3.　　 (1991年三南高考)已知函数f(x)＝ ⑴证明：f(x)在(－∞,+∞)上是增函数； ⑵证明：对不小于3的自然数n都有f(n)＞

.

[答案与提示：1. 当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解；2.　 a的取值范围为，(2)可用数学归纳法证明；3. 略．]

2.　　 (1990年全国高考)设f(x)＝lg，其中a是实数，n是任意给定的自然数，且n≥2. ①如果f(x)当x∈(－∞，1]时有意义，求a的取值范围； ②如果a∈(0，1)，证明2f(x)＜f(2x)当x≠0时成立.

当时，，因此，若令，则

由，则可知：此时的取值范围为．

又时，．所以，函数的值域为．

所以，函数的值域为R．

(2)设，则=，利用与互为倒数，可得=，所以，．

所以，=，R．

　　　 (3)任取R，则==，所以，函数为奇函数．

　　　 任取，且，则由及指数函数的性质可知：

，，

所以，，即．

所以，在定义域内单调递增．

(4)由得：，即：

　　　 结合的单调性可知：上式等价于：，解之得：．

　　　 点评 ①定义域是研究函数的基础．求值域、判断奇偶性、单调性、研究函数图象等都应先从定义域出发．②从定义域出发，利用函数的单调性，是求函数值域常用的方法．

例2．已知函数，对定义域内的任意都有成立．

　　　 (1)求实数的值；

　　　 (2)若当时，的取值范围恰为，求实数的值．

讲解：(1)由及可得：

解之得：．

当时，函数无意义，所以，只有．

(2)时， ，其定义域为.

所以，或．

①若，则．

为研究时的值域，可考虑在上的单调性．下证在上单调递减．

任取，且，则

又，所以，，即．

所以，当，在上单调递减

由题：时，的取值范围恰为，所以，必有，解之得：(因为，所以舍去)

②若，则．又由于，所以，．

此时，同上可证在上单调递增(证明过程略)．

所以，在上的取值范围应为，而为常数，故的取值范围不可能恰为．

所以，在这种情况下，无解．

综上，符合题意的实数的值为，

点评　 本题(2)中，充分的运用已知条件，可以减少分类讨论的次数．

高考真题

1.　　 (1989年全国高考)已知a＞0且a≠1，试求使方程

log_a(x－ak)＝log_a2(x²－a²)有解的k的取值范围.

2.　　　 (1989年全国高考)设是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用表示区间(2k－1，2 k+1)，已知当时，. ①求在上的解析表达式； ②对自然数k，求集合＝{a|使方程＝ax在上有两个不相等的实根}

[答案与提示：1.增函数，证明略。2. ①当时，；②对自然数k，集合＝]

1.　　　　 (2002年北京春季高考)已知是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并加以证明。

3. (1993年全国高考)已知关于x的实系数二次方程x ² + ax +b =0有两个实数根a ,b. 证明:

(I ) 如果| a | < 2, | b | < 2, 那么2| a | < 4 + b且 | b | < 4 ;

(II) 如果2| a | < 4 + b 且 | b | < 4 , 那么| a | < 2 , | b | < 2 .

[答案与提示：1.不存在. 2.，在其中任取两数，其和为零的概率为；证明略. 3.略. ]

2.　　　　 (2001年上海高考)对任意一个非零复数，定义集合

(1)设是方程的一个根，用列举法表示集合. 若在中任取两个数，求其和为零的概率.

(2)设复数，求证：

1.　　　　 (1985年全国高考)设a,b是两个实数，A={(x,y)│x=n,y=na+b,n是整数}，B={(x,y)│x=,m,y=3m²+15,m是整数}，C={(x,y)│x²+y²≤144}是平面XOY内的点集合.讨论是否存在a和b使得

(1)(表示空集)；(2)(a,b)∈C同时成立.

3．层递式。

当文章论述的各个分论点之间关系不是平行的，而是后一个分论点是在前一个分论点的基础上更深一步，各个分论点是顺次步步深入的关系时，便可采用递进式安排文章的层次。例如，习作《欣赏万物》。

　　　　　　　　　　　 　　　　　欣赏万物

蒙娜丽莎的微笑、王羲之的《兰亭序》，你看了一遍还想看；《二泉映月》《高山流水》，你听了一遍还想听。这就是欣赏。可是欣赏却又远不止这些。

善于欣赏者，不仅会时常沉醉于名山大川、小桥流水，而且能在平常中欣赏不平常的景致。对他们而言，观一花即观一世界，见小草而见大精神，与常见之美面对，却有一种故知重逢的欣慰。清华园的小池塘日过千人，朱自清却能别具慧眼欣赏到园荷泻露、蛙声虫鸣。欣赏并不在于美好的景致，而在于欣赏者的气质。游名山大川大自然可喜，即使是平常山水，亦可觅出无穷情趣，因为山水之乐存乎一心，情由心生，景由情设，哪怕是短松岗、野草径、几堆乱石、数丛小花，情之所至，即为胜景。

世界五彩缤纷，绚丽多彩，却也有悲欢离合、失败与挫折。最伟大的欣赏是在身处逆境时，也同样能欣赏到美好的景致。心情好的时候，看到的是蒙娜丽莎迷人的眼睛、甜美的微笑；面临失败的时候，也不把它当作对自己的嘲讽，而是把它当作对自己的鼓励。在得意的时候会马蹄疾，“一日看遍长安”；在失意的时候，也能“对酒当歌”，用另一只眼去对待失意。

人生在世总会有失败，更多的时候，我们需要换一个角度，用欣赏的眼光对待失败。正确对待失败。当别人嘲笑爱迪生做了上千次试验也未能发明电灯时，他却坦然地回答：“虽然我失败了，但我却发现了几千种材料不适合做灯丝，在这方面我是成功的。”这是多么伟大的欣赏者！

欣赏使人气质超脱俗韵，能够胜不骄败不馁，“不以物喜，不以己悲”。

遭受挫折时，欣赏者见苍松擎天，芳草铺地，万绿竞发，勃勃生机，悟人生必须奋进，切不可消极彷徨，于是豪情万丈，搏浪击风，百折不挠。

春风得意时，欣赏者见青山如壁，江河如带，天高地迥，造化无穷，知自己只不过是沧海一粟，夜郎自大实在可悲，于是顿收骄焰，兢兢业业面对人生。

用欣赏者的眼光去对待身边的万事万物，你将会活得更轻松。

考生从欣赏“自然美景”，谈到欣赏“失败挫折”，再谈到欣赏“使人气质脱俗”，从具体到抽象，从感性到理性，层层深入，思路清晰，条理分明

2．对比式。

文章论述的两个方面，在事理上形成一种对照，这种方法更有利于说清事理的是非曲直。例如，2005年高考陕西考生写的《米卢与孔明》。

米卢与孔明

　大丘体育场的新闻发布厅，面对着众多的记者，米卢依稀感到自己的使命结束了。三战一球未进，一分未得，在媒体与国人眼中，他早已不是那位回天有术的神奇教练，而是一位招摇撞骗的江湖郎中。

　我们铭记着他的失败，却忘记了他的成功。

　五丈原的军帐内，一盏油灯映照着他---诸葛孔明憔悴的面庞。蜡黄的脸上显露着他的不甘，口中喃喃道出的是对后世的无尽牵挂。帐内四周站立的官员早已热泪盈眶。终于，一阵秋风袭过，那盏油灯即刻熄灭。五丈原内哭声响彻一片。又何止是五丈原，千百年来，中华民族的多少后人为这位旷世英才潸然泪下。

　尽管蜀汉依然只能偏居一方，遥望中原；尽管，人们对汉业的光复仍然只能去期望；尽管，孔明还留下了太多太多的未完成。但是这些早已被人们忘却。人们只记得他的忠心为主；人们只记得他为了三分天下而鞠躬尽瘁；人们只记得他为无处容身的汉业打下了基石。人们早已将孔明奉为神明，而孔明，也成了中华民族智慧的化身。

　我们铭记着他的成功，忘却了他的失败。

　米卢走了，带着人们对他的责难，带着人们对他的唾弃，也带着满腹的辛酸与不解。

　孔明也走了，留下了一片未完成的大业，留下了一堆难以收拾的后事，也留下了一个朝代的遗憾。

　米卢与孔明，一样的曾经辉煌，一样的大业未成，一样的离去。为何结局竟如此迥异？

　 当年米卢在中国足球落魄之时接手中国队，在一纸“必须率领中国队打入2002年世界杯决赛阶段”的硬性合同上毅然签字，在他的率领下，中国队过五关斩六将，以如虹的气势提前杀进决赛。米卢完成了合同，更完成了一个民族几代人的心愿，创造了历史。而在世界杯中的战绩，合同并未标记，米卢也在面对世界强手时回天乏术。而我们却因此忘记了他的贡献，铭记着他的失败，最终将其辞退。

　孔明在刘玄德三顾茅庐之时与其大谈天下大势，一番隆中对策为刘备指出三分天下的趋势，并答应出山为他完成此业。孔明帮助刘备分得一分天下。而他在隆中并未与刘备签下一统天下的合同。他也只是完成了大业的一半。而我们却宽宏地忘记了他的失败，铭记着他伟大的智慧和不朽的人格。

为何千年的文化积淀却让我们越发的功利与短浅？为何我们在现代社会里沐浴着文明，却在心中滋长着狭隘？米卢与孔明，我们的对待又为何如此不公？我们是否也应该重新审视，怎样对待忘记与铭记？　

巧妙地采用了对比之法，一个是当代知名足球教练，一个是三国著名军事家。初读文章我们可能会感到把他们放在一起有些莫名其妙。但考生从独特的角度进行审视，认为国人忘却了米卢的贡献，铭记着他的失败；而对于孔明却忘记了他的失败，铭记着他伟大的智慧和不朽的人格。尤其可贵之处在于，考生并不停止于此，而是由此反思我们的民族心理，民族文化。这种对比，这种思索，处处都显示了作者的智慧。