8．设地球半径为R，在北纬30°圈上有甲、乙两地，它们的经度差为120°，那么这两地间的纬线之长为(　　 )

A．πR　　　　　　　　 B．πR　　　　　　　　　 C．πR　　　　　　　　　　　　 D．2πR

7．图8-23中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的顶点A作截面AB₁C₁D₁而截得的，且B₁B=D₁D。已知截面AB₁C₁D₁与底面ABCD成30°的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为(　　 )

A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

6．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S₁、S₂、S₃，则(　　 )

A．S₁<S₂<S₃　　　　　　　　 B．S₃<S₂<S₁　　　　　　　　 C．S₂<S₁<S₃　　　　　　　　 D．S₁<S₃<S₂

5．把一个半径为R的实心铁球熔化铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为(　　 )

A．R　　　　　　　　　　　 B．R　　　　　　　　　　 C．R　　　　　　　　　 D．R

4．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为( 　　)

A．　　　　　　　　　　　 B．56π　　　　　　　　　　　 C．14π　　　　　　　　　　　 D．64π

3．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面(　　 )

A．必定都不是直角三角形　　　　　　　 B．至多有一个直角三角形

C．至多有两个直角三角形　　　　　　　 D．可能都是直角三角形

2．如图8-22，用一个平面去截一个正方体，得到一个三棱锥。在这个三棱锥中，除截面外的三个面的面积分别为S₁、S₂、S₃，则这个三棱锥的体积为(　　 )

A．V=　　　　　　　　　　　　　　 B．V=

C．V=　　　　　　　　　　　　　　 D．V=

1．如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆，那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为(　 )

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 B．

6．关于等积变换问题。

等积变换的依据是等底等高的棱锥体积相等。

等积变换求体积或求点到平面的距离，都是在基本几何体--四面体和平行六面体中进行的。这是因为这些几何体变换底面后，计算体积的方法不变，几何体仍为四面体和平行六面体，这样，我们就可以选择适当的面为底面，使计算简单、易行。

若几何体本身不是四面体或平行六面体，则需先将其分成几个四面体或平行六面体之后，再施行等积变换。

用等积变换求点到平面的距离，是用两种不同的体积计算方法，来建立所求距离的方程，使问题得解。

异面直线间的距离，可转化为点到平面的距离，因此也可用等积变换求解。

用等积变换求距离，可绕过距离的作图，从而降低了题目的难度。

[例题解析]

例1　 如图8－1，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，AC⊥CB，∠ABC=30°，侧面A₁ABB₁是边长为a的菱形，且垂直于底面，∠A₁AB=60°，E、F分别是AB₁、BC的中点。

(1)求证：EF∥侧面A₁ACC₁；

(2)求四棱锥A--B₁BCC₁的体积；

(3)求EF与侧面A₁ABB₁所成角的大小。

　　　　　　

(1)连结A₁B、A₁C

∵A₁ABB₁是菱形，且E是AB₁的中点，

∴E是A₁B的中点。

又F是BC的中点，

∴EF∥A₁C。

又A₁C平面A₁ACC₁，

EF平面A₁ACC₁，

∴EF∥面A₁ACC₁。

(2)∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，交线为AB，

∴在平面A₁ABB₁内，过A₁作A₁O⊥AB于O，则A₁O⊥平面ABC，且h=A₁O=a，

又∵AC⊥CB，∠ABC=30°，∴，

∴V _A-CCBB

=V_柱－V _A-ABC

=Sh － Sh=Sh=··AC·BC·A₁O

=··a· a·a =a³

(3)在平面ABC内，过F作FH⊥AB于H，则FH⊥侧面A₁ABB₁。

连结EH，则∠HEF为EF与侧面A₁ABB₁所成的角。

∵在Rt△FHB中，FH=BF=a,BH=a；

在△HEB中，HE=

=

=a，

∴在Rt△EHF中，tan∠HEF==,

∴∠HEF=arctan。

例2　 如图8－3，三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D为PA的中点，二面角P-AC-B为120°，PC=2，AB=2。

(1)求证：AC⊥BD；

(2)求BD与底面ABC所成的角(用反正弦表示)；

(3)求三棱锥P-ABC的体积。

　　　　　　

解　 (1)如图8－4，取AC中点E，连DE、BE，则DE∥PC，∵PC⊥AC，∴DE⊥AC。

∵△ABC是正三角形，∴BE⊥AC。

又DE平面DEB，BE平面DEB，DE∩BE=E，∴AC⊥平面DEB。

∵DB平面DEB，∴AC⊥DB。

(2)法一：∵AC⊥平面DEB，AC底面ABC，∴平面DEB⊥底面ABC，∴EB是DB在底面ABC内的射影，∠DBE是BD与底面ABC所成的角。

又∵DE⊥AC，BE⊥AC，∴∠DEB即为二面角P-AC-B的平面角。

在△DEB中，∵DE=PC=1，BE=AB=3，

∴由余弦定理，得　 BD²=1²+3² – 2×1×3cos120°=13，BD=，

∴由正弦定理，得=，

解得sin∠DBE=，即BD与底面ABC所成的角为arcsin。

法二：∵AC⊥平面DEB，AC平面ABC。∴平面DEB⊥平面ABC，作DF⊥平面ABC，F为垂足，则F在BE的延长线上，∠DBF是BD与平面ABC所成的角。∵DE⊥AC，BE⊥AC，∴∠DEB是二面角P-AC-B的平面角。在Rt△DBF中，DE=PC=1，BE=AB=3，

∠DEB=120°，∠DEF=60°，DF=。

∴在△DEB中，由余弦定理得BD=，

∴sin∠DBF==，故BD与底面ABC所成的角为arcsin。

(3)∵AC⊥平面DEB，AC平面PAC，

∴平面DEB⊥平面PAC，∴过点B作平面PAC的垂线段BG，垂足G在DE的延长线上。

∵在Rt△BEG中，∠BEG=60°，BE=3，∴BG=，

∴V_P-ABC=V_B-PAC=S_△PAC×BG=××=3。

例3　 如图8－5，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA、BC的公垂线DE=h，求三棱锥P-ABC的体积。

分析：思路一直接求三棱锥P-ABC的体积比较困难。考虑到DE是棱PA和BC的公垂线，可把原棱锥分割成两个三棱锥P-EBC和A-EBC，利用PA⊥截面EBC，且△EBC的面积易求，从而体积可求。

解　 如图8-5-1，连结BE，CE。∵DE是PA、BC的公垂线，∴PA⊥DE。又PA⊥BC，∴PA⊥截面EBC。∴V_P-EBC=S_△EBC·PE，V_A-EBC=S_△EBC·AE。∵DE⊥BC，∴S_△EBC=BC·DE=lh,∴V_P-ABC=V_P-EBC+V_A-EBC=S_△EBC·(PE+AE)=PA·S_△EBC=l²h。

注　 本例的解法称为分割法，把原三棱锥分割为两个三棱锥，它们有公共的底面△EBC，而高的和恰为PA，因而计算简便。

思路二　 本题也可用补形法求解。

解　 如图8－5－2，将△ABC补成平行四边形ABCD，连结PD，则PA⊥AD，且BC∥平面PAD，故C到平面PAD的距离即为BC和平面PAD的距离。

∵MN⊥PA，又MN⊥BC，BC∥AD，∴MN⊥AD， MN⊥平面PAD。

故　 V_P-ABC=V_P-ADC=V_C-PAD=S_△PAD·MN=(·PA·AD)·MN=l²h。

注　 本题的解法称为补形法，将原三棱锥补形成四棱锥，利用体积互等的技巧进行转换，以达到求体积的目的。

本题也可将三棱锥补成三棱柱求积。想一想，怎样做？

例4　 如图8－6，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，并且PD=a, PA=PC=a。

(1)求证：PD⊥平面ABCD；

(2)求异面直线PB与AC所成的角；

(3)求二面角A-PB-D的大小；

(4)在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径。

解　 (1)PC=a，PD=DC=a,

∴△PDC是Rt△，

且PD⊥DC。

同理，PD⊥AD。

而AD∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD。

(2)如图8－7，连BD，∵ABCD是正方形，

∴BD⊥AC。

又∵PD⊥平面ABCD。

∴BD是PB在平面ABCD上的射影。

由三垂线定理，得PB⊥AC。

∴PB与AC成90°角。

(3)设AC∩BD=O，作AE⊥PB于E，连OE。

∵AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD。

∴PD⊥AC。

而PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB，

则OE是AE在平面PDB上的射影。

由三垂线定理逆定理知OE⊥PB，

∴∠AEO是二面角A-PB-D的平面角。

∵PD⊥平面ABCD，DA⊥AB。∴PA⊥AB。

在Rt△PAB中，AE·PB=PA·AB。又AB= a ，AP=a，PB==a，

∴AE=a。 又AO=a

∴sin∠AEO==,∠AEO=60°

∴二面角A-PB-D的大小为60°。

(4)设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面相切，球心为S，连SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个小棱锥，它们的高均为R。

由体积关系，得

V_P-ABCD=R(S_△PDC+ S_△PDA+ S_△PBC+ S_△PAB+ S_{正方形ABCD})

=R(++a²+a² + a²)。

又∵，

∴R(2a²+a²)= a³

∴R==。

例5　 如图8－8，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4，AA₁=8，E、F分别为AD和CC₁的中点，O₁为下底面正方形的中心。求：

(1)二面角C-EB-O₁的正切值；

(2)异面直线EB与O₁F所成角的余弦值；

(3)三棱锥O₁-BEF的体积。

解　 如图8-9，(1)取上底面的中心O， OG⊥EB于G，连OO₁和GO₁。由长方体的性质得OO₁⊥平面ABCD，则由三垂线定理得O₁G⊥EB，

则∠OGO₁为二面角C-EB-O₁的平面角。由已知可求得EB==2。

利用△ABE∽△GEO(图8－10)，可求得OG=。

在Rt△O₁OG中，tan∠O₁GO==4。

(2)在B₁C₁上取点H，使B₁H=1，连O₁H和FH。

易证明O₁H∥EB，则∠FO₁H为异面直线EB与所成角。

又O₁H=BE=，HF==5，

O₁F==2，

∴在△O₁HF中，由余弦定理，得

cos∠FO₁H==

(3)连HB，HE，由O₁H∥EB，得O₁H∥平面BEF。

∴V_O--BEF=V_H-BEF= V_E-BHF=·S_△BHF·AB

∵S_△BHF=32－(1×8+3×4+4×4)=14

_--BEF=×14×4=

例6　 如图8－12，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。

解　 如图8－12，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥P-ABC中，

∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,

∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。

由正弦定理，得　 =2r,∴r=a。

又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，

∴P、O、O′共线，球的半径R=。又PO′===a，

∴OO′=R － a=d=,(R－a)²=R² – (a)²，解得R=a,

∴S_球=4πR²=3πa²。

注　 本题也可用补形法求解。将P-ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略。

例7　 如图8－13所示，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成的角为arccos，求四面体ABCD的体积。

解　 如图8－14，过A引BE的平行线，交CB的延长线于F，则∠DAF是异面直线BE与AD所成的角。

∴∠DAF=arccos

∵E是AC的中点，∴B是CF的中点，且BF=AB=2。∵AB⊥BC=2　

∴AF=2BE=2

∴DF=DA，∵DB⊥BA，DB⊥BF，BF=BA，

则三角形ADF是等腰三角形，

AD=·=，BD==4

故四面体V_ABCD=AB×BC×BD=，因此四面体ABCD的体积是。

例8　 如图8－15，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=5，AD=4，AA₁=3，AB⊥AD，∠A₁AB=∠A₁AD=。

(1)求证：顶点A₁在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；

(2)求这个平行六面体的体积。

解　 (1)如图8－16，连结A₁O，则A₁O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A₁M，A₁N。由三垂线定得得A₁M⊥AB，A₁N⊥AD。∵∠A₁AM=∠A₁AN，

∴Rt△A₁NA≌Rt△A₁MA,∴A₁M=A₁N，

从而OM=ON。　 ∴点O在∠BAD的平分线上。

(2)∵AM=AA₁cos=3×=

∴AO=AMsec=。又在Rt△AOA₁中，

A₁O²=AA₁² – AO²=9 －=,∴A₁O=，

∴平行六面体的体积V=5×4×=30。

例9　 如图8－17，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，点E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC与底面ABCD所成角为45°，AB=a。

(1)求截面EAC的面积；

(2)求异面直线A₁B₁与AC之间的距离；

(3)求三棱锥B₁-EAC的体积。

(1999年全国高考试题)

解　 (1)如图8－18，连结DB交AC于O，连结EO。

∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC。又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。∴∠EOD就是面EAC与底面AC所成的二面角的平面角，∠EOD=45°。

又DO=a, AC=a, EO=asec45°=a,故S_△EAC=a²。

(2)由题设ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC，A₁A⊥AC。又A₁A⊥A₁B₁，∴A₁A是异面直线A₁B₁与AC之间的公垂线。∵D₁B∥面EAC，且面D₁BD与面EAC交线为EO，∴D₁B∥EO。又O是DB的中点，∴E是D₁D的中点，D₁B=2EO=2a。∴D₁D==a，即异面直线A₁B₁与AC之间的距离为a。

(3)法一：如图8－18，连结D₁B，∵D₁D=DB=a,∴四边形BDD₁B₁是正方形。连结B₁D交D₁B于P，交EO于Q。∵B₁D⊥D₁B，EO∥D₁B，∴B₁D⊥EO。又AC⊥EO，AC⊥ED，∴AC⊥面BDD₁B₁，∴B₁D⊥AC，∴B₁D⊥面EAC。则B₁Q是三棱锥B₁-EAC的高。由DQ=PQ得B₁Q= B₁D=a,∴=·a ²·a =a ³。

所以三棱锥B₁-EAC的体积是a ³。

法二：连结B₁O，则∵AO⊥面BDD₁B₁，∴AO是三棱锥A-EOB₁的高，且AO=a。在正方形BDD­₁B₁中，E、O分别是D₁D、DB的中点(如图8－19)，则=a²。=2×× a ²×a=a ³。所以三棱锥B₁-EAC的体积是a ³。

例10　 如图8－20，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点。

(1)证明AD⊥D₁F；

(2)求AE与D₁F所成的角；

(3)证明面AED⊥面A₁FD₁；

(4)设AA₁=2，求三棱锥F-A₁ED₁的体积。

(1997年全国高考数学试题)

解　 (1)∵多面体AC₁是正方体，∴AD⊥面DC₁。又D₁F面DC₁，∴AD⊥D₁F。

(2)如图8－21，取AB的中点G，连结A₁G，FG。因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，故GFD₁A₁是平行四边形，A₁G∥D₁F。设A₁G与AE相交于点H，则∠AHA₁是 AE与D₁F所成的角。因为E是BB₁的中点，所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE,∠GA₁A=∠GAH，从而∠AHA₁=90°，即直线AE与D₁F所成角为直角。

(3)由(1)知AD⊥D₁F，由(2)知AE⊥D₁F，又AD∩AE=A，所以D₁F⊥面AED。又因为D₁F面A₁FD₁，所以面AED⊥面A₁FD₁。

(4)连结EG，GD₁，∵FG∥A₁D₁，∴FG∥面A₁ED₁，∴体积

∵AA₁=2，∴=。∴=×A₁D₁×=×2×=1。

5．关于组合体体积的计算问题。

有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。

构成组合体的方式一般有两种：其一是由几个简单几何体堆积而成，其体积就等于这几个简单几何体体积之和；其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成，其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。

因此，组合体体积的求法，即为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。