4．已知，，试求如图12-11所示的电路中，A、B间的等效电容C_AB.

2．如图12-9所示，有一半径为R的接地导体球，在距离球心a处放有一点电荷Q，由于静电感应，球的表面出现感应电荷，求点电荷Q和导体球之间的相互作用力.

　 3．如图12-10所示，如果导体球不接地，且与外界绝缘，带电量为q，则点电荷Q和导体球之间的作用力大小是多少？

方法简介

类比法是根据两个研究对象或两个系统在某些属性上类似而推出其他属性也类似的思维方法，是一种由个别到个别的推理形式. 其结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大.

在研究物理问题时，经常会发现某些不同问题在一定范围内具有形式上的相似性，其中包括数学表达式上的相似性和物理图像上的相似性. 类比法就是在于发现和探索这一相似性，从而利用已知系统的物理规律去寻找未知系统的物理规律.

　 赛题精讲

例1 图12-1中AOB是一内表面光滑的楔形槽，固定

在水平桌面(图中纸面)上，夹角(为了能看清楚，

图中画的是夸大了的). 现将一质点在BOA面内从A处以

速度射出，其方向与AO间的夹角

设质点与桌面间的摩擦可忽略不计，质点与OB面及OA面的

碰撞都是弹性碰撞，且每次碰撞时间极短，可忽略不计，试求：

　 (1)经过几次碰撞质点又回到A处与OA相碰？(计算次数时包括在A处的碰撞)

　 　 (2)共用多少时间？

　 (3)在这过程中，质点离O点的最短距离是多少？

解析　 由于此质点弹性碰撞时的运动轨迹所满足的规律

和光的反射定律相同，所以可用类比法通过几何光学的规律

进行求解. 即可用光在平面镜上反射时，物像关于镜面对称

的规律和光路是可逆的规律求解.

　 (1)第一次，第二次碰撞如图12-1-甲所示，由三角形的外角等于不相邻的一两个内角和可知，故第一次碰撞的入射角为.

第二次碰撞，，故第二次碰撞的入射角为.

因此每碰一次，入射角要减少1°，即入射角为29°、28°、…、0°，当入射角为0°时，质点碰后沿原路返回. 包括最后在A处的碰撞在内，往返总共60次碰撞.

(2)如图12-1-乙所示，从O依次作出与OB边成

1°、2°、3°、……的射线，从对称规律可推知，在AB

的延长线上，BC′、C′D′、D′E′、……分别和BC、

CD、DE、……相等，它们和各射线的交角即为各次碰撞的

入射角与直角之和. 碰撞入射角为0°时，即交角为90°时

开始返回. 故质点运动的总路程为一锐角为60°的Rt△AMO

的较小直角边AM的二倍.

即

所用总时间

(3)碰撞过程中离O的最近距离为另一直角边长

此题也可以用递推法求解，读者可自己试解.

例2　 有一个很大的湖，岸边(可视湖岸为直线)停放着一艘小船，缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h. 同时岸上一人从停放点起追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4.0km/h，在水中游的速度为2.0km/h，问此人能否追及小船？

解析　 费马原理指出：光总是沿着光程为极小值的路径传播. 据此可以证明，光在平面分界面上的折射是以时间为极小值的路程传播. 本题求最短时间问题，可类比类在平面分界面上的折射情况，这样就把一个运动问题通过类比可转化为光的折射问题求解.

　 如图12-2所示，船沿OP方向被刮跑，设人从O点出发先沿湖岸跑，在A点入水游到OP的B点，如果符合光的折射定律，则所用时间最短.

根据折射定律：

在这最短时间内，若船还未到达B点，则人能追上小船，若船已经通过了B点，则人不能追上小船，所以船刚好能到达B点所对应的船速就是小船能被追及的最大船速

根据正弦定理　 　　　①

又

由以上两式可解得　 　　②

此即小船能被人追上的最大速度，而小船实际速度只有2.5km/h，小于，所以人能追上小船.

例3　 一只蚂蚁洞沿直线爬出，已知爬出速度的大小与距蚂蚁洞中心的距离L成反比，当蚂蚁爬到距蚂蚁洞中心距离L₁=1m的A点时，速度大小为，问当蚂蚁爬到距蚂蚁洞中心L₂=2m的B点时，其速度大小蚂蚁从A点到达B点所用的时间t=？

解析　 虽然蚂蚁的运动我们不能直接用已学过的运动学公式求解，但只要能找到描述蚂蚁运动的公式和学过的公式的形式相同，便可借助学过的公式形式使问题得以解决.

由已知得：蚂蚁在距离巢中心△处的速度为，代入已知得：，所以当

由速度的定义得蚂蚁从L到L+△L所需时间为△t

所以　　　 ①

类比初速的匀加速直线运动的两个基本公式

在t到△t时刻所经位移为　 　　②

比较①、②两式可以看出两式的表述形式相同.

据此，可得蚂蚁问题中的参量t和L分别类比为初速为零的匀加速直线运动中的s和t.而相当于加速度a，于是可得：在此蚂蚁问题中

令t₁对应L₁，t₂对应L₂，则所求时间为

代入已知可得从A到B所用的时间为

此题也可以用图像法、等效法求解，读者可试试.

例4　 如图12-3所示为一很大的接地导体板，在与导体板相距为d的A处放一带电量为－q的点电荷.

(1)试求板上感应电荷在导体内P点产生的电场强度；

(2)试求感应电荷在导体外点产生的电场强度，P

　与对导体板右表面是对称的；

(3)在本题情形中根据场强分析证明导体表面附近的电

　场强度的方向与导体表面垂直；

(4)试求导体上的感应电荷对点电荷－q的作用力；

(5)若在切断导体板与地的连线后，再将+Q电荷置于导

体板上，试说明这部分电荷在导体板上如何分布可达到静电平

衡.(略去边缘效应)

解析　 面电荷问题有时可用点电荷场来类比，使问题大大简化.

(1)因导体处于静电平衡状态，内部场强为零，因此感应电

荷在P点产生的场强可用点电荷场类比，若在A点放+q在导体中

P点产生的场和感应电荷在P点产生的场相同，因此有，方向如图12-3-甲所示.(r为AP间距离)

(2)同理，感应电荷在导体外点产生的电场跟把+q放在与A关于导体右表面对称的点产生的电场相同，即，方向如图12-3甲所示.

(3)取导体外极靠近导体表面的一点P₁，此处电场由感应电

荷和－q共同产生，可类比等量异号点电荷形成的电场，导体表面

可类比为等势面，场强和等势面是垂直的，因此P₁点的场强方向跟

导体表面垂直.如图12-3-乙所示.

(4)感应电荷对－q的作用力也可类比在点放的+q对它的

库仑力来求. 如图12-3-乙所示.

(5)切断接地线后，感应电荷分布不变，感应电荷和－q在导体中产生的电场强度为零(相当于不带电情况)，将+Q置于导体板上时，类比孤立无限大带电平板，电荷将均匀分布

例5　 如图12-4所示为一无限多电容器连成的网络，

若其中每个电容器的电容均为C，求此网络A、B间的等

效电容C_AB.

解析　 电容器两极板间所加电压为U，正极板上的电

量为Q时，电容为：C=Q/U. 电阻器两端所加电压为U，通过的电流为I时，电阻为R=U/I.

在C、R表达式中U相同，Q与I类比，但两个式子显然有颠倒的关系，若为电容器引入　

C^*便可与R类比，通过对R的求解，求出C^*，再求出它的倒数即为C. 当将阻值为R的电阻替换电容C时，可以求得：AB间的总电阻为

现在用C^*取代R，可解得

也即

所以AB间的等效电容为　

例6　 电容器网络如图12-5所示，各电容器以为

单位的电容量数值已在图中标出. 求A、B两点之间的等效

电容C_AB.

解析　 同样用类比法为电容器引入辅助参量，则C^*的串并联公式与电阻R的串并联公式完全一样，而且如图12-5-甲中两个电容网络元之间有完全类似于电阻网络元的Y-△变换.

变换公式为：

通过变换公式对题中的网络进行交换，从而求解.

设

将中间同为的电容变为，再将三个C^*组成的△网络元变换为

的三个Y网络元，于是将原网络等效为如图12-5-乙网络，图12-5-乙中所标数值均为C^*值，为此网络可等效如图12-5-丙网络，图中所标数值仍是C^*值.

因为此网络中没有电流图12-5-丙可当作平衡的

桥式电路，中间的电容可拆去，此网络又可等效为

图12-5-丁，再类比电阻串并联公式可得

故原网络A、B间的等效电容为

例7　 如图12-6所示，一个由绝缘细线构成的刚性圆形

轨道，其半径为R. 此轨道水平放置，圆心在O点，一个金属

小珠P穿在此轨道上，可沿轨道无摩擦地滑动，小珠P带电

荷Q. 已知在轨道平面内A点()放有一电荷q.

若在OA连线上某一点A₁放电荷q₁，则给P一个初速度，它

就沿轨道做匀速圆周运动. 求A₁点位置及电荷q₁之值.

解析　 因为P可沿圆轨道做匀速圆周运动，说明此圆轨道是一等势线，将此等势线看成一个球面镜的一部分. 已知半径为R，所以此球面镜的焦距为.

由成像公式

若q为物点，q₁为像点不成立，只能是q₁为物点成虚像于q，所以有

又 　

解得　

例8　 将焦距为10cm的一块双凸透镜沿其表面的垂直方向

切割成相同的两部分，把这两部分沿垂直于主轴的方向移开一段

距离，并用不透明的材料将其挡住. 若在原透镜左侧

主轴上，距透镜光心20cm处放一点光源M，如图12-7所示，

点光源能射出波长为的单色光，那么在透镜另一侧距透镜

50cm的屏幕(垂直于透镜主轴放置)上，将出现多少亮条纹？

　 解析　 由透镜成像规律可知，单色点光源M，经切割成的两个半透镜分别成两个像M₁，M₂(此时每个半透镜相当于一个透镜). 这两个像距相等，关于主光轴对称，形成相干光源，从而在屏幕上可看到干涉条纹，屏幕中央是零级亮条纹，两侧依次分布着各级干涉条纹.

根据透镜成像公式： ①

设两个像之间的距离

由图12-7-甲中的几何关系可知　②

　 由①、②两式得　 ③

由图12-7-甲知

类比光的双缝干涉作图12-7-乙. 设屏幕上Q为一

级亮条纹，则光程差为　 ⑤

因为解很小，所以有

将其代入⑤式得：　　　　 ⑥

将③、④代入⑥式得：　　　 ⑦

由于干涉条纹是等间距的，所以屏幕上出现的亮条纹数目为　 ⑧

由图12-7-甲中几何关系得：

解得　　　 ⑨

将⑨代入⑧式得　 ⑩

将已知代入⑩得N=46.6

所以亮条纹的条数为46条.

例9　 如图12-8所示，半径R=10cm的光滑凹球面容器固定

在地面上，有一小物块在与容器最低点P相距5mm的C点由静止

无摩擦滑下，则物块自静止下滑到第二次通过P点时所经历的时间

是多少？若此装置放在以加速度a向上运动的实验舱中，上述所求

的时间又是多少？

解析　 本题中的小物块是在重力、弹力作用下做变速曲线运动，我们若抓住物体受力做往复运动的本质特征，便可以进行模型等效，即把小物块在凹球面上的运动等效为单摆模型.

将上述装置等效为单摆，根据单摆的周期公式

得

若此装置放在以加速度a向上运动的实验舱中，比较两种情形中物体受力运动的特征，可以等效为单摆的重力加速度为的情形，经类比推理可得：

针对训练

1．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L. 若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为. 已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G. 求该星球的质量M.

15．如图4-29所示，折射率n=1.5的全反射棱镜上方6cm处放置一物体AB，棱镜直角边长为6cm，棱镜右侧10cm处放置一焦距f₁=10cm的凸透镜，透镜右侧15cm处再放置一焦距f₂=10cm的凹透镜，求该光学系统成像的位置和放大率.

　　　　　 图28　　　　　 　　　　　　　　　　图29

14．一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2f处，垂直于主轴主置一高为H的物，其下端位于透镜的主轴上如图4-28所示.

(1)用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实；

(2)用计算法求出此像的位置和大小.

13．如图4-27所示，长为2πa、电阻为r的均

匀细导线首尾相接形成一个半径为a的圆.现将电阻为

R的电压表，以及电阻可以忽略的导线，按图a和图b

所示的方式分别与圆的两点相连接. 这两点之间的弧线

所对圆心角为θ.若在垂直圆平面的方向上有均匀变化

的匀强磁场，已知磁感应强度的变化率为k，试问在图

a、b两种情形中，电压表的读数各为多少？

12．如图4-26所示，一根长的薄导体平板沿x轴放置，板面位于水平位置，板的宽度为L，电阻可忽略不计，aebcfd是圆弧形均匀导线，其电阻为3R，圆弧所在的平面与x轴垂

直，圆弧的两端a和d与导体板的两个侧面相接解，并可在其上滑动. 圆弧ae=eb=cf=fd=(1/8)圆周长，圆弧bc=(1/4)圆周长，一内阻R_g=nR的体积很小

的电压表位于圆弧的圆心O处，电压表的两端分别用电阻可

以忽略的直导线与b和c点相连，整个装置处在磁感应强度

为B、方向竖直向上的匀强磁场中. 当导体板不动而圆弧导

线与电压表一起以恒定的速度v沿x轴方向平移运动时

　 (1)求电压表的读数；

　 (2)求e点与f点的电势差(U_e－R_f).

11．固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd，各边长为L₁，

其中ab是一端电阻为R的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可忽

略的铜线，磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，现有一

与ab段的材料、粗细、长度都相同的电阻丝PQ架在导线框上，

如图4-25所示，以恒定的速度从ad滑向bc，当PQ滑过1/3L

的距离时，通过aP段电阻丝的电流是多大？方向如何？

10．一匀质细导线圆环，总电阻为R，半径为a，圆环内充满方向垂直于环面的匀强磁场，磁场以速率K均匀地随时间增强，环上的A、D、C三点位置对称. 电流计G连接A、C两点，如图4-24所示，若电流计内阻为R_G，求通过电流计的电流大小.

9．磁流体发电机的示意图如图4-23所示，横截面为距形的管道长为L，宽为a，高为b，上下两个侧面是绝缘体，相距为a的两个侧面是电阻可忽略的导体，此两导体侧面与负载电阻R_L相连.整个管道放在一个匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向垂直于上下侧面向上. 现有电离气体(正、负带电粒子)持续稳定的流经管道，为了使问题简化，设横截面上各点流速相同. 已知流速与电离气体所受的压力成正比；且无论有无磁场存在时，都维持管道两端电离气体的压强差皆为p. 设无磁场存在时电离气体的流速为. 求有磁场存在时流体发电机的电动势的大小. 已知电离气体的平均电阻率为.