5．几个常用结论：1)过椭圆上一点P(x₀, y₀)的切线方程为

；

2)斜率为k的切线方程为；

3)过焦点F₂(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为

。

4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆1(a>b>0), F₁(-c, 0), F₂(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF₁|=a+ex, |PF₂|=a-ex.

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆

，

a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为，与右焦点对应的准线为；定义中的比e称为离心率，且，由c²+b²=a²知0<e<1.

椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨迹，即|PF₁|+|PF₂|=2a (2a>|F₁F₂|=2c).

第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹(其中定点不在定直线上)，即

(0<e<1).

第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c₁: x²+y²=a², c₂: x²+y²=b², a, b∈R⁺且a≠b。从原点出发的射线交圆c₁于P，交圆c₂于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。

2 椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为

　 (a>b>0)，

参数方程为(为参数)。

若焦点在y轴上，列标准方程为

　 (a>b>0)。

6．在坐标平面内，一圆交x轴正半径于R，S，过原点的直线l₁,l₂都与此圆相交，l₁交圆于A，B，l₂交圆于D，C，直线AC，BD分别交x轴正半轴于P，Q，求证：

5．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线l₁,l₂,…，l_n，…的直线族，它满足条件：(1)点(1,1)∈l_n,n=1,2,3,…；(2)k_n+1≥a_n-b_n，其中k_n+1是l_n+1的斜率，a_n和b_n分别是l_n在x轴和y轴上的截距，n=1,2,3,…；(3)k_nk_n+1≥0, n=1,2,3,….并证明你的结论。

4．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点，试证：存在一个同心圆的集合，使得：(1)每个整点都在此集合的某一圆周上；(2)此集合的每个圆周上，有且只有一个整点。

3．在直角坐标平面内给定凸五边形ABCDE，它的顶点都是整点，求证：见图10-8，A₁，B₁，C₁，D₁，E₁构成的凸五边形内部或边界上至少有一个整点。

2．给定矩形Ⅰ(长为b，宽为a)，矩形Ⅱ(长为c、宽为d)，其中a<d<c<b，求证：矩形Ⅰ能够放入矩形Ⅱ的充要条件是：(ac-bd)²+(ad-bc)²≥(a²-b²)².

1．设点P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20上任意一点，求x²-xy+y²的最大值、最小值。