方法简介

递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式. 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论. 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解. 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.

塞题精析

例1　 质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；…；在nt时刻，加速度变为(n+1)a，求：

　 (1)nt时刻质点的速度；

　 (2)nt时间内通过的总路程.

解析　 根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解.

　 (1)物质在某时刻t末的速度为

2t末的速度为

3t末的速度为

……

则nt末的速度为

　 　(2)同理：可推得nt内通过的总路程

例2　 小球从高处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.(g取10m/s²)

解析 　小球从h₀高处落地时，速率

第一次跳起时和又落地时的速率

第二次跳起时和又落地时的速率

　

第m次跳起时和又落地时的速率

每次跳起的高度依次，

通过的总路程

　　　　　　　　

经过的总时间为

　 　　　　　　　　

例3　 A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正

三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B

犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调

整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长

时间可捕捉到猎物？

解析　 由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6-1所示.所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解.

设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔△t，在每一个△t内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔△t，正三角形的边长分别为a₁、a₂、a₃、…、a_n，显然当a_n→0时三只猎犬相遇.

因为

即

此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解.

例4 　一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？

解析 　若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同.

原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在△s的宽松距离，设火车的牵引力为F，则有：

车头起动时，有

拉第一节车厢时：

故有

　　

拉第二节车厢时：

故同样可得：

……

推理可得　

由

另由题意知

因此该车头倒退起动时，能起动45节相同质量的车厢.

　 例5 　有n块质量均为m，厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图6-2所示，人至少做多少功？

解析 　将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重

力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算.

将第2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为

将第3、4、…、n块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功

分别为

所以将n块砖叠放起来，至少做的总功为

W=W₁+W₂+W₃+…+W_n

　 　

例6　 如图6-3所示，有六个完全相同的长条薄片、

2、…、6)依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一

薄片的正中位置(不计薄片的质量). 将质量为m的质点置于A₁A₆

的中点处，试求：A₁B₁薄片对A₆B₆的压力.

　 解析　 本题共有六个物体，通过观察会发现，A₁B₁、A₂B₂、…、

A₅B₅的受力情况完全相同，因此将A₁B₁、A₂B₂、…A₅B₅作为一类，

对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.

以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图6-3甲所示，第i个

薄片受到前一个薄片向上的支持力N_i、碗边向上的支持力和后一个薄片

向下的压力N_i+1. 选碗边B点为轴，根据力矩平衡有

　

所以　　 ①

再以A₆B₆为研究对象，受力情况如图6-3乙所示，A₆B₆受到薄片

A₅B₅向上的支持力N₆、碗向上的支持力和后一个薄片A₁B₁向下的压力

N₁、质点向下的压力mg. 选B₆点为轴，根据力矩平衡有

由①、②联立，解得　

所以，A₁B₁薄片对A₆B₆的压力为

例7　 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为L，横截面是边长为的正方形，要求此桥具有最大的跨度(即桥孔底宽)，计算跨度与桥孔高度的比值.

解析　 为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值.

将从上到下的积木块依次计为1、2、…、n，显然第1块相对第2块的最大伸出量为

　 第2块相对第3块的最大伸出量为(如图6-4所示)，则

同理可得第3块的最大伸出量

　 ……

最后归纳得出

所以总跨度

跨度与桥孔高的比值为　

例8　 如图6-5所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为

…). 每人只有一个沙袋，一侧的每个沙袋质量为m=14kg，一侧的每个沙袋质量. 一质量为M=48kg的小车以某初速度v₀从原点出发向正x轴方向滑行. 不计轨道阻力. 当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度v朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍.(n是此人的序号数)

　 (1)空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？

　 (2)车上最终有大小沙袋共多少个？

解析 　当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不能再扔，否则还能扔.

小车以初速沿正x轴方向运动，经过第1个(n=1)人的身旁时，此人将沙袋以的水平速度扔到车上，由动量守恒得当小车运动到第2人身旁时，此人将沙袋以速度的水平速度扔到车上，同理有，所以，当第n个沙袋抛上车后的车速为，根据动量守恒有.

同理有，若抛上(n+1)包沙袋后车反向运动，则应有

即

由此两式解得：为整数取3.

当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动到第n个人身旁，抛上第n包沙袋后由动量守恒定律有：

解得：

设抛上n+1个沙袋后车速反向，要求

　 即　　 即抛上第8个

沙袋后车就停止，所以车上最终有11个沙袋.

例9　 如图6-6所示，一固定的斜面，倾角，斜面

长L=2.00米. 在斜面下端有一与斜面垂直的挡板. 一质量为m的

质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零. 下滑到最底端

与挡板发生弹性碰撞. 已知质点与斜面间的动摩擦因数，试求此质点从开始到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程.

解析 　因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生n次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解.

设每次开始下滑时，小球距档板为s

则由功能关系：

　　　　　　　

即有

由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为

∴在发生第11次碰撞过程中的路程

　

　 　

例10 　如图6-7所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌

面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是m₁、m₂

和m₃，m₂=m₃=2m₁. 小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽

略不计. 开始时，三球处在槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，彼此间距离相等，

m₂和m₃静止，m₁以初速沿槽运动，R为圆环的内半径和

小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期T.

解析 　当m₁与m₂发生弹性碰撞时，由于m₂=2m₁，所以m₁碰后弹回，m₂向前与m₃发生碰撞. 而又由于m₂=m₃，所以m₂与m₃碰后，m₃能静止在m₁的位置，m₁又以v速度被反弹，可见碰撞又重复一次. 当m₁回到初始位置，则系统为一个周期.

以m₁、m₂为研究对象，当m₁与m₂发生弹性碰撞后，根据动量守恒定律，能量守恒定律可写出：

　　　　　 ①

　　 ②

由①、②式得：

以m₂、m₃为研究对象，当m₂与m₃发生弹性碰撞后，得

以m₃、m₁为研究对象，当m₃与m₁发生弹性碰撞后，得

由此可见，当m₁运动到m₂处时与开始所处的状态相似. 所以碰撞使m₁、m₂、m₃交换位置，当m₁再次回到原来位置时，所用的时间恰好就是系统的一个周期T，由此可得周期

例11 　有许多质量为m的木块相互靠着沿一直线排列于光滑的水平面上. 每相邻的两个木块均用长为L的柔绳连接着. 现用大小为F的恒力沿排列方向拉第一个木块，以后各木块依次被牵而运动，求第n个木块被牵动时的速度.

解析 　每一个木块被拉动起来后，就和前面的木块成为一体，共同做匀加速运动一段距离L后，把绳拉紧，再牵动下一个木块. 在绳子绷紧时，有部分机械能转化为内能. 因此，如果列出这样的关系式是错误的.

设第个木块刚被拉动时的速度为，它即将拉动下一个木块时速度增至，

第n个木块刚被拉动时速度为. 对第个木块开始运动到它把下一段绳子即将拉紧这一过程，由动能定理有：

　　 ①

对绳子把第n个木块拉动这一短暂过程，由动量守恒定律，有

　 得：　　 ②

把②式代入①式得：

整理后得：　　 ③

③式就是反映相邻两木块被拉动时速度关系的递推式，由③式可知

当n=2时有：

当n=3时有：

当n=4时有： …

一般地有

将以上个等式相加，得：

所以有

　 在本题中，所以

例12 　如图6-8所示，质量m=2kg的平板小车，后端放

有质量M=3kg的铁块，它和车之间动摩擦因数开始

时，车和铁块共同以的速度向右在光滑水平面上

前进，并使车与墙发生正碰，设碰撞时间极短，碰撞无机械能损失，且车身足够长，使得铁块总不能和墙相碰，求小车走过的总路程.

解析 　小车与墙撞后，应以原速率弹回. 铁块由于惯性继续沿原来方向运动，由于铁块和车的相互摩擦力作用，过一段时间后，它们就会相对静止，一起以相同的速度再向右运动，然后车与墙发生第二次碰撞，碰后，又重复第一次碰后的情况. 以后车与墙就这样一次次碰撞下去. 车每与墙碰一次，铁块就相对于车向前滑动一段距离，系统就有一部分机械能转化为内能，车每次与墙碰后，就左、右往返一次，车的总路程就是每次往返的路程之和.

设每次与墙碰后的速度分别为v₁、v₂、v₃、…、v_n、…车每次与墙碰后向左运动的最远距离分别为s₁、s₂、s₃、…、s_n、…. 以铁块运动方向为正方向，在车与墙第次碰后到发生第n次碰撞之前，对车和铁块组成的系统，由动量守恒定律有

　 所以　

由这一关系可得：

一般地，有

由运动学公式可求出车与墙发生第n次碰撞后向左运动的最远距离为

类似地，由这一关系可递推到：

所以车运动的总路程

　

因此

所以

　 例13　 10个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平

地面上，如图6-9所示，每个木块的质量长度

，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为

原来木块处于静止状态. 左方第一个木块的左端

上方放一个质量为M=1.0kg的小铅块，它与木块间的静摩

擦因数和动摩擦因数均为现突然给铅块一向右的初速度，使其在大木块上滑行. 试确定铅块最后的位置在何处(落在地上还是停在哪块木块上). 重力加速度g取，设铅块的长度与木块相比可以忽略.

解析　 当铅块向右运动时，铅块与10个相同的扁长木块中的第一块先发生摩擦力，若此摩擦力大于10个扁长木块与地面间的最大静摩擦力，则10个扁长木块开始运动，若此摩擦力小于10个扁长木块与地面间的最大摩擦力，则10个扁长木块先静止不动，随着铅块的运动，总有一个时刻扁长木块要运动，直到铅块与扁长木块相对静止，后又一起匀减速运动到停止.

铅块M在木块上滑行所受到的滑动摩擦力

设M可以带动木块的数目为n，则n满足：

即

上式中的n只能取整数，所以n只能取2，也就是当M滑行到倒数第二个木块时，剩下的两个木块将开始运动.设铅块刚离开第8个木块时速度为v，则

　 得：

由此可见木块还可以滑到第9个木块上. M在第9个木块

上运动如图6-9甲所示，则对M而言有：

得：

第9及第10个木块的动力学方程为：，

得：

设M刚离开第9个木块上时速度为，而第10个木块运动的速度为，并设木块运动的距离为s，则M运动的距离为，有：

消去s及t求出：，显然后一解不合理应舍去.

因，故M将运动到第10个木块上.

再设M运动到第10个木块的边缘时速度为，这时木块的速度为，则：

　 解得：，故M不能滑离第10个木块，只能停在它的表面上，最后和木块一起静止在地面上.

例14 　如图6-10所示，质量为m的长方形箱子，放在光滑

的水平地面上. 箱内有一质量也为m的小滑块，滑块与箱底间无摩

擦. 开始时箱子静止不动，滑块以恒定的速度v₀从箱子的A壁处向

B处运动，后与B壁碰撞. 假设滑块与箱壁每碰撞一次，两者相对

速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e倍，

　 (1)要使滑块与箱子这一系统消耗的总动能不超过其初始动能的40%，滑块与箱壁最多可碰撞几次？

　 (2)从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？

解析　 由于滑块与箱子在水平方向不受外力，故碰撞时系统水平方向动量守恒. 根据题目给出的每次碰撞前后相对速度之比，可求出每一次碰撞过程中动能的损耗.滑块开始运动到完成题目要求的碰撞期间箱子的平均速度，应等于这期间运动的总位移与总时间的比值.

　 (1)滑块与箱壁碰撞，碰后滑块对地速度为v，箱子对地速度为u. 由于题中每次碰撞的e是一样的，故有：

或

即碰撞n次后　　 ①

碰撞第n次的动量守恒式是　　 ②

①、②联立得

第n次碰撞后，系统损失的动能

　　

下面分别讨论：

当

　

　

　

　

因为要求的动能损失不超过40%，故n=4.

　 (2)设A、B两侧壁的距离为L，则滑块从开始运动到与箱壁发生第一次碰撞的时间

. 在下一次发生碰撞的时间，共碰撞四次，另两次碰撞的时间分别为、，所以总时间

在这段时间中，箱子运动的距离是：

　

所以平均速度为：

例15　 一容积为1/4升的抽气机，每分钟可完成8次抽气动作. 一容积为1升的容器与此抽气筒相连通. 求抽气机工作多长时间才能使容器内的气体的压强由76mmmHg降为1.9mmHg.(在抽气过程中容器内的温度保持不变)

解析　 根据玻一马定律，找出每抽气一次压强与容器容积和抽气机容积及原压强的关系，然后归纳递推出抽n次的压强表达式.

设气体原压强为p₀，抽气机的容积为V₀，容器的容积为V. 每抽一次压强分别为p₁、p₂、…，则由玻一马定律得：

第一次抽气后：　 ①

第二次抽气后：　 ②

依次递推有：　　 ③

　

　　　　　　 　　n

由以上n式得：

代入已知得：(次)

工作时间为：分钟

例16 　使一原来不带电的导体小球与一带电量为Q的导体大球接触，分开之后，小球获得电量q. 今让小球与大球反复接触，在每次分开有后，都给大球补充电荷，使其带电量恢复到原来的值Q. 求小球可能获得的最大电量.

解析　 两个孤立导体相互接触，相当于两个对地电容并联，设两个导体球带电Q₁、Q₂，由于两个导体球对地电压相等，

故有，

所以为常量，此式表明：带电(或不带电)的小球跟带电大球接触后，小球所获得的电量与总电量的比值不变，比值k等于第一次带电量q与总电量Q的比值，即根据此规律就可以求出小球可能获得的最大电量.

设第1、2、…、n次接触后小球所带的电量分别为q₁、q₂、…，有：

　

由于，上式为无穷递减等比数列，根据求和公式得：

即小球与大球多次接触后，获得的最大电量为

例17　 在如图6-11所示的电路中，S是一单刀双掷开关，A₁和A₂为两个平行板电容器，S掷向a时，A₁获电荷电量为Q，当S再掷向b时，A₂获电荷电量为q. 问经过很多次S掷向a，再掷向b后，A₂将获得多少电量？

解析 　S掷向a时，电源给A₁充电，S再掷向b，A₁给A₂充电，在经过很多次重复的过程中，A₂的带电量越来越多，两板间电压越来越大. 当A₂的电压等于电源电压时，A₂的带电量将不再增加. 由此可知A₂最终将获得电量q₂=C₂E.

因为　 所以

当S由a第一次掷向b时，有：

所以

　 解得A₂最终获得的电量　

例18 　电路如图6-12所示，求当为何值时，

R_AB的阻值与“网络”的“格”数无关？此时R_AB的阻

值等于什么？

解析　 要使R_AB的阻值与“网络”的“格”数无关，则图中CD间的阻值必须等于才行.

所以有　 解得

此时AB间总电阻

　 例19　 如图6-13所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里

的匀强磁场，磁感应强度为B，在x轴下方有沿y轴负方向的匀

强电场，场强为E. 一质量为m，电量为－q的粒子从坐标原点O

沿着y轴方向射出. 射出之后，第三次到达x轴时，它与O点的

距离为L. 求此粒子射出时的速度v和每次到达x轴时运动的总

路程s.(重力不计)

解析 　粒子进入磁场后做匀速圆周运动，经半周后通过x

轴进入电场后做匀减速直线运动，速度减为零后，又反向匀加

　 速通过x轴进入磁场后又做匀速圆周运动，所以运动有周期性.

它第3次到达x轴时距O点的距离L等于圆半径的4倍(如图

6-13甲所示)

粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为　

所以粒子射出时的速度　

粒子做圆周运动的半周长为　

粒子以速度v进入电场后做匀减速直线运动，能深入的最大距离为y，

因为

所以粒子在电场中进入一次通过的路程为　

粒子第1次到达x轴时通过的路程为　

粒子第2次到达x轴时，已通过的路程为　

粒子第3次到达x轴时，已通过的路程为　

粒子第4次到达x轴时，已通过的路程为　

粒子第次到达x轴时，已通过的路程为　

粒子第2n次到达x轴时，已通过的路程为　

上面n都取正整数.

6．如图14-16所示，天空中有一小鸟B，距水面高，其正下方距水面深处

　 的水中有一条小鱼A.已知水的折射率为4/3，则小鸟看水中的鱼距离自己是多远？小鱼看

5．如图14-15所示，一人站在水面平静的湖岸边，观察到离岸边有一段距离的水下的一条

　 　 鱼，此人看到鱼的位置与鱼在水下的真实位置相比较，应处于什么方位.

4．如图14-14所示，在O轴的坐标原点O处，

　 有一固定的电量为的点电荷，在

　　 处，有一固定的、电量为的点电荷，今有一

　 正试探电荷放在轴上的位置，并设斥力

　 为正，引力为负.

　 (1)当的位置限制在O轴上变化时，求的受力平衡的位置，并讨论平衡的稳定性；

　 (2)试定性地画出试探电荷所受的合力F与在O轴上的位置的关系图线.

2．一汽缸的初始体积为V₀，其中盛有2mol的空气和少量的水(水的体积可忽略)，其平衡

　 时气体的总压强是3.0大气压.经过等温膨胀使其体积加倍，在膨胀过程结束时，其中的

　 水刚好全部消失，此时的总压强为2.0大气压.若让其继续作等温膨胀，使其体积再次加

　 倍，试计算此时：

　 (1)汽缸中气体的温度；

　 (2)汽缸中水蒸气的摩尔数；

　 (3)汽缸中气体的总压强. (假定空气和水蒸气均可当做理想气体处理)

图14-13

3．1964年制成了世界上第一盏用海浪发电的航标灯，它的气

　 室示意图如图14-13所示.利用海浪上下起伏力量，空气

　 能被吸进来，压缩后再推入工作室，推动涡轮机带动发电

　 机发电.当海水下降时，阀门S₁关闭，S₂打开，设每次吸

　 入压强为1.0×10⁶Pa、温度为7℃的空气0.233m³(空气可

　 视为理想气体)，当海上升时，S₂关闭，海水推动活塞

　 绝热压缩空气，空气压强达到×10⁵Pa时，阀门S₁才

　 打开.S₁打开后，活塞继续推动空气，直到气体全部推入工

　 作室为止，同时工作室的空气推动涡轮机工作.设打开S₁后，活塞附近的压强近似保持不

　 变，活塞的质量及活塞筒壁间的摩擦忽略不计.问海水每次上升时所做的功是多少？已知

　 空气从压强为、体积为V₁的状态绝热的改变到压强为、体积为V₂的状态过程中，

　 近似遵循关系式/=(V₂/V₁)^5/3，1mol理想气体温度升高1K时，内能改变为

图14-14

　 3R/2.[R=8.31J/(mol·K)]

方法简介

图14-1

　　　 近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题，越来越多地注重这种能力的考查.

赛题精讲

　　　 例1：一只狐狸以不变的速度沿着直线AB逃跑，一只猎犬

以不变的速率追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，

猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，如图14-1所示，求猎犬的加速

度的大小.

　　　 解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，

图14-2-甲

故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度为猎

犬所在处的曲率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度

的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D处的加

速度大小，由于大小不变，如果求出D点的曲率半径，

此时猎犬的加速度大小也就求得了.

　　　 猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R，则加速度

　　　

　　　 其方向与速度方向垂直，如图14-1-甲所示.在时间内，设狐狸与猎犬分别 到达，猎犬的速度方向转过的角度为/R

　　　 而狐狸跑过的距离是：≈　　　 因而/R≈/L，R=L/

　　　 所以猎犬的加速度大小为=/L

图14-2-甲

图14-2

　　　 例2 　如图14-2所示，岸高为，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为时，收绳速率为，则该位置船的速率为多大？

　　　 解析　 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率.

　　　 设船在角位置经时间向左行驶距离，滑轮右侧的绳长缩短，如图14-2-甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有

=

图14-3

　　　 两边同除以得：，即收绳速率

　　　 因此船的速率为

　　　 例3　 如图14-3所示，半径为R，质量为m的圆形绳圈，

以角速率绕中心轴O在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张

力为多大？

　　　 解析　 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角很小时，有近似关系式

图-14-3-甲

　　　 若取绳圈上很短的一小段绳AB=为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为，这段绳两端所受的张力分别为和(方向见图14-3-甲)，因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以和的大小相等，均等于T. 和在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为，根据牛顿第二定律有：；

　　　 因为段很短，它所对应的圆心角很小所以

　　　 将此近似关系和

　 　　　 代入上式得绳中的张力为

　　　 例4　 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道

ABC，光滑小球从顶点A处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到

端点C处所需时间，恰好等于小球从顶点A处自静止出发自

由地经两直角边轨道滑到端点C处所需的时间.这里假设铅垂轨

道AB与水平轨道BC的交接处B有极小的圆弧，可确保小

球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计.

　 　　　 在此直角三角形范围内可构建一系列如图14-4中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧(作用同上)，轨道均从A点出发到C点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A点滑行到C点所经时间的上限与下限之比值.

　　　 解析　 直角三角形AB、BC、CA三边的长分别记为

　、、，如图14-4-甲所示，小球从A到B的时间

记为，再从B到C的时间为，而从A直接沿斜边到C

所经历的时间记为，由题意知，可得：：=3：4：5，

　 　　　 由此能得与的关系.

　　　 因为

　　　 所以

　　　 因为：=3：4，所以

　　　 小球在图14-4-乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为，经各水平段所需时间之和记为，则从A到C所经时间总和为，最短的对应的下限，最长的对应的上限

　　　 小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置(即与BC重合)时最短，其值即为，故=

　　　 的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降小量，便接一段水平小量，这两个小量之间恒有，角即为∠ACB，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于、均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量与之间有如下关联：

　　　

　　　 于是作为之和的上限与作为之和的之比也为故的上限必为，即得：

　　　 这样=7:5

　 　　　 例5　 在光滑的水平面上有两个质量可忽略的相同弹簧，

它们的一对端点共同连接着一个光滑的小物体，另外一对端

点A、B固定在水平面上，并恰使两弹簧均处于自由长度状

态且在同一直线上，如图14-5所示.如果小物体在此平面上

沿着垂直于A、B连线的方向稍稍偏离初始位置，试分析判

断它是否将做简谐运动？

　　　 解析　 因为一个物体是否做简谐运动就是要看它所受的回复力是否是一个线性力，即回复力的大小与位移大小成正经，方向相反.因此分析判断该题中的小物体是否做简谐运动，关键是求出所受的回复力的表达式(即此题中所受合外力的表达式).

　　　 以AB中点为原点，过中点且垂直于AB的直线为轴，如图14-5-甲所示，取轴正方向为正方向，小物体所受回复力为：　 ①

　 　　　 其中为弹簧的劲度系数，为弹簧的自由长度，为弹簧伸长后的长度，为弹簧伸长后与AB直线的夹角.由几何知识可得

　　　 　　　　　　　　　　 ②

　　　 　　　　　　　　　 ③

　　　 将②、③代入①式得：

　　　　　　　

　　　 由此可见，小物体受的合外力是一个非线性回复力，因此小物体将不做简谐运动.同时本题表明，平衡位置附近的小振动未必都是简谐运动.

　　　 例6　 三根长度均为，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动.杆AB是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图14-6所示，现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动.

　 　　　 解析 　松鼠在AB轨道运动，当框架不动时，松鼠受到轨道

给它的水平力F′作用，框架也受到松鼠给它的水平力F作用，

设在某一时刻，松鼠离杆AB的中点O的距离为，如图

14-6所示，松鼠在竖直方向对导轨的作用力等于松鼠受到的

重力，m为松鼠的质量.以C点为轴，要使框架平衡，必须满足

条件，松鼠对AB杆的水平力为

，式中L为杆的长度.所以对松鼠而言，在其运动过程中，沿竖直方向受到的合力为零，在水平方向受到杆AB的作用力为F′，由牛顿第三定律可知F′=F，即

　　　 其中

　　　 即松鼠在水平方向受到的作用力F′作用下的运动应是以O点为平衡位置的简谐运动，其振动的周期为

　　　 当松鼠运动到杆AB的两端时，它应反向运动，按简谐运动规律，速度必须为零，所以松鼠做简谐运动的振幅小于或等于L/2=1m.

　 　　　 由以上论证可知，当框架保持静止时，松鼠在导轨AB上的运动是以AB的中点O为平衡位置，振幅不大于1m、周期为2.64s的简谐运动.

　　　 例7　 在一个横截面面积为S的密闭容器中，有一个质量

为m的活塞把容器中的气体分成两部分.活塞可在容器中无摩

擦地滑动，活塞两边气体的温度相同，压强都是，体积分别

是V₁和V₂，如图14-7所示.现用某种方法使活塞稍微偏离平

衡位置，然后放开，活塞将在两边气体压力的作用下来回运动.

容器保持静止，整个系统可看做是恒温的.

　 (1)求活塞运动的周期，将结果用、V₁、V₂、m和S表示；

　 (2)求气体温度℃时的周期与气体温度=30℃时的周期之比值.

　　　 解析　 (1)活塞处于平衡时的位置O为坐标原点当活塞运动到右边距O点处时，左边气体的体积由V₁变为V₁+，右边气体的体积由V₂变为V₂，设此时两边气体的压强分别为和，因系统的温度恒定不变，根据玻意耳定律有：

　　　

　　　 而以上两式解出：　　　　　　 ①

　　　 按题意，活塞只稍许离开平衡位置，故上式可近似为： ，于是活塞受的合力为所以活塞的运动方程是

　　　 其中是加速度，由此说明活塞做简谐运动，周期为

(2)设温度为时，周期为，温度为时，周期为.由于，得出

　 所以，将数值代入得

例8　 如图14-8所示，在边长为的正三角形三个

顶点A、B、C处分别固定电量为Q的正点电荷，在其中

三条中线的交点O上放置一个质量为m，电量为的带正

电质点，O点显然为带电质点的平衡位置，设该质点沿某

一中线稍稍偏离平衡位置，试证明它将做简谐运动，并求

　 其振动周期.

解析　 要想证明带电质点是否做简谐运动，则需证明

该带电质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置时，所受的回复

力是否与它的位移大小成正比，方向相反.因此该题的关键

是求出它所受回复力的表达式，在此题也就是合外力的表

达式.

以O为坐标原点，以AOD中线为坐标轴，如图

14-8-甲所示，设带电质点在该轴上偏移，A处Q对

其作用力为，B、C处两个Q对其作用的合力为，取轴方向为正方向. 有

因为

当很小时可忽略高次项所以

　 (略去项)

　 (略去项)

因此带电质点所受合力为

由此可知，合外力与大小成正比，方向相反.

图14-9

即该带电质点将做简谐运动，其振动周期为

例9 　欲测电阻R的阻值，现有几个标准电阻、一个电池

和一个未经标定的电流计，连成如图14-9所示的电路.第一次与

电流计并联的电阻为50.00Ω，电流计的示度为3.9格；第二

次为100.00Ω，电流计的示度为5.2格；第三次为10.00Ω，

同时将待测电阻R换成一个20.00kΩ的标准电阻，结果电流计的

示度为7.8格.已知电流计的示度与所通过的电流成正比，求电阻

R的阻值.

解析　 在测试中，除待求量R外，电源电动势E，电源内阻，电流计内阻以及电流计每偏转一格的电流，均属未知.本题数据不足，且电流计读数只有两位有效数字，故本题需要用近似方法求解.

设电源电动势为E，电流计内阻为，电流计每偏转一格的电流为，用欧姆定律对三次测量的结果列式如下：

从第三次测量数据可知，当用20kΩ电阻取代R，而且阻值减小时电流计偏转格数明显增大，可推知R的阻值明显大于20kΩ，因此电源内阻完全可以忽略不计，与R相比，电流计内阻与的并联值对干路电流的影响同样也可以忽略不计，故以上三式可近似为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

　　　　　　　　　　　　　　 ③

待测电阻R=120k

图14-10

解①、②、③三式，可得=50Ω

　　　 例10　 如图14-10所示，两个带正电的点电荷

A、B带电量均为Q，固定放在轴上的两处，离原

点都等于.若在原点O放另一正点电荷P，其带电量

为，质量为m，限制P在哪些方向上运动时，它在

原点O才是稳定的？

　　　 解析　 设轴与轴的夹角为，正电点电荷P在原点沿轴方向有微小的位移时，A、B两处的点电荷对P的库仑力分别为、，方向如图14-10所示，P所受的库仑力在轴上的分量为　　　　　　　　　　　　 ①

　　　 根据库仑定律和余弦定理得　　　②

　　　　　　　　　　　　　　 ③

　　　　　　　　　　　 ④

　　　　　　　　　　　 ⑤

　　　 将②、③、④、⑤式代入①得：

　　　　

　　　 因为很小，忽略得：

　　　　

　　　 又因为

　　　 所以利用近似计算得

　　　　

　　　 忽略得

　 　　　 当(时具有恢复线性形式，所以在范围内，P可围绕原点做微小振动，所以P在原点处是稳定的.

　　　 例11　 某水池的实际深度为，垂直于水面往下看，

水池底的视深为多少？(设水的折射率为)

　　　 解析　 如图14-11所示，设S为水池底的点光源，

在由S点发出的光线中选取一条垂直于面MN的光线，

由O点垂直射出，由于观察者在S正方，所以另一条光

线与光线SO成极小的角度从点S射向水面点A，由点A

远离法线折射到空气中，因入射角极小，故折射角也很小，

进入人眼的两条折射光线的反向延长线交于点S′，该点

即为我们看到水池底光源S的像，像点S′到水面的距离，即为视深.

　　　 由几何关系有所以，因为、均很小，则有，所以 又因

所以视深

　 针对训练

1．活塞把密闭气缸分成左、右两个气室，每室各与U形管压强

　 计的一臂相连，压强计的两臂截面处处相同.U形管内盛有密度

　 为×10²kg/m³的液体.开始时左、右两气室的体积都为

　 V₀=1.2×10^－2m3，气压都为×10³Pa，且液体的液面处

　 在同一高度，如图14-12所示.现缓缓向左推动活塞，直到液体在

　 U形管中的高度差h=40cm.求此时左、右气室的体积V₁、V₂.假

　 定两气室的温度保持不变.计算时可以不计U形管和连接管道中

　 气体的体积.取g=10m/s².

8．将焦距的凸薄透镜从正中切去宽度为a的小部分，如图12-15所示，再将剩下两半粘在一起，构成一个“粘合透镜”，见图12-15甲中D=2cm. 在粘合透镜一侧的中心轴线上距镜20cm处，置一波长的单色点光源S，另一侧垂直于中心轴线处放置屏幕，见图12-15-乙. 屏幕上出现干涉条纹，条纹间距试问：

(1)切去部分的宽度a是多少？

　 (2)为获得最多的干涉条纹，屏幕应离透镜多远？

7．将焦距为f的一块透镜沿其表面的垂直方向切割成两部分.

如图12-14所示，把两块半透镜移开一小段距离，如果在透镜的一

方距离处放置一个单色点光源，问在透镜的另一方距H处的屏

幕上，将出现多少条干涉条纹？

6．许多电容量都为C的电容器组成一个多级网络，如图12-13所示.

　 (1)问在最后一级右边的电容器上并联一个多大的电容，可使整个网络的总电容也等于C？

(2)如不加，但无限增加级数，问整个网 路的总

　电容是多少？

(3)当电路中的级数足够多时，如果在最后一级

　右边的电容器上并联一个任意大小的电容，

　 　问整个网路的总电容是多少？

5．电容器网络如图12-12所示，各电容器以为单位的电容量数值已在图中标出，试求A、B两点间的等效电容C_AB.