4．数列与的极限分别为A与B，A≠B，则数列的极限为(　　 )

A．A　　　　　　 B．B　　　　　　　　 C．A+B　　　　　　　 D．不存在

A．可能收敛　　 B．一定收敛　　　　 C．可能发散　　　　 D．一定发散

A．充要条件　　 B．充分条件　　　　 C．必要条件　　　　 D．无关条件

3．下列数收敛于0有(　　 )

2．下列数列收敛的有(　　 )

A.0.9,0.99,0.999,0.9999,…　　　　　

1．下列数列极限存在的有(　　 )

A．10，10，10，…　　　　　　　　　

13．求函数极限有哪些方法?

在某一极限过程中,参加极限四则运算的每一个极限都必须有相同的过程,而且每个极限都必须存在(分母不为零)才能运算．

我们通过下面几道题来总结一下求函数极限的方法．

例1　 求

思路启迪　 由于f(x)与g(x)是在的某邻域内有定义的初等函数,所以也是在的某邻域内有定义的初等函数．根据初等函数的连续性可求出该极限．

规范解法　 由初等函数的连续性，得

例2　 求

思路启迪　 由于当x→2时,分子、分母的极限都存在，并且分母的极限不为0，所以可以将x→2直接代入分子、分母，根据初等函数的连续性，分别求出分子分母的极限，再求商即可．

规范解法　

例3　 求

思路启迪　 由于将x→-2代入分母，可得分母极限为0，所以此题不能用直接入法．根据观察,可以将分子分母分解因式,都可以分解出极限为0的x+2,约去公因式即可求极限了．

规范解法　

例4　

思路启迪　 因为，所以不能直接用求函数极限差的运算法则,可将函数通分变形后再求极限．

规范解法　

例5　 求

思路启迪　 由于分子,分母的极限都是无穷大,所以分子、分母同除以最高次项，使分子、分母的极限都存在．

规范解法　

点评　 一般地

例6　 求

思路启迪　 求函数极限时，若碰到分子，分母中有根号的情形，经常会把分子或分母有理化，使原极限可求．

规范解法　

例7　 求

思路启迪　 分子，分母中分别有，直接求极限不好求，可以采用变量规换的方法，令

规范解法　

例8　 求

思路启迪　 出现

规范解法一　

规范解法二　

规范解法三　

12．什么是函数在一个区间上的连续性？

如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点连续，则称函数f(x)在开区间(a，b)上连续；如果函数f(x)在闭区间[a，b]内每一点(非端点)都连续，且函数f(x)在左端点a右连续，在右端点b左连续，则称函数f(x)在闭区间[a，b]上连续．一般地，对任何-个区间I，如果函数f(x)在区间I内的每一点(非端点)都连续，且当区间I含有端点时，函数f(x)在端点处单侧连续(在左端点指的是右连续，在右端点指的是左连续)，则称函数f(x)在区间I上连续．

例如，函数f(x)=sin x在区间(-∞,+∞)内每一点都是连续的，因而可说函数f(x)=sinx在区间(-∞,+∞)上连续．

又如，函数在区间[0，+∞)内的每一点(不包括端点x=0)都是连续的．又在区间的左端点x=0满足，则在x=0点右连续，因此可说函数在区间(0,+∞)上连续．利用连续函数的定义和性质，可以证明，-切基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．

计算极限．若已知函数f(x)是初等函数，而a又属于函数f(x)的定义域，则函数f(x)在点a连续，根据连续定义，“”与“f”可交换次序，即，于是，计算连续函数f(x)在点a的极限就变成了计算函数f(x)在点a的函数值f(a)．

例　

思路启迪 　可以先将极限式的分子，分母分解，这就会出现重复项x-3．由于函数在点3的极限只与3附近点x的函数值变化有关与点3无关，即x≠3或x-3≠0，因此可以消去分子与分母中的公共因式x-3．

规范解法

11．什么是函数的连续性?

现实世界中很多变量的变化是连续不断的，如气温、物体运动的路程，金属丝加热时长度的变化等等，都是连续变化的．这种现象反映在数学上就是函数的连续性，它是微积分的又一重要概念．

下面我们先引入函数改变量的概念与记号．

函数改变量(或称函数增量)．

定义：设变量t从它的初值改变到终值,终值与初值之差称为变量t的改变量，

[注：改变量可以是正的，也可以是负的．]

设有函数y=f(x)，给自变量x一个改变量△x，当自变量x从改变到时，函数y相应的改变量为△y．如图2-10所示，△y为：

对于函数y=f(x)定义域内一点，如果自变量x在点处取得极其微小的改变量△x时，函数y相应的改变量△y也极其微小，且当△x趋于0时，△y也趋于0，则称函数y=f(x)在点处是连续的．如图2-11．而对图2-12来说，在点处不满足这个条件，所以，它在点处不连续．

下面给出函数在一点处连续的定义．

定义：设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义，如果当自变量x在点处取得改变量△x趋于0时，函数相应的改变量△y也趋于0，即或写作，则称函数f(x)在点处连续．

例1　 证明函数

思路启迪　 要证

规范证法　 当x从处产生一个改变量△x时，函数相应改变量为因为，所以在给定点处连续.

在上面的定义中，令，则，那么当时，必有，且,因而可以写为即因此,函数在点处连续,也可以如下定义:

设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义,如果时,函数f(x)的极限存在,而且等于f(x)在点处的函数值,即有,则称函数f(x)在点处连续．

因此,求连续函数在某点的极限,只须求出函数在该点的函数值即可．前面例1已证明在点处连续,故有

例2　 证明正弦函数f(x)=sinx在R上连续．

思路启迪　 要证f(x)=sinx在R上连续,只需证明对任意的

规范证法　 对任意ε>0,解不等式

取δ≤ε,于是，对任意ε>0，总存在δ≤ε(其中δ>0)，当时，有，即正弦函数sinx在连续，因为是R上任意-点，所以正弦函数sinx在R上是连续函数．同理可知，余弦函数cosx在R上也是连续函数．

10．什么是函数两个重要极限?

证明:首先证明如下图2-9, 是以点O为心,半径为1的圆弧，过A作圆弧的切线与OB的延长线交于点C．设∠DOB=x(按弧度计算)，则显然，△AOB的面积<扇形AOB的面积<△AOC的面积．即或sinx<x<tanx,以sinx>0除之，得或.∵，

∴(根据夹挤定理，参看后面知识链接部分第4个问题中的方法1)．

其次，当x<0时，设x=-y,当时，有，则

例1　 求

思路启迪　 将tanx写成，代回原式，使之出现这个重要极限．

规范解法

例2　 求

思路启迪　 将kx看成一个新变量t，即令t=kx，则x→0时，t→0．

规范解法

例3　 求

思路启迪　 先将1-cosx用半角公式化成，就可以利用特殊极限

规范解法　

注意：我们在利用时，一定要注意x的趋向形式，x是趋向于0的，若x是趋向于无穷的或者x是趋向于除0以外的其他值，则该极限等式就不一定成立了．

下面大家来看另一重要极限

我们先讨论x→+∞的情形．因[x]≤x<[x]+1,[注：“[ ]”是取整数符号，在y=[x]中，对任意的x∈R，对应的y是不超过x的最大整数．例如:[2.5]=2,[3]=3,[0]=0,[-π]=-4,故，而，但由于，而x→+∞时，[x]取正整数值而趋于+∞，所以从

和

，得到和．由极限性质即得到．再证，作代换x=-y，则

．但x→-∞时，y-1→+∞，上式右端以e为极限，所以左端也以e为极限．证毕．

例4　 求

思路启迪　 先把极限式变形,使之变成可以利特殊极限的形式．

规范解法　

9．怎样计算函数的极限?

要计算函数的极限，需知道函数极限的运算法则，它们的证明完全和数列的情形相仿．

函数极限的四则运算法则：

如果那么

．这些法则对于x→∞时的情况仍然成立．由以上法则易得(C是常数)，(n是正整数)．利用这些法则求下面几个函数的极限．

例1　 求

思路启迪　 由于该极限中的每一项都存在极限，所以可以用极限四则运算法则中和式的极限等于极限的和来计算．

规范解法　

点评　 若极限式各项中，有一项或几项的极限不存在，就不能直接利用函数极限的四则运算法则来做．

例2　 求

思路启迪　 与例1类似．

规范解法　 因为

点评　 由例1,例2可以看出:若f(x)为多项式函数或当时分母极限不为0的分式函数,根据极限运算法则可以得出

例3　 求

思路启迪　 将分子分母同除以,使分子分母的极限存在．

规范解法　 将分子分母同除以,得

例4　 求

思路启迪　 将分子有理化,使分子分母极限存在．

例5　 已知

求

思路启迪　 要求,应先看其左,右极限,比较两极限是否相同,若相同,则极限为其左,右极限值,若不相同,则极限不存在．

8．什么是函数左极限与右极限?

前面讲了时函数f(x)的极限，在那里x是以任意方式趋于的．但是，有时我们还需要知道x仅从的左侧或仅从的右侧趋于时，f(x)的变化趋势．于是，就要引进左极限与右极限的概念．

例如，函数，图形见图2-8．

容易观察出，当x从0的左侧趋于0时,f(x)趋于1；而当x从0的右侧趋于0时，f(x)趋于0．我们分别称它是x趋于0时的左极限与右极限．

再考察当x趋于0时的极限．由于函数的定义域为[0，+∞)因此只能考察其右极限．对,由于其定义域为(-∞，0]，因此，当x趋于0时，只能考察其左极限．

定义：如果当x从的左侧趋于时，f(x)以A为极限，即对于任意给定的ε>0，总存在一个正数δ，使时，恒成立，则称A为时f(x)的左极限.记作或如果当x从的右侧趋于时，f(x)以A为极限，即对于任意给定的ε>0，总存在-个正数δ，使当时，|f(x)-A|<ε恒成立，则称A为时f(x)的右极限，记作或

根据左、右极限的定义，显然可以得到下列定理．

例1　 设

思路启迪 　要看当x→0时，f(x)的极限是否存在，就应先求出x→0时f(x)的左、右极限，并看f(x)的左、右极限是否相等．若相等，则极限存在；反之，则极限不存在．

规范解法　 当x<0时，；而当x≥0时，．左、右极限都存在，但不相等．所以，由上面的定理可知，不存在．

例2　 研究当x→0时，f(x)=|x|的极限．

思路启迪　 因为f(x)=|x|，所以应对f(x)分情况讨论，得到f(x)为一个分段函数，再按照例1的方法讨论f(x)的极限．

规范解法　 已知，可以证明，，所以，由上面的定理得