(七)坐标轴的平移，利用坐标的平移化简圆锥曲线方程

说明　 坐标轴的平移变换是化简曲线方程的一种重要方法.掌握平移坐标轴的 关键在于正确理解新旧坐标系之间的关系.同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标，同一 条曲线在不同的坐标中有不同的方程.

例7　 方程x²+4y²+6x-8y+1=0的对称中心是(　　 )

A.(-3，-1)　　　　　　 B.(-3，1)　　　　　　 C.(3，-1)　　　　　　　 D.(3，1)

解：　 将原方程配方后化为+=1，∴ 对称中心是(-3，1).故选B.

例8　 求椭圆9x²+4y²-36x+8y+4=0的焦点坐标、长轴与短轴的长、离心率 及准线方程.

解：　 将原方程配方后化成

+=1.

　　 x′=x-2

令　　　　　　　 得到新方程为+=1.

　　 y′=y+3

∴a=3,b=2,c==.

即长轴长2a=6，短轴长2b=4，离心率e＝＝.在新坐标系中，焦点为(0，)，(0，-)，

准线为y′＝±＝±

　　　　　　 x=x′+2

由平移公式　　　　　　 ，得在原坐标系中

　　　　　　 y=y′-3

焦点为：(2，-3)、(2，--3)，

准线为：y=±-3.

(六)抛物线及其标准方程，焦点、准线、抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，抛物线的画法

说明　 这部分内容要注意与初中讲的抛物线y=ax²+bx+c(c≠0)的关系，以及抛物线与双曲线一支的区别，y=ax²+bx+c的对称轴平行于y轴(或就是y轴)，双曲线有渐近线，抛物线无渐近线.

例6　 圆心在抛物线y²=2x上，且与x轴相切的一个圆的方程是(　　 )

A.x²+y²-x-2y-=0　　　　 B.x²+y²+x-2y+1=0　　　　 C.x²+y²-x-2y+1=0　　　　 D.x²+y²-x-2y+=0

解：　 经过配方将四个选项中圆的一般方程化为标准方程.

①(x-)²+(y-1)²=②(x+)²+(y-1)²=

③(x-)²+(y-1)²=④(x-)²+(y-1)²=1

由已知条件，②的圆心不在抛物线y²=2x上.而圆要与x轴相切，则圆心的纵坐标的绝对值 要等于半径.故只有④适合.选D.

(五)双曲线及其标准方程，焦点、焦距，双曲线的几何性质：范围、对称 性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率、准线，双曲线的画法，等边双曲线

说明　 根据已知条件会求双曲线的标准方程，以及双曲线的有关元素.这里 与椭圆不同的是实轴、虚轴和渐近线.

例5　 已知双曲线-＝1(＜θ＜π)过点

A(4，4).

(1)求实轴、虚轴的长；

(2)求离心率；

(3)求顶点坐标；

(4)求点A的焦半径.

解：　 因为双曲线过点A(4，4)，所以

- ＝1，tg²+tgθ-2＝0 ，tgθ＝-2，(tgθ=1舍去，因为＜θ＜π＝

∴双曲线方程为-+＝1.

从而a=2,b=4,c=2.

(1)实轴长2a=4 ，虚轴长2b＝8.

(2)离心率e＝＝.

(3)顶点为(0，2)，(0，-2).

(4)焦点F₁(0，-2)，F₂(0，2).

｜AF₁｜＝

＝2(+1)，

｜AF₂｜＝

＝2(-1).

(四)椭圆及其标准方程，焦点、焦距，椭圆的几何性质：范围、对称性、顶 点、长袖、短轴、离心率、准线，椭圆的画法

说明　 天体的运行轨道基本都是椭圆，所以掌握椭圆的基本概念是很有必要 的.考试说明中明确要求，要会求椭圆的标准方程和椭圆的有关元素.

例4　 P是椭圆+＝1上 的点，F₁、F₂为其焦点，若∠F₁PF₂＝90°.求ΔPF₁F₂的面积.

解：∵S＝｜PF₁｜·｜PF₂｜，而｜PF₂ ｜+｜PF₂｜＝10，

｜PF₁｜²+｜PF₂｜²=｜F1F₂｜²=36，联合求解得：

PF₁·PF₂＝＝32，

∴S＝16.

(三)圆的标准方程和一般方程

说明　 求圆的方程主要是求出其圆心与半径.还要掌握一般方程与标准方程 的互化，以及圆与其他曲线之间的关系，特别是圆与直线之间的关系.

例3　 圆A：(x+1)²+(y+1)²=1，

圆B：(x-1)²+(y-1)²=4，则有两圆的公切线有(　　 )

A.1条　　　 　　　　　　 B.2条　　 　　　　　 C.3条　　　 　　　　 D.4条

解： 要判断两圆公切线的条数，只需要判断出此两圆的位置关系，而不必求出其切线方程 . ∵A圆圆心是C₁(-1,-1)，B圆圆心是C₂(1，1)，∴｜C₁C₂｜＝2，r₁＝1，r₂＝2.

r₁+r₂＞｜C₁C₂｜即圆A与圆B相离，则此两圆有4条公切线.故选D.

(二)充要条件

说明　 充分条件、必要条件、充要条件是高考考查的重要内容.要掌握好这 几种条件，关键在于要对命题之间的关系很清楚.

例2　 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　 )

A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件　　　 B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C.丙是甲的充要条件，　　 　　　　　　　　　　 D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

解：　 由已知乙甲，丙乙，所以丙甲，即丙 是甲的充分条件，故选A.

(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点

说明　 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.

例1　 如果实数x、y满足等式(x-2)²+y²＝3，求y/x的最大值.

解：　 此题有多种解法，但用待定参数，转化为求曲线的交点问题可使解题过程更为简捷.

设＝k，则y=kx.要使k的值最大，只须直线y＝kx在第一象限与圆相切 ，而圆心(2，0)到直线y=kx的距离为.

＝，解得k＝(-舍去).

5.坐标变换

坐标变换　 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.

坐标轴的平移　 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.

坐标轴的平移公式　 设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则

　 　　x=x′+h　　　　　　　　 x′=x-h

(1)　　　　　　　　　 或(2)

　　　 y=y′+k　　　　　　　　 y′=y-k

公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.

中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程

中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.

方　　 程	焦　 点	焦　 线	对称轴
椭圆	+=1	(±c+h,k)	x=±+h	x=h y=k
+ =1	(h,±c+k)	y=±+k	x=h y=k
双曲线	-=1	(±c+h,k)	=±+k	x=h y=k
-=1	(h,±c+h)	y=±+k	x=h y=k
抛物线	(y-k)2=2p(x-h)	(+h,k)	x=-+h	y=k
(y-k)2=-2p(x-h)	(-+h,k)	x=+h	y=k
(x-h)2=2p(y-k)	(h, +k)	y=-+k	x=h
(x-h)2=-2p(y-k)	(h,- +k)	y=+k	x=h

4.圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.

当0＜e＜1时，轨迹为椭圆

当e=1时，轨迹为抛物线

当e＞1时，轨迹为双曲线

3.椭圆、双曲线和抛物线

椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.

	椭　 圆	双曲线	抛物线
轨迹条件	点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a＝	点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}.	点集{M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}.
圆　 形
标准方程	+=1(a＞b＞0)	-=1(a＞0,b＞0)	y2=2px(p＞0)
顶　 点	A1(-a,0),A2(a,0); B1(0,-b),B2(0,b)	A1(0,-a),A2(0,a)	O(0,0)
轴	对称轴x=0,y=0 长轴长：2a 短轴长：2b	对称轴x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b	对称轴y=
焦　 点	F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在长轴上	F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在实轴上	F(，0) 焦点对称轴上
焦　 距	｜F1F2｜=2c， c=	｜F1F2｜=2c, c=
准　 线	x=± 准线垂直于长轴，且在椭圆外.	x=± 准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.	x=- 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.
离心率	e=,0＜e＜1	e=,e＞1	e=1