1．复数的定义：设i为方程x²=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi(a,b∈R)的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。

2　 复数的几种形式。对任意复数z=a+bi(a,b∈R)，a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e^iθ表示cosθ+isinθ，则z=re^iθ，称为复数的指数形式。

3．已知x,y∈(0,1)求证：x^y+y^x>1.

2．当0<a≤b≤c≤d时，求f(a,b,c,d)=的最小值。

1．证明下列不等式：(1)；

(2)。

11.若函数g_A(x)的定义域A=[a,b)，且g_A(x)=,其中a,b为任意的正实数，且a<b，(1)求g_A(x)的最小值；

(2)讨论g_A(x)的单调性；

(3)若x₁∈I_k=[k²,(k+1)²],x₂∈I_k+1=[(k+1)²,(k+2)²]，证明：

10.(1)设函数f(x)=xlog₂x+(1-x)log₂(1-x) (0<x<1)，求f(x)的最小值；(2)设正数p₁,p₂,…,满足p₁+p₂+p₃+…+=1，求证：p₁log₂p₁+p₂ log₂p₂+…+log₂≥-n.

9.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0<a<b，证明：0<g(a)+g(b)-<(b-a)ln2.

8．已知f(x)=ln(e^x+a)(a>0)，若对任意x∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式|m-f^-1(x)|+ln[]<0恒成立，则实数m取值范围是_________.

7．当x∈(1,2]时，f(x)=恒成立，则y=lg(a²-a+3)的最小值为_________.

6．已知在(a,3-a²)上有最大值，则a的取值范围是_________.