1、范围

因为，由方程可知，这条抛物线上的点的坐标满足不等式，所以这条抛物线在轴的右侧；当的值增大时，||也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

例1 (1)(口答)已知抛物线标准方程是，则它的焦点坐标为，

准线的方程为

　解：(1)

p＝3，焦点坐标是(，0)准线方程是x＝－．

即学即练1

(2)(口答)已知抛物线的焦点坐标是(2，0)，则它的标准方程是。

解：焦点在轴的正半轴上，设抛物线标准方程是

因为焦点坐标是(2，0)

所以＝2，

所求抛物线的标准方程是．

即学即练2

(3)(口答)已知抛物线的准线方程是x＝－,则它的标准方程是。

解：因为抛物线的准线方程是x＝－,所以焦点在轴的正半轴上，

设抛物线标准方程是

所以＝2，

所求抛物线的标准方程是．

即学即练3

(4) 点与点(4,0)的距离和它到直线的距离相等，求点的轨迹方程

()

(5)点与点(4,0)的距离比它到直线的距离小1，求点的轨迹方程

解法一：可知原条件M点到F(4，0)和到x＝－4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F(4，0)为焦点，x＝－4为准线的抛物线．

∴所求方程是

解法二:用直接法求点的轨迹方程

(四)数形结合思考：

在方程中，因为一次项系数为_____，可以得到焦点坐标_________，可以说：一次项系数是，则交点在轴上，且焦点的横坐标等于一次项的系数的四分之一，同时也可以得到准线方程___________。反之，如果已知焦点的坐标是(,0)，可以写出，抛物线方程____________；同理，如果已知准线方程是，也可以写出，抛物线方程____________。

(三) 探究二：抛物线的标准方程

问题1：坐标系应如何建立：

(1)　　　 以定直线为轴，过做定直线的垂线为轴；

(2)　　　 过做定直线的垂线为轴，以抛物线与轴交点为原点，再画出轴

分析上两方案哪一个更好些？

问题2：抛物线的标准方程的推导：

如图所示，取经过点且垂直的直线为轴，垂足为。以的中点为原点，建立直角坐标系系，设||=(>0),

那么焦点的坐标为，准线的方程为，

设抛物线上的点，动点满足的几何条件是

则有

化简方程得

方程叫做抛物线的标准方程

它表示的抛物线的焦点在轴的正半轴上，焦点坐标是(,0)，它的准线方程是。

(二) 抛物线的定义

1、定义:平面内与一个定点F和一条不经过定点F的定直线的距离_____(相等)的点的轨迹叫做_______(抛物线)

定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线

2、定义深化:

(1)定直线不经过定点F

(2)定点F到定直线的距离记为(>0)

3、注意两个距离相等,可互相转换

(一)探究一：抛物线的定义

问题：当时，在平面内与一定点的距离和一条定直线的距离的比是常数＝1的点的轨迹是什么？

同学们自己动手画　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 l

(1)平面内一个定点F和一条不经过定点F的定直线

(2)在直线上任取点H，过点H作　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　·F

(3)作线段的垂直平分线，交于

探究思考：当点H在直线上运动时，的大小关系？

当点H在直线上运动时，总有___________()，即动点M到定点F的距离和到定直线的距离____(相等)

(5)动点M的轨迹是__________(一条抛物线)

椭圆和双曲线的有共同的几何特征：都可以看作是，在平面内与一定点的距离和一条定直线的距离的比是常数 的点的轨迹。(其中定点不在直线上)

当时，轨迹是椭圆；当时，轨迹是双曲线。

(1)范围

(2)对称性

(3)顶点

(4)离心率

(5)通径

(6)光学性质

(1)已知点A与抛物线的焦点的距离是, 则　　　　 　　　　　　　　　　

(2)抛物线的弦AB垂直轴，若|AB|=, 则焦点到AB的距离为　　　　 　

(3)已知直线与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是　　 __

例1.已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点，并且经过点,求它的标准方

程,并用描点法画出图形.

　　 解法一:

解法二:

例2.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为

,灯深,求抛物线的标准方程和焦点位置.