3. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是(　　 )　

A. 　　　B. 　　 C. 　　D. 都不对

2. 棱长都是的三棱锥的表面积为(　　 )

A. 　　　B. 　　C. 　　　D.

1. 有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个(　　 )

A. 棱台　　　　 B. 棱锥　　　　　 C. 棱柱　　　　 D. 都不对

4. 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。

[模拟试题](答题时间：60分钟)

3. 三视图画法规则

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐

长对正：主视图与俯视图的长应对正

宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

2. 一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质

名称	棱柱	直棱柱	正棱柱
图　 形
定　 义	有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体	侧棱垂直于底面的棱柱	底面是正多边形的直棱柱
侧棱	平行且相等	平行且相等	平行且相等
侧面的形状	平行四边形	矩形	全等的矩形
对角面的形状	平行四边形	矩形	矩形
平行于底面的截面的形状	与底面全等的多边形	与底面全等的多边形	与底面全等的正多边形

名称	棱锥	正棱锥	棱台	正棱台
图形
定义	有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体	底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心	用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分	由正棱锥截得的棱台
侧棱	相交于一点但不一定相等	相交于一点且相等	延长线交于一点	相等且延长线交于一点
侧面的形状	三角形	全等的等腰三角形	梯形	全等的等腰梯形
对角面的形状	三角形	等腰三角形	梯形	等腰梯形
平行于底的截面形状	与底面相似的多边形	与底面相似的正多边形	与底面相似的多边形	与底面相似的正多边形
其他性质		高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等		两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等

几种特殊四棱柱的特殊性质

1. 几种常凸多面体间的关系

3. 空间几何体的直观图

(1)斜二测画法

①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；

②画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的O’X’,O’Y’，使 ＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X’轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y’轴，且长度变为原来的一半；

④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线(虚线)。

可简记为：“横不变，竖减半，平行性不变”

(2)平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。

[典型例题]

例1. (1)(06北京理4)平面的斜线 AB 交于点 B，过定点 A 的动直线与 AB 垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是(　　 )

A. 一条直线　　　 B. 一个圆　　　 C. 一个椭圆　　　 D. 双曲线的一支

(2)(04天津文 8)如图，定点A和B都在平面内，定点C是内异于A和B的动点，且那么，动点在平面内的轨迹是(　　 )

A. 一条线段，但要去掉两个点　　 B. 一个圆，但要去掉两个点

C. 一个椭圆，但要去掉两个点　　 D. 半圆，但要去掉两个点

(3)正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A₁D₁的距离为，则点P的轨迹是(　　 )

A. 圆　　　　　　 　 　 B. 双曲线　　　　　　 　 　 C. 两个点　　　 　　　 　　 D. 直线

解：(1)设与是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点与垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面的交线上，故选A。

(2)B。

(3)点P到A₁D₁的距离为，则点P到AD的距离为1，满足此条件的P的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行直线，

又，满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点。

故点P的轨迹是两个点。选项为C。

点评：该题考查空间内平面轨迹的形成过程，考查了空间想象能力。

例2. (06江苏9)两相同的正四棱锥组成如图甲所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有(　 　)

A. 1个　　　B. 2个　　　　　 C. 3个　　　D. 无穷多个

解：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。

点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。

例3. (2002北京理，10)设命题甲：“直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，平面ACB₁与对角面BB₁D₁D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁是正方体”。那么，甲是乙的(　　 )

A. 充分必要条件　

B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件　

D. 既非充分又非必要条件

解：若命题甲成立，命题乙不一定成立，如底面为菱形时。若命题乙成立，命题甲一定成立。答案为C。

点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。

例4. (2002上海春，10)下图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有　　　 对。

解：相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH 3对。

点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考查了空间想象能力。

例5. 画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm，侧棱长为5cm。

解：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z轴方向平移即可得。

作法：

(1)画轴：画X′，Y′，Z′轴，使∠X′O′Y′=45°(或135°)，∠X′O′Z′=90°。

(2)画底面：按X′轴，Y′轴画正五边形的直观图ABCDE。

(3)画侧棱：过A、B、C、D、E各点分别作Z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE。′

(4)成图：顺次连结A′，B′，C′，D′，E′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线。

点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。

例6. 是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么△ABC的面积为_______________。

解：。

点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别是底和高的对应关系。

例7. (1)如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是(　　 )

A. ①③　　　 B. ②③④　　　　 C. ③④　　　　 D. ②④

(2)(2000全国，16)如图甲，E、F分别为正方体的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，则四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可能是图乙的　　　 (要求：把可能的图的序号都填上)。

甲

乙

解：(1)正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上，所以①②不正确，根据射影的性质，E、F、G三点在平面ABC内的射影形状如“④”所示，在其它平面上的射影如“③”所示。答案：C；

(2)∵面BFD₁E⊥面ADD₁A₁，所以四边形BFD₁E在面ADD₁A₁上的射影是③，同理，在面BCC₁B₁上的射影也是③。过E、F分别作DD₁和CC₁的垂线，可得四边形BFD₁E在面DCC₁D₁上的射影是②，同理在面ABB₁A₁，面ABCD和面A₁B₁C₁D₁上的射影也是②。答案：②③；

点评：考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。

例8. (06 安徽理16)多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：①3； ②4；　　 ③5；　　 ④6；　　 ⑤7

以上结论正确的为________________________(写出所有正确结论的编号)

解：如图，B、D、A₁到平面的距离分别为1、2、4，则D、A₁的中点到平面的距离为3，所以D₁到平面的距离为6；B、A₁的中点到平面的距离为，所以B₁到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A₁的中点到平面的距离为，所以C₁到平面的距离为7；而P为C、C₁、B₁、D₁中的一点，所以选①③④⑤。

点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。

例9. (1)画出下列几何体的三视图

解：这两个几何体的三视图如下

(2)如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图(单位：cm)

点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。

例10. 某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

解：该几何体为一个正四棱锥。

分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。

点评：主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。

例11. (1)(湖南07·理·8题)棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为( 　　)

A. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　B. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　C. 　　　　　 　　　　　D.

(2)(陕西07•理•6题)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是(　　 )

A. 　　　B. 　　　　C. 　　　　　D. 　

答：(1)D　

(2)B

点评：07年的这两个考题都考查多面体和球体的组合题，对空间想象能力、分析问题的能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。

例12. (宁夏07•理•8题) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(　)

A. 　　　B. 　　　C. 　　 　　　D.

解：由主视图、左视图、俯视图知该几何体为一四棱锥，底面边长为20cm，高为20cm，故选B

点评：本体主要考查投影几何的简单知识的应用以及几何体体积的求法，考查空间想象能力。

［思维小结］

2. 空间几何体的三视图

三视图是观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

它具体包括：

(1)主视图：物体前后方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的高度和长度；

(2)左视图：物体左右方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的高度和宽度；

(3)俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的长度和宽度；可简记为：“主左同高，左俯同宽，主俯同长”

近几年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，解答题常常立足于棱柱、棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距离的求解，而选择题、填空题又经常研究空间几何体的几何特征和体积、表面积。因此复习时我们要首先掌握好空间几何体的空间结构特征。培养好空间想能力。

预测高考对该讲的直接考查力度可能不大，但经常出一些创新型题目，具体预测如下：

(1)题目多出一些选择、填空题，经常出一些考查空间想象能力的试题，例如：判断命题的真假等；解答题的考查多是位置关系，我们要想像的出其中的点线面间的位置关系；

(2)研究立体几何问题时要重视多面体的应用，才能发现隐含条件，利用隐含条件解题。

[教学过程]

基本知识要点回顾：

1. 柱、锥、台、球的结构特征

(1)柱

棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

棱柱与圆柱统称为柱体；

(2)锥

棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

棱锥与圆锥统称为锥体。

(3)台

棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台和棱台统称为台体。

(4)球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

(5)组合体

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。