定义1　 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2　 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量)，规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1　 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2　 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f

定理3　 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。

定义3　 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则(x, y)叫做c坐标。

定义4　 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影(注：投影可能为负值)。

定理4　 平面向量的坐标运算：若a=(x₁, y₁), b=(x₂, y₂)，

1．a+b=(x₁+x₂, y₁+y₂), a-b=(x₁-x₂, y₁-y₂)，

2 λa=(λx₁, λy₁), a·(b+c)=a·b+a·c，

9．设P是△ABC内一点，点P至BC，CA，AB的垂线分别为PD，PE，PF(D，E，F是垂足)，求证：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。

8．设四边形ABCD内接于圆，BA和CD延长后交于点R，AD和BC延长后交于点P，A，B，C指的都是△ABC的内角，求证：若AC与BD交于点Q，则

7．已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d，外接圆半径为R，如果a²+b²+c²+d²=8R²，试问对此四边形有何要求？

6．AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，已知PAQ=QAR=RAS，求证：AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS)。

5．已知等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E和F分别在AB和CD上，求证：AFB=90⁰的充要条件是AD+BC=CD。

4．已知凸五边形ABCDE，其中ABC=AED=90⁰，BAC=EAD，BD与CE交于点O，求证：AOBE。

3．已知△ABC，其中BC上有一点M，且△ABM与△ACM的内切圆大小相等，求证：，此处(a+b+c), a, b, c分别为△ABC对应三边之长。

2．设四边形ABCD的对角线交于点O，点M和N分别是AD和BC的中点，点H₁，H₂(不重合)分别是△AOB与△COD的垂心，求证：H₁H₂MN。

1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圆以BC的中点为圆心，且与两腰AB和AC分别相切于点D和G，EF与半圆相切，交AB于点E，交AC于点F，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，两垂线相交于P，作PQBC，Q为垂足。求证：，此处=B。