MN⊥平面A′BC.

证明：∵AD⊥BC，BC∥MN

∴A′E和ED都垂直于MN，

∴∠A′ED是二面角A′MN-MN-MBCN的平面角，　 ∴∠A′ED＝60°，A′E＝AE＝ED＝ED·cos60°.

∴△A′ED是直角三角形，且A′E⊥A′D.

又∵A′E⊥MN，MN∥BC，

∴A′E⊥BC，而BC∩A′D＝D.

∴A′E⊥平面A′BC，

∵A′E面A′MN，

∴平面A′MN⊥平面A′BC.

(六)异面直线所成的角、直线与平面所成的角

例6　 把两个三角板ABC与ABD摆成如图所示的直二面角D-AB-C，求异面直线DC与AB所成的角.

解：过C作CE∥AB，过D作DF⊥CE，垂足为F，连结AF，则∠DCF为异面直线DC与AB所成的角，设AC＝BC＝1，则AB＝，AD＝AB·tg30°＝，由三垂线定理的逆定理可证AF⊥CF，得等腰直角△ACF，则AF＝AC＝＝CF.在Rt△DAF中，DF＝，在Rt△DCF中，tg∠DCF＝＝.∴异面直线AB与DC所成的角为arctg.

(五)三垂线定理及逆定理

例5　 已知：如图，S为正方形ABCD所在平面外一点，SA⊥平面ABCD，过A作截面AEKH⊥SC.

求证：AE⊥SB，AH⊥SD，AK⊥HE.

证明：

SA⊥平面ABCD

BC⊥AB

BC⊥SB(三垂线定理)

BC⊥SA

BC⊥平面SABBC⊥AE

又SC⊥平面AEKHSC⊥AE

AE⊥平面SBCAE⊥SB.

同理可证AH⊥平面SDC，故AH⊥SD.又∵ABCD为正方形，∴Rt△SAD≌Rt△SAB.故SD＝SB，SH＝SE.

∴HE∥DB.SA⊥DB，则SA⊥HE，SK⊥平面AEKH，AK是SA在截面上的射影，故HE⊥AK(三垂线定理的逆定理).

(四)直线平面垂直的判定与性质定理

例4　 已知如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若平面PDC与平面ABCD成45°角，求证：MN⊥平面PDC.

证明：取PD中点E，连接EN、EA.

∵N是PC中点.

∴EN ∥ CD，CD＝AB，

故ENMA是平行四边形，MN∥AE.

∵PA⊥面ABCD.

∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A

∴AB⊥面PAD.

∵AE面PAD，PD面PAD，

∴AB⊥AE，AB⊥PD，MN⊥AB，从而MN⊥CD.

∵CD⊥AD，CD⊥PD.

∴∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.

∴△PAD是等腰直角三角形，从而AE⊥PD，

故MN⊥PD，PD∩CD＝D.

∴MN⊥平面PDC.

(三)直线与平面平行的判定与性质定理

例3　 直角△ABC的一条边AB∩α＝A，另一边BC不在平面α内，若∠ABC在α上的射影仍是直角，求证BC∥α.

证明：如图，过B、C分别作α的垂线，垂足分别为B′、C′，则∠AB′C′是∠ABC在α上的射影.

∴∠AB′C′＝90°

又∵BB′⊥α，AB′α，B′C′α，

∴AB′⊥BB′，C′B′⊥BB′.

∵B′A∩BB′＝B′，

∴C′B′⊥平面AB′B.

∵B′C′∩B′B＝B′，

∴AB′⊥平面BB′C′C.

∵BC面BB′C′C，

∴BC⊥AB′.

∵∠ABC＝90°，AB∩AB′＝A，

∴BC⊥平面ABB′.

∴BC∥B′C′.

∴BC∥α.

(二)异面直线，两直线的位置关系，证明两直线异面、平行的一般方法

例2　 求证：过两条平行线中的一条直线的平面，与另一条直线平行或经过另一条直线.

已知：如图，a∥b,bα.

求证：a∥α或aα

证明：假设a∩α＝A.

∵a∥b，A∈α，

∴Ab

又∵a∩α＝A，则a上至少有一点Bα.

∴a、b是异面直线.

这和a∥b矛盾，故假设a∩α＝A不成立.

即a∥α或aα.