2009年联考题

9、(2007年辽宁)已知数列，与函数，，满足条件：

，.

(I)若，，，存在，求的取值范围；

(II)若函数为上的增函数，，，，证明对任意，(用表示)．

(Ⅰ)解法一：由题设知得，又已知,可得

由 其首项为.于是

又lima_n存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且

解法二.由题设知tb_n+1=2b_n+1,且可得

由可知,所以是首项为,公的等比数列.

由 可知，若存在，则存在.于是可得0＜＜1,所以-1＜t.

=2

解法三:由题设知tb_n+1=2b_n+1,即

①

于是有

②

②-①得

由，所以是首项为b公比为的等比数列，于是

(b₂-b₁)+2b.

又存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且

说明：数列通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准.

(Ⅱ)证明：因为.

下面用数学归纳法证明＜.

(1)当n=1时，由f(x)为增函数,且＜1,得

＜1

＜1

＜，

即＜，结论成立.

(2)假设n=k时结论成立，即＜.由f(x)为增函数，得

＜f即＜进而得

＜f()即＜.

这就是说当n=k+1时，结论也成立.

根据(1)和(2)可知，对任意的，＜.

8、(2005年上海2) 　　　　.

答案　 0

7、(2006天津)设函数，点表示坐标原点，点，若向量，是与的夹角，(其中)，设

，则=　　　　　　　　　　 ．

[解析]函数，点表示坐标原点，点，若向量

=，是与的夹角，(其

中)，设，则=1．

答案　 1

6、(2007年全国Ⅱ理16)已知数列的通项a_n=－5n+2,其前n项和为S_n, 则=　　　 .

答案 　-

[解析]数列的通项a_n=－5n+2，其前n项和为S_n，则=－.

5、(2008上海2)计算：　　　　 . 　

答案　

4、(2005年全国Ⅱ理5) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 　　)

A 　　　　　　　B 　　　　　　　C 　　　　　　　D

[解析]

,选(A)

答案　 A

3、(2006湖南)数列{}满足:,且对于任意的正整数m,n都有,则

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A.　　 　　　　　B.　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　 D.2

[解析]数列满足: , 且对任意正整数都有，，∴数列是首项为，公比为的等比数列。，选A.

答案 　A

2、(2007年湖北)已知和是两个不相等的正整数，且，则(　 )

A．0　　　　　　　　 　　　 B．1　　　　　　　　　　 　　　 C．　　　　　　　　　 D．

答案　 C

1、(2007年江西)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．等于　　　　　　　　 B．等于　　　　　　　　　 C．等于　　　　　　　　　 D．不存在

答案　 B