4.构造二次式
3.赋值法
所谓赋值法是指在二项展开公式两边用特殊值代入,得出某些等式及组合数的性质。解决与二项式系数相关的问题。
2.解排列、组合题的基本策略与方法
(1)去杂法
对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
(2)分类处理
某些问题总体不好解决时,常常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。这是解排列组合问题的基本策略之一。注意的是:分类不重复不遗漏,即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。
(3)分步处理
与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步,其原则是先分类,后分步。
(4)插入法(插空法)
某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素,然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。
(5)“捆绑”法
把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最后再“松绑”。将特殊元素在这些位置上全排列,即是“捆绑法”。
(6)穷举法:
将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。
(7)探索法:
对于复杂的情况,不易发现其规律的问题,需仔细分析,从特殊到一般,或一般到特殊,探索出其中规律,再给予解决。
(8)消序处理
对均匀分组问题的解决,一定要区分开是“有序分组”还是“无序分组”,若是“无序分组”,一定要清除均匀分组无形中产生的有序因素。
(9)“住店”法
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店”法。
(10)等价命题转换法
将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题。这是解数学题的主要思想方法之一,也是解较难的排列、组合题的重要策略。
1.解排列组合应用题的基本规律
(1)分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种:①单独使用;②联合使用。
(2)将具体问题抽象为排列问题或组合问题,是解排列组合应用题的关键一步。
(3)对于带限制条件的排列问题,通常从以下三种途径考虑:
①元素分析法:先考虑特殊元素要求,再考虑其他元素。
②位置分析法:先考虑特殊位置的要求,再考虑其他位置。
③整体排除法:先算出不带限制条件的排列数,再减去不满足限制条件的排列数。
(4)对解组合问题,应注意以下三点:
①对“组合数”恰当的分类计算,是解组合题的常用方法。
②是用“直接法”还是“间接法”解组合题,其原则是“正难则反”。
③设计“分组方案”是解组合题的关键所在。
6.二项式的应用
(1)求某些多项式系数的和。
(2)证明一些简单的组合恒等式。
(3)证明整除性。①求数的末位;②数的整除性及求系数;③简单多项式的整除问题。
(4)近似计算。当|x|充分小时,我们常用下列公式估计近似值:
①(1+x)n≈1+nx
②(1+x)n≈1+nx+x2
(5)证明不等式。
5.二项式定理
(1)二项式展开公式
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn
(2)通项公式:二项式展开式中第k+1项的通项公式是
Tk+1=Cnkan-kbk
4.组合
(1)组合的定义,排列与组合的区别
(2)组合数公式:Cnm==
(3)组合数的性质
①Cnm=Cnn-m
②
③rCnr=n·Cn-1r-1
④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n
⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0
即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1
3.排列
(1)排列定义,排列数
(2)排列数公式:系 ==n·(n-1)…(n-m+1)
(3)全排列列: =n!
(4)记住下列几个阶乘数:1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720
2.两个基本原理
(1)分类计数原理中的分类。
(2)分步计数原理中的分步。
正确地分类与分步是学好这一章的关键。
1.排列、组合、二项式知识相互关系表
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