4．设s, t为非零实数，a, b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为__________.

3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，则|x|+|y|=__________.

2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：①；②；③ ；④与，相等的有__________.

1．以下命题中正确的是__________. ①a=b的充要条件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，则b=c；④若a, b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m, y=n；⑤若，且a, b共线，则A，B，C，D共线；⑥a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影为-4。

4．向量的坐标运算。

例7　 已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。

3．利用数量积证明垂直。

例5　 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.

例6　 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OECD。

2．证利用定理2证明共线。

例4　 △ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线

，且OG：GH=1：2。

1．向量定义和运算法则的运用。

例1　 设O是正n边形A₁A₂…A_n的中心，求证：

例2　 给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是

例3　 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB²+BC²+CD²+DA²=AC²+BD²+4PQ²。

4. a//bx₁y₂=x₂y₁, abx1x2+y₁y₂=0.

定义5　 若点P是直线P₁P₂上异于p₁，p₂的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P₁，P，P₂的坐标分别为(x₁, y₁), (x, y), (x₂, y₂)，则

定义6　 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。

定理5　 对于任意向量a=(x₁, y₁), b=(x₂, y₂), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.

[证明]　 因|a|²·|b|²-|a·b|²=-(x₁x₂+y₁y₂)²=(x₁y₂-x₂y₁)²≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量，a=(x₁, x₂,…,x_n)，b=(y₁, y₂, …, y_n)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式： (x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n)²≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量，a=(x₁, x₂,…,x_n), b=(y₁, y₂, …, y_n)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：(x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n)²。

2)对于任意n个向量，a₁, a₂, …,a_n，有| a₁, a₂, …,a_n|≤| a₁|+|a₂|+…+|a_n|。

3．a·b=x₁x₂+y₁y₂, cos(a, b)=(a, b0),