3.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直。

其中正确命题的个数为(　　 )

A.0　　　　　　　　　　　 B.1　　　　　　　　　　　 C.2　　　　　　　　　　　 D.3

2.如图7-21，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF为异面直线A₁D和AC的公垂线，则直线EF与BD₁的关系是(　　 )

A.异面直线　　　　　　　　　　　　　　　　 B.平行

C.相交且垂直　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.相交且不垂直

1.如图7-20，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是(　　 )

5.求角与距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如下：

(1)求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。

(2)求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。

(3)求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角θ，构造一个含θ的三角形，解三角形即可。方法二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ。

(4)求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点(斜足)，然后在直线上取一点(除斜足外)作平面的垂线，再连接垂足和斜足(即得直接在平面内的射影)，最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。

(5)求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角的平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：①根据定义作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平面角；③利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角先作出棱后同上进行。间接法主要是投影法：即在一个平面α上的图形面积为S，它在另一个平面β上的投影面积为S′，这两个平面的夹角为θ，则S′=Scosθ。

求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。如求二面角，只有根据推理过程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。因此，求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。

[例题解析]

例1　 如图7-1，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H、L、M、N分别为A₁D₁，A₁B₁，BC，CD，DA，DE，CL的中点。

(1)求证：EF⊥GF；

(2)求证：MN∥平面EFGH；

(3)若AB=2，求MN到平面EFGH的距离。

解　 (1)如图7-2，作GQ⊥B₁C₁于Q，连接FQ，则GQ⊥平面A₁B₁C₁D₁，且Q为B₁C₁的中点。

在正方形A₁B₁C₁D₁中，由E、F、Q分别为A₁D₁、A₁B₁、B₁C₁的中点可证明EF⊥FQ，由三垂线定理得EF⊥GF。

(2)连DG和EG。

∵N为CL的中点，由正方形的对称性，N也为DG的中点。在△DEG中，由三角形中位线性质得MN∥EG，又EG平面EFGH，MN平面EFGH，

∴MN∥平面EFGH。

(3)图7-3为图7-2的顶视图。连NH和NE。设N到平面EFGH的距离为h，

∵V_E-NGH=V_N-HEG

∴·AA₁·S_△NHG=·h·S_△HEG

2·=h··EH·HG

又∵EH==,HG=

∴　 =h···

h=

例2　 如图7-4，已知△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB，且AD=1，BD=2，△ACD绕CD旋转至A′CD，使点A′与点B之间的距离A′B=。

(1)求证：BA′⊥平面A′CD；

(2)求二面角A′－CD－B的大小；

(3)求异面直线A′C与BD所成的角的余弦值。

解　 (1)∵CD⊥AB，

∴CD⊥A′D，CD⊥DB，

∴CD⊥平面A′BD，

∴CD⊥BA′。

又在△A′DB中，A′D=1，DB=2，A′B=，

∴∠BA′D=90°，即BA′⊥A′D，

∴BA′⊥平面A′CD。

(2)∵CD⊥DB，CD⊥A′D，

∴∠BDA′是二面角A′-CD-B的平面角。

又Rt△A′BD中，A′D=1，BD=2，

∴∠A′DB=60°，

即　 二面角A′-CD-B为60°。

(3)过A′作A′E∥BD，在平面A′BD中作DE⊥A′E于E，连CE，则∠CA′E为A′C与BD所成角。

∵CD⊥平面A′BD，DE⊥A′E，∴A′E⊥CE。

∵EA′∥AB，∠A′DB=60°，∴∠DA′E=60°，

又A′D=1，∠DEA′=90°，

∴A′E=

又∵在Rt△ACB中，AC==

∴A′C=AC=

∴Rt△CEA′中，cos∠CA′E===,

即异面直线A′C与BD所成角的余弦值为。

例3　 已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC。

(1)求三棱锥P-ABC的体积V；

(2)作出点A到平面PBC的垂线段AE，并求AE的长；

(3)求二面角A-PC-B的大小。

解　 (1)∵PA⊥平面ABC，PB=PC，由射影定理得，AB=AC=4。

∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC。

在Rt△PAC中，可求出PC=5。

则PB=BC=5。

取BC中点D，连AD。

在等腰△ABC中，求出底边上的高AD=。

∴V=··5··3=。

(2)连PD，则PD⊥BC，又AD⊥BC，

∴BC⊥平面PAD。

又BC平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC。

作AE⊥PD于E，则AE⊥平面PBC，AE为点A到平面PBC的垂线段。

在Rt△PAD中，由PA·AD=AE·PD，

得3·=AE·，

求出AE=。

(3)作AF⊥PC于F，连EF，由三垂线定理逆定理，得EF⊥PC，

∴∠AFE为二面角A-PC-B的平面角。

在Rt△PAC中，由PA·AC=PC·AF，即3·4=5·AF，求出AF=，

∴sin∠AFE==·=，

则∠AFE=arcsin。

例4　 如图7-7，已知三棱柱A₁B₁C₁-ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A₁A与AB，AC均成45°角，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥CC₁于F。

(1)求证：平面A₁EF⊥平面B₁BCC₁；

(2)求点A到平面B₁BCC₁的距离；

(3)当AA₁多长时，点A₁到平面ABC与平面B₁BCC₁的距离相等？

解　 (1)已知A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥C₁C于F，

且∵B₁B∥C₁C，∴ B₁B⊥A₁F。

又A₁E∩A₁F=A₁，∴B₁B⊥平面A₁EF。

∴平面A₁EF⊥平面B₁BCC₁。

(2)因为∠A₁B₁B=∠A₁AB=∠A₁AC=∠A₁C₁C=45°，

A₁B₁=A₁C₁，∠A₁EB₁=∠A₁FC₁=90°，A₁B₁=2，

∴Rt△A₁B₁E≌Rt△A₁C₁F， A₁E=A₁F=，

∴B₁E∥C₁F，∴EF=B₁C₁=2，

∴A₁E²+A₁F²=EF²，

∴△A₁EF为等腰直角三角形，

取EF的中点N，连A₁N，则A₁N⊥EF，

∵A₁N⊥平面B₁BCC₁，

∵A₁N为点A₁到平面B₁BCC₁的距离。

又有A₁N=EF=1，

所以点A₁到平面B₁BCC₁的距离为1。

(3)如图7-8，设BC、B₁C₁的中点分别为D、D₁，连AD，DD₁和A₁D₁，则N∈DD₁。

∵DD₁∥BB₁∥AA₁，∴A，A₁，D，D₁四点共面，∴AD∥A₁D₁，

∴A₁ADD₁为平行四边形。

∵B₁C₁⊥A₁D₁，A₁N⊥平面BCC₁B₁，

∴B₁C₁⊥D₁D，又B₁C₁⊥A₁N，

∴B₁C₁⊥平面ADD₁A₁，

∴BC⊥平面ADD₁A₁，

∴平面A₁ADD₁⊥平面ABC。

作A₁M⊥平面ABC于M，则点M在AD上。

若A₁M=A₁N，又∠A₁AD=∠A₁D₁D，∠A₁MA=∠A₁ND₁=90°,

则有Rt△A₁MA≌Rt△A₁ND₁，

于是A₁A=A₁D₁=。

即当A₁A=时，点A₁到平面ABC和平面B₁BCC₁的距离相等。

例5　 如图7-9，已知：PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD∶DC∶BC=1∶1∶。

(1)求PB与平面PDC所成角的大小；

(2)求二面角D-PB-C的正切值；

(3)若AD=BC，求证平面PAB⊥平面PBC。

解　 (1)由PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，得PD⊥BC。

由AD⊥DC，AD∥BC，得BC⊥DC。

又PD∩DC=D，则BC⊥平面PDC。

所以∠BPC为直线PB与平面PDC所成的角。

令PD=1，则DC=1，BC=，可求出PC=。

由BC⊥平面PDC，PC平面PDC，得BC⊥PC。

在Rt△PBC中，由PC=BC得∠BPC=45°，

即直线PB与平面PDC所成的角为45°。

(2)法一：

如图7-10，取PC中点E，连DE， 则DE⊥PC。

由BC⊥平面PDC，BC平面PBC，

得平面PDC⊥平面PBC。

则DE⊥平面PBC。

作EF⊥PB于F，连DF，

由三垂线定理，得DF⊥PB。

则∠DFE为二面角D-PB-C的平面角。

在Rt△PDC中，求得DE=。

在Rt△PFE中，求得EF=。

在Rt△DEF中，tan∠DFE==。

即二面角D-PB-C的正切值为。

法二：

由PD⊥平面ABCD，PD平面PDB，

得平面PDB⊥平面ABCD。

如图7-11，作CH⊥BD于H，则CH⊥平面PDB。

作HF⊥PB于F，连CF，

由三垂线定理得CF⊥PB。

则∠CFH为二面角D-PB-C的平面角。

在等腰Rt△PBC中，求出斜边上的中线CF=1。

在Rt△DBC中，求出DB==，

可进一步求出斜边上的高CH=。

在Rt△FHC中，求出HF=，∴tan∠HFC==，

即二面角D-PB-C的正切值是。

(3)如图7-12，取PB中点G，连AG和EG。

由三角形中位线定理得GE∥BC，GE=BC。

由已知，AD∥BC，AD=BC。∴AD=GE，AD∥GE。

则四边形AGED为平行四边形，

∴AG∥DE。

由(2)的解法(一)，已证出DE⊥平面PBC，∴AG⊥平面PBC。

又AG平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBC。

例6　 如图7-13，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M，N分别是AB，PC的中点，

(1)求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小；

(2)求证：MN⊥平面PCD；

(3)当AB的长度变化时，求异面直线PC与AD所成角的可能范围。

解　 (1)PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD。

故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角。

在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°。

(2)如图7-14，取PD中点E，连结AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点，

∴EN∥CD∥AB　 ∴AMNE是平行四边形

∴MN∥AE。

在等腰Rt△PAD中，AE是斜边的中线。

∴AE⊥PD。

又CD⊥AD，CD⊥PD　 ∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥AE，

又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD。

∴MN⊥平面PCD。

(3)∵AD∥BC，

所以∠PCB为异面直线PC，AD所成的角。

由三垂线定理知PB⊥BC，设AB=x(x>0)。

∴tan∠PCB==。

又∵∈(0，∞)，∴tan∠PCB∈(1，+∞)。

又∠PCB为锐角，∴∠PCB∈(，)，

即异面直线PC，AD所成的角的范围为(，)。

例7　 如图7-15，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长都等于a,D、E分别是AC₁、BB₁的中点，

(1)求证：DE是异面直线AC₁与BB₁的公垂线段，并求其长度；

(2)求二面角E-AC₁-C的大小；

(3)求点C₁到平面AEC的距离。

解　 (1)过D在面AC₁内作FG∥A₁C₁分别交AA₁、CC₁于F、G，则面EFG∥面ABC∥面A₁B₁C₁，

∴△EFG为正三角形，D为FG的中点，ED⊥FG。

连AE，　 ∵D、E分别为的中点，

∴　 。又∵面EFG⊥BB₁，

∴ED⊥BB₁，故DE为AC₁和BB₁的公垂线，计算得DE=a。

(2)∵AC=CC₁，D为AC₁的中点，∴CD⊥AC₁，又由(1)可知，ED⊥AC₁，∴∠CDE为二面角E-AC₁-C的平面角，计算得∠CDE=90°。或由(1)可得DE⊥平面AC₁，∴平面AEC₁⊥平面AC₁，∴二面角E-AC₁-C为90°。

(3)用体积法得点C₁到平面ACE的距离为a。

例8　 如图7-16，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都是2，侧棱与底面成60°的角，且侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，

(1)求证：B₁C⊥C₁A；

(2)求二面角C₁-AB-C的大小；

(3)求三棱锥B₁-ABC₁的体积。

解　 (1)作B₁D⊥AB于D，

∵侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，

又B₁D面ABB₁A₁，

∴B₁D⊥底面ABC。

∴∠B₁BA=60°。

故△ABB₁是正角形。

∴D是AB的中点。

连CD，又△ABC是正三角形，

∴CD⊥AB。又CD是B₁C在平面ABC上的射影，

∴B₁C⊥AB。

又∵BB₁C₁C是菱形，∴B₁C⊥BC₁。

又∵AB∩BC₁=B，∴B₁C⊥面ABC₁。

又∵AC₁面ABC₁，∴B₁C⊥C₁A。

(2)∵2ACC₁A₁是菱形，

∴C₁A⊥A₁C。

又∵B₁C∩A₁C=C，且由(1)知，∴C₁A⊥面A₁B₁C。

∴C₁A⊥A₁B₁。又AB∥A₁B₁。

∴C₁A⊥AB。

连DE，则DE∥C₁A，∴DE⊥AB。

又CD⊥AB，∴∠CDE是二面角C₁-AB-C的平面角。

在△CDB₁中，CD=B₁D=，∠CDB₁是直角，

且DE平分∠CDB₁，∴∠CDE=45°。

(3)由(1)已证B₁C⊥面ABC₁，

∴B₁E是三棱锥B₁-ABC₁的高，且B₁E==，

又∵DE=B₁E=，

∴S_△ABC=AB×AC₁=AB×DE=2×=，

∴V=S_△ABC·B₁E=··=1。

例9　 如图7-17，已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，D是AC的中点。

(1)证明AB₁∥DBC₁；

(2)假设AB₁⊥BC₁，BC=2。

求线段AB₁在侧面B₁BCC₁上的射影长。

解　 (1)如图7-18，∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，

∴四边形B₁BCC₁是矩形。

连结B₁C，交BC₁于E，则BE=EC。

连结DE。在△AB₁C中，∵AD=DC，

∴DE∥AB₁，又AB₁平面DBC₁，

DE平面DBC₁，∴AB₁∥平面DBC₁。

(2)作AF⊥BC，垂足为F。因为面ABC⊥面B₁BCC₁，

∴AF⊥平面B₁BCC₁。连结B₁F，则B₁F是AB₁在平面B₁BCC₁内的射影。∵BC₁⊥AB₁，∴BC₁⊥B₁F。∵四边形B₁BCC₁是矩形，∴∠B₁BF=∠BCC₁=90°，又∠FB₁B=∠C₁BC，∴△B₁BF∽△BCC₁，

则==。又F为正三角形ABC的BC边中点，因而B₁B²=BF·BC=1×2=2。于是B₁F²=B₁B²+BF²=3，∴B₁F=，即线段AB₁在平面B₁BCC₁内的射影长为。

例10　 如图7-19(a)，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠BCD=60°。

(1)证明：C₁C⊥BD；

(2)假定CD=2，C₁C=，记面C₁BD为α，面CBD为β，求二面角α-BD-β的平面角的余弦值；

(3)当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明。(2000年全国高考题)。

解　 如图7-19(b),(1)连结A₁C₁、AC，设AC和BD交于O，连 C₁O。

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD。

又∵∠BCC₁=∠DCC₁，C₁C=C₁C，∴△C₁BC≌△C₁DC，

∴C₁B=C₁D，∵DO=OB，∴C₁O⊥BD，又∵AC⊥BD，

AC∩C₁O=O，∴BD⊥平面AC₁，又C₁C平面AC₁，

∴C₁C⊥BD。

(2)由(1)知AC⊥BD，C­₁O⊥BD，∴∠C₁OC是二面角α-BD-β的平面角。在△C₁BC中，BC=2，C₁C=，∠BCC₁=60°，∴C₁B²=2²+()² –2×2××cos60°=。

∵∠OCB=30°，∴OB=BC=1，∴C₁O²=C₁B²-OB²=-1=，∴C₁O=，即C₁O=C₁C。作C₁H⊥OC，垂足为H，则点H是OC的中点，且OH=，所以cos∠C₁OC==。

(3)当=1时，能使A₁C⊥平面C₁BD。

证明一：∵=1，∴BC=CD=C₁C，又∠BCD=∠C₁CB=∠C₁CD，由此可推得BD=C₁B=C₁D。

∴三棱锥C-C₁BD是正三棱锥。 设A₁C与C₁O相交于G。∵A₁C₁∥AC，且A₁C₁∶OC=2∶1，∴C₁G∶GO=2∶1。又C₁O是正三角形C₁BD的BD边上的高和中线，∴点G是正三角形C₁BD的中心，∴CG⊥平面C₁BD，即A₁C⊥平面C₁BD。

证明二：由(1)知，BD⊥平面AC₁，又A₁C平面A₁C₁，∴BD⊥A₁C。当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD⊥A₁C的证法可得BC₁⊥A₁C。又BD∩BC₁=B，∴A₁C⊥平面C₁BD。

4.在直接证明有困难时，可考虑间接证法，如同一法和反证法。

3.注意下面的转化关系：

2.注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化。

1.用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。

3.空间元素间的数量关系

(1)角

①相交直线所成的角；

②异面直线所成的角--转化为相交直线所成的角；

③直线与平面所成的角--斜线与斜线在平面内射影所成的角；

④二面角--用二面角的平面角来度量。

(2)距离

①两点之间的距离--连接两点的线段长；

②点线距离--点到垂足的距离；

③点面距离--点到垂足的距离；

④平行线间的距离--平行线上一点到另一直线的距离；

⑤异面直线间的距离--公垂线在两条异面直线间的线段长；

⑥线面距离--平行线上一点到平面的距离；

⑦面面距离--平面上一点到另一平面的距离；

⑧球面上两点距离--球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。

2.平行、垂直位置关系的转化