2009年高考题

19.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．

　(Ⅰ)求角A；

(Ⅱ)若m，n，试求|mn|的最小值．

解：(Ⅰ)，………………………………3分

即，

∴，

∴． ………………………………………………5分

∵，

∴．………………………………………………………………7分

(Ⅱ)mn ，

|mn|． 10分

∵，∴，∴．

从而．…………………………………………12分

∴当＝1，即时，|mn|取得最小值．……………………13分

所以|mn|．………………………………………………………………14分

18.(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，α∈()，且a⊥b．

(1)求tanα的值；

　(2)求cos()的值．

解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0．而a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，

故a·b＝6sin²α+5sinαcosα－4cos²α＝0．

由于cosα≠0，∴6tan²α+5tanα－4 ＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．

∵α∈()，tanα＜0，故tanα＝(舍去)．∴tanα＝－．

(2)∵α∈()，∴．

由tanα＝－，求得，＝2(舍去)．

∴，

cos()＝

　　 ＝ ＝．

17.(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知A、B、C的坐标分别为A(4，0)，B(0，4)，C().

(Ⅰ)若，且，求角的大小；

(Ⅱ)若，求的值。

解、(Ⅰ)由已知得：

则　　　　 因为 　　　　　　　　　　…… …5分

(Ⅱ)由

得　 平方得　 　　　　　　　　　　　　………..8分

而--10分

16.(河北衡水中学2008年第四次调考)已知向量＝(cosx,sinx),＝(，)，若·＝，且＜x＜,的值.

解：　 …………2分

∵ ……4分

　 …………6分

∴ 　…………10分

15.(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)已知函数f(x)＝2sinxcosx+cos2x.

　 (Ⅰ)求f ()的值；

　 (Ⅱ)设∈(0，)，f ()＝，求cos2的值.

解：(Ⅰ)∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f()=sin+cos=1………5分

(Ⅱ)∵f()=sinα+cosα=,∴1+sin2α=, sin2α=,……7分

∴cos2α=∵α∈(0，π)∴2α∈(π，π) ∴cos2α<0.

故cos2α=……10分

14.(广东省2008届六校第二次联考)已知向量, , .

(Ⅰ)求的值;　

(Ⅱ)若, , 且, 求.

解:(Ⅰ), ,　

.

, 　　,

即　 ,　 .

(Ⅱ),

,

, ,

.

13.(北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知函数．

(Ⅰ)若，求的最大值和最小值；

(Ⅱ)若，求的值．

解：(Ⅰ)

．…………………………3分

又，， ，

．…………………………6分

(II)由于，所以

解得 …………………………8分

12.(2008广东高三地区模拟)如图A、B是单位圆O上的点，且在第二象限. C是圆与轴正半轴的交点，A点的坐标为，△AOB为正三角形.

(Ⅰ)求；　

(Ⅱ)求.

　 解：(1)因为A点的坐标为，根据三角函数定义可知---4分

(2)因为三角形AOB为正三角形，所以，

，，　　　 -----------------------------6分

所以=

　　 -------------------------10分

=.　　 --------------------------------------12分

理(Ⅱ)求的值．

解：(Ⅱ)因为三角形为正三角形，所以，，，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……5分

所以

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

所以

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

11.(2008年高三名校试题汇编)设，其，a与c的夹角为，b与c的夹角为，且，求的值．

解　 a=(2cos²,2sincos)=2cos(cos,sin),

b=(2sin²,2sincos)=2sin(sin,cos),

∵α∈(0,π),β∈(π,2π),　 ∴∈(0, ),∈(,π)，故|a|=2cos,|b|=2sin,

,

，

∵0<<,∴=,

又－=,

∴－+=,故=－,

∴sin=sin(－)=－.