16．如图所示，一个长为L，质量为M的长方形木块，静止在光滑水平面上，一个质量为m的物块(可视为质点)，以水平初速度v₀，从木块的左端滑向另一端，设物块与木块间的动摩擦因数为，当物块与木块达到相对静止时，物块仍在长木块上，求系统机械能转化成内能的量Q．

专题二　 动量与机械能

典型例题

[例1]　 D

解析：本题辨析一对平衡力和一对作用力和反作用力的功、冲量．因为，一对平衡力大小相等、方向相反，作用在同一物体上，所以，同一段时间内，它们的冲量大小相等、方向相反，故不是相同的冲量，则①错误．如果在同一段时间内，一对平衡力做功，要么均为零(静止)，要么大小相等符号相反(正功与负功)，故②正确．至于一对作用力与反作用力，虽然两者大小相等，方向相反，但分别作用在两个不同物体上(对方物体)，所以，即使在同样时间内，力的作用点的位移不是一定相等的(子弹穿木块中的一对摩擦力)，则做功大小不一定相等．而且作功的正负号也不一定相反(点电荷间相互作用力、磁体间相互作用力的做功，都是同时做正功，或同时做负功．)因此③错误，④正确．综上所述，选项D正确．

[例2]　 解析：(1)飞机达到最大速度时牵引力F与其所受阻力f 大小相等，

由P=Fv得

(2)航空母舰上飞机跑道的最小长度为s，由动能定理得

　将代入上式得或

[例3]　 解析：解法1(程序法)：

选物体为研究对象，在t₁时间内其受力情况如图①所示，选F的方向为正方向，根据牛顿第二定律，物体运动的加速度为．

撤去F时物体的速度为v₁=a₁t₁=2×6m/s=12m/s

撤去F后，物体做匀减速运动，其受力情况如图②所示，根据牛顿第二定律，其运动的加速度为．

物体开始碰撞时的速度为v₂=v₁+a₂t₂=[12+(－2)×2]m/s=8m/s．

再研究物体碰撞的过程，设竖直墙对物体的平均作用力为，其方向水平向左．若选水平向左为正方向，根据动量定理有．

解得．

解法2(全程考虑)：取从物体开始运动到碰撞后反向弹回的全过程应用动量定理，并取F的方向为正方向，则

所以

点评：比较上述两种方法看出，当物体所受各力的作用时间不相同且间断作用时，应用动量定理解题对全程列式较简单，这时定理中的合外力的冲量可理解为整个运动过程中各力冲量的矢量和．此题应用牛顿第二定律和运动学公式较繁琐．

另外有些变力作用或曲线运动的题目用牛顿定律难以解决，应用动量定理解决可化难为易．

[例4]　 解析：该题用守恒观点和转化观点分别解答如下：

解法一：(守恒观点)选小球为研究对象，设小球沿半径为R的轨道做匀速圆周运动的线速度为v₀，根据牛顿第二定律有　 ①

当剪断两物体之间的轻线后，轻线对小球的拉力减小，不足以维持小球在半径为R的轨道上继续做匀速圆周运动，于是小球沿切线方向逐渐偏离原来的轨道，同时轻线下端的物体m₁逐渐上升，且小球的线速度逐渐减小．假设物体m₁上升高度为h，小球的线速度减为v时，小球在半径为(R+h)的轨道上再次做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有　　　 ②

再选小球M、物体m₁与地球组所的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m₁上升的过程，由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒．选小球做匀速圆周运动的水平面为零势面，设小球沿半径为R的轨道做匀速圆周运动时m₁到水平板的距离为H，根据机械能守恒定律有　　 ③

以上三式联立解得　

解法二：(转化观点)与解法一相同，首先列出①②两式，然后再选小球、物体m₁与地球组成的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m₁上升的过程，由于系统的机械能守恒，所以小球动能的减少量等于物体m₁重力势能的增加量．即

　　 ④

①、②、④式联立解得　

点评：比较上述两种解法可以看出，根据机械能守恒定律应用守恒观点列方程时，需要选零势面和找出物体与零势面的高度差，比较麻烦；如果应用转化观点列方程，则无需选零势面，往往显得简捷．

[例5]　 解析：(1)第一颗子弹射入木块过程中动量守恒　 ①

解得：=3m/s　 ②

木块向右作减速运动加速度m/s²　　 ③

木块速度减小为零所用时间　　　 ④

解得t₁ =0.6s<1s　　 ⑤

所以木块在被第二颗子弹击中前向右运动离A点最远时，速度为零，移动距离为

解得s₁=0.9m．　　 ⑥

(2)在第二颗子弹射中木块前，木块再向左作加速运动，时间t₂=1s－0.6s=0.4s　 ⑦

速度增大为v_­2=at₂=2m/s(恰与传送带同速)　　　 ⑧

向左移动的位移为　　 ⑨

所以两颗子弹射中木块的时间间隔内，木块总位移S₀=S₁－S₂=0.5m方向向右　　 ⑩

第16颗子弹击中前，木块向右移动的位移为　　 11

第16颗子弹击中后，木块将会再向右先移动0.9m，总位移为0.9m+7.5=8.4m>8.3m木块将从B端落下．

所以木块在传送带上最多能被16颗子弹击中．

(3)第一颗子弹击穿木块过程中产生的热量为

　 12

木块向右减速运动过程中板对传送带的位移为　　 13

产生的热量为Q₂=　　　 14

木块向左加速运动过程中相对传送带的位移为　　 15

产生的热量为　　 16

第16颗子弹射入后木块滑行时间为t₃有　　 17

解得t₃=0.4s　 18

木块与传送带的相对位移为S=v₁­t₃+0.8　　 19

产生的热量为Q₄=　 20

全过程中产生的热量为Q=15(Q₁+Q₂+Q­₃)+Q₁+Q₄

解得Q=14155.5J　　 21

[例6]　 解析：运动分析：当小车被挡住时，物体落在小车上沿曲面向下滑动，对小车有斜向下方的压力，由于P的作用小车处于静止状态，物体离开小车时速度为v₁，最终平抛落地，当去掉挡板，由于物对车的作用，小车将向左加速运动，动能增大，物体相对车滑动的同时，随车一起向左移动，整个过程机械能守恒，物体滑离小车时的动能将比在前一种情况下小，最终平抛落地，小车同时向前运动，所求距离是物体平抛过程中的水平位移与小车位移的和．求出此种情况下，物体离开车时的速度v₂，及此时车的速度以及相应运动的时间是关键，由于在物体与小车相互作用过程中水平方向动量守恒这是解决v₂、间关系的具体方法．

(1)挡住小车时，求物体滑落时的速度v₁，物体从最高点下落至滑离小车时机械能守恒，设车尾部(右端)离地面高为h，则有，　　 ①

由平抛运动的规律s₀=v₁t　　 ②

．　　 ③

(2)设去掉挡板时物体离开小车时速度为v₂，小车速度为，物体从最高点至离开小车之时系统机械能守恒　　 ④

物体与小车相互作用过程中水平方向动量守恒．　 ⑤

此式不仅给出了v₂­与大小的关系，同时也说明了v­₂是向右的．

物体离开车后对地平抛　 　　⑥

　　 ⑦

车在时间内向前的位移　　 ⑧

比较式⑦、③，得解式①、④、⑤，得．

此种情况下落地点距车右端的距离

．

点评：此题解题过程运用了机械能守恒、动量守恒及平抛运动的知识，另外根据动量守恒判断m离车时速度的方向及速度间的关系也是特别重要的．

[例7]　 解析：(1)设第一次碰墙壁后，平板车向左移动s，速度为0．由于体系总动量向右，平板车速度为零时，滑块还在向右滑行．

由动能定理　　 ①

　　　　　　 ②

代入数据得　　　 ③

(3)假如平板车在第二次碰撞前还未和滑块相对静止，那么其速度的大小肯定还是2m/s，滑块的速度则大于2m/s，方向均向右．这样就违反动量守恒．所以平板车在第二次碰撞前肯定已和滑块具有共同速度v．此即平板车碰墙前瞬间的速度．

　　 ④

∴　　　 ⑤

代入数据得　　 ⑥

(3)平板车与墙壁第一次碰撞后到滑块与平板又达到共同速度v前的过程，可用图(a)(b)(c)表示．(a)为平板车与墙壁撞后瞬间滑块与平板车的位置，图(b)为平板车到达最左端时两者的位置，图(c)为平板车与滑块再次达到共同速度为两者的位置．在此过程中滑块动能减少等于摩擦力对滑块所做功，平板车动能减少等于摩擦力对平板车所做功(平板车从B到A再回到B的过程中摩擦力做功为零)，其中、分别为滑块和平板车的位移．滑块和平板车动能总减少为其中为滑块相对平板车的位移．此后，平板车与墙壁发生多次碰撞，每次情况与此类似，最后停在墙边．设滑块相对平板车总位移为l，则有　　 ⑦

　　　　 ⑧

代入数据得　　　 ⑨

l即为平板车的最短长度．

[例8]　 解析：本题应用动量守恒，机械能守恒及能量守恒定律联合求解。

在m下落在砂箱砂里的过程中，由于车与小泥球m在水平方向不受任何外力作用，故车及砂、泥球整个系统的水平方向动量守恒，则有：

　　 ①

此时物块A由于不受外力作用，继续向右做匀速直线运动再与轻弹簧相碰，以物块A、弹簧、车系统为研究对象，水平方向仍未受任何外力作用，系统动量守恒，当弹簧被压缩到最短，达最大弹性势能E_­p­时，整个系统的速度为v₂，则由动量守恒和机械能守恒有：

　　 ②

　　 ③

由①②③式联立解得：　　 ④

之后物块A相对地面仍向右做变减速运动，而相对车则向车的左面运动，直到脱离弹簧，获得对车向左的动能，设刚滑至车尾，则相对车静止，由能量守恒，弹性势能转化为系统克服摩擦力做功转化的内能有：　　 ⑤

由④⑤两式得：　

跟踪练习

15．(’01春季招生，22)(14分)如下图所示，A、B是静止在水平地面上完全相同的两块长木板．A的左端和B的右面端相接触．两板的质量皆为M=2.0kg，长度皆为l=1.0m．C是一质量为m=1.0kg的小物块．现给它一初速度v₀=2.0m/s，使它从B板的左端开始向右滑动，已知地面是光滑的，而C与A、B之间的动摩擦因数为=0.10．求最后A、B、C各以多大的速度做匀速运动．(取重力加速度g=10m/s²)

13．(广州)用轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以v=6m/s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量4kg的物块C静止在前方，如下图所示．B与C碰撞后二者粘在一起运动．求：在以后的运动中：

(1)当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度多大？

　 (2)弹性势能的最大值是多大？

(3)A的速度有可能向左吗？为什么？

　 14．(’04广东，17)(16分)图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态．另一质量与B相同的滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行．当A滑过距离l₁时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连．已知最后A恰好返回到出发点P并停止．滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为，运动过程中弹簧最大形变量为l₂，重力加速度为g．求A从P点出发时的初速度v₀．

12．(’00全国高考，22 )[天津江西·14分]在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”．这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似．两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态．在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一个小球C沿轨道以速度v₀射向B球，如图所示．C与B发生碰撞并立即结成一个整体D．在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变．然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连．这一段时间，突然解除锁定(锁定及解除锁定均无机械能损失)．已知A、B、C三球的质量为m．

(1)求弹簧长度刚被锁定后A球的速度；

(2)求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能．

11．(汕头)如下图所示，光滑水平面上，质量为m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止状态，质量为2m的小球A以大小为v₀的初速度向右运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间，A与弹簧分离．

(1)当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E_p多大？

(2)若开始时在B球的右侧某位置固定一块挡板，在A球与弹簧未分离前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立刻将挡板撤走．设B球与挡板的碰撞时间极短，碰后B球的速度大小不变但方向相反．欲使此后弹簧被压缩到最短时，弹簧势能达到第(1)问中E_p的2.5倍，必须使B球在速度多大时与挡板发生碰撞？

10．(’04江苏，18)(16分)一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在雪橇上．狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇．狗与雪橇始终沿一条直线运动．若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u(其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和，若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值．)设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计．已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg．

(1)求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小．

(2)求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳动上雪橇的次数．

(供使用但不一定用到的对数值：lg2=0.301，lg3=0.477)

9．如图所示，质量M=0.45kg的带有小孔的塑料块沿斜面滑到最高点C时速度恰为零，此时与从A点水平射出的弹丸相碰，弹丸沿着斜面方向进入塑料块中，并立即与塑料块有相同的速度．已知A点和C点距地面的高度分别为：H=1.95m，h=0.15m，弹丸的质量m=0.050kg，水平初速度v₀=8m/s，取g=10m/s²．求：

(1)斜面与水平地面的夹角θ．(可用反三角函数表示)

(2)若在斜面下端与地面交接处设一个垂直于斜面的弹性挡板，塑料块与它相碰后的速率等于碰前的速率，要使塑料块能够反弹回到C点，斜面与塑料块间的动摩擦因数可为多少？

6．如图所示，粗糙的斜面AB下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，整个装置竖直放置，C是最低点，圆心角∠BOC=37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R=0.5m，斜面长L=2m，现有一个质量m=0.1kg的小物体P从斜面AB上端A点无初速下滑，物体P与斜面AB之间的动摩擦因数为=0.25．求：

(1)物体P第一次通过C点时的速度大小和对C点处轨道的压力各为多大？

(2)物体P第一次离开D点后在空中做竖直上抛运动，不计空气阻力，则最高点E和D点之间的高度差为多大？

(3)物体P从空中又返回到圆轨道和斜面，多次反复，在整个运动过程中，物体P对C点处轨道的最小压力为多大？

　 7．如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点衔接，导轨半径为R．一个质量为m的静止物块在A处压缩弹簧，在弹力的作用下获一向右的速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点．求：

(1)弹簧对物块的弹力做的功．

(2)物块从B至C克服阻力做的功．

(3)物块离开C点后落回水平面时其动能的大小．

　 8．(’03全国高考，34)[理综·22分]一传送带装置示意如下图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形(圆弧由光滑模板形成，未画出)，经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切．现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h．稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L．每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动(忽略经BC段时的微小滑动)．已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N．这装置由电动机带电，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦．求电动机的平均输出功率．

5．如图所示，AB为斜轨道，与水平方向成45°角，BC为水平轨道，两轨道在B处通过一段小圆弧相连接，一质量为m的小物块，自轨道AB的A处从静止开始沿轨道下滑，最后停在轨道上的C点，已知A点高h，物块与轨道间的滑动摩擦系数为，求：

(1)在整个滑动过程中摩擦力所做的功．

(2)物块沿轨道AB段滑动时间t₁与沿轨道BC段滑动时间t₂之比值．

(3)使物块匀速地、缓慢地沿原路回到A点所需做的功．

4．离子发动机是一种新型空间发动机，它能给卫星轨道纠偏或调整姿态提供动力，其中有一种离子发动机是让电极发射的电子撞击氙原子，使之电离，产生的氙离子经加速电场加速后从尾喷管喷出，从而使卫星获得反冲力，这种发动机通过改变单位时间内喷出离子的数目和速率，能准确获得所需的纠偏动力．假设卫星(连同离子发动机)总质量为M，每个氙离子的质量为m，电量为q，加速电压为U，设卫星原处于静止状态，若要使卫星在离子发动机起动的初始阶段能获得大小为F的动力，则发动机单位时间内应喷出多少个氙离子？此时发动机动发射离子的功率为多大？