1.(北京市朝阳区2009年4月高三一模理)各项均不为零的等差数列中,若,则等于 ( )
A.0 B.2 C.2009 D.4018
答案 D
2009年联考题
27.(2005福建)已知{}是公比为q的等比数列,且成等差数列.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)设{}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.
解:(Ⅰ)由题设
(Ⅱ)若
当 故
若
当
故对于
26.(2005北京)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,,n=1,2,3,……,求
(I)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式;
(II)的值.
解:(I)由a1=1,,n=1,2,3,……,得
,,,
由(n≥2),得(n≥2),
又a2=,所以an=(n≥2),
∴ 数列{an}的通项公式为
25..(2008湖北).已知数列和满足:
,其中为实数,为正整数.
(Ⅰ)对任意实数,证明数列不是等比数列;
(Ⅱ)试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;
(Ⅲ)设,为数列的前项和.是否存在实数,使得对任意正整数,都有
?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想,考查综合分析问题的能力和推理认证能力,(满分14分)
(Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有a22=a1a3,即
矛盾.
所以{an}不是等比数列.
(Ⅱ)解:因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+21]=(-1)n+1(an-2n+14)
=(-1)n·(an-3n+21)=-bn
又b1x-(λ+18),所以
当λ=-18,bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列:
当λ≠-18时,b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0,∴(n∈N+).
故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18,故知bn= -(λ+18)·(-)n-1,于是可得
Sn=-
要使a<Sn<b对任意正整数n成立,
即a<-(λ+18)·[1-(-)n]〈b(n∈N+)
①
当n为正奇数时,1<f(n)
∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,
于是,由①式得a<-(λ+18),<
当a<b3a时,由-b-18=-3a-18,不存在实数满足题目要求;
当b>3a存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a<Sn<2.
24.(2008江西卷)数列为等差数列,为正整数,其前项和为,数列为等比数列,且,数列是公比为64的等比数列,.
(1)求;
(2)求证.
解:(1)设的公差为,的公比为,则为正整数,
,
依题意有①
由知为正有理数,故为的因子之一,
解①得
故
(2)
∴
23.(2008四川卷). 设数列的前项和为,已知
(Ⅰ)证明:当时,是等比数列;
(Ⅱ)求的通项公式
解 由题意知,且
两式相减得
即 ①
(Ⅰ)当时,由①知
于是
又,所以是首项为1,公比为2的等比数列。
(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知,即
当时,由由①得
因此
得
22.(2006湖南)数列满足:,2,3….则 .
答案
解析 数列满足: ,2,3…,该数列为公比为2的等比数列,
∴ .
21.(2007北京)若数列的前项和,则此数列的通项公式为 ;数列中数值最小的项是第 项.
答案
20.(2007江西)已知等差数列的前项和为,若,则 .
答案 7
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